什么是数学思考，如何培养学生的数学思考

什么是数学思考，如何培养学生的数学思考~

　　（一）、注重数学概念的阅读与表达，注重已知和未知的对比，在对比中找寻联系；（二）、教给学生对一类问题的思考模式，而后进行经常地训练。案例一、三角函数的化简、证明、计算教学中，我先要求学生思考的顺序是“一看角、二看名称、三看结构、四看目标”。一看角是指观察角（包括已知的和未知的）的名称、形式、大小是否相同，各个角之间有无某种等量关系，如果有可否先挪列出来，而后分析能否进行相互的转化；二看名称是指角的各个三角函数名称是否同为弦或者同为切，如若不同可否相互转化，转化时向那个方向更容易；三看结构是指观察所给的式子是否符合某些公式或者与那些公式很像，之后思考对公式的选择与应用；

现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。，本文就是谈谈学生数学思维的培养的几点尝试。 1．找准数学思维能力培养的突破口。 心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。 思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。 数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。 创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。新的课程标准和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间。 批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。 2．教会学生思维的方法 要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。 数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力；在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节，仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的；在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力，会运用综合法和分析法，并在解（证）题过程中尽量要学会用数学语言、数学符号进行表达。此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学生的逻辑思维能力；加强逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）的训练，提高发散思维能力等。 3．善于调动学生内在的思维能力 一要培养兴趣，让学生迸发思维。教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。 二要分散难点，让学生乐于思维。对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维。 三要鼓励创新，让学生独立思维。鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展。 当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。

数学教学也就是数学语言的教学。同一堂课，不同的教师教出来的学生，接受程度也不一样，这主要取决于教师的语言水平。

尤其是数学课堂教学，要学生接受和理解枯燥、抽象的数学知识，没有高素质语言艺术的教师是不能胜任的。

鉴于此，结合学生的认知特点、兴趣爱好、心理特征等个性心理倾向，将数学语言生活化是引导学生理解数学、学习数学的重要手段。

数学思维拓展训练特点：

1、全面开发孩子的左右脑潜能，提升孩子的学习能力、解决问题能力和创造力；帮助幼儿学会思考、主动探讨、自主学习，

2、通过思维训练的数学活动和策略游戏，对思维的广度、深度和创造性方面进行综合训练。

3、根据儿童身心发展的特点，提高幼儿的数学推理、空间推理和逻辑推理，促进幼儿多元智能的发展，为塑造幼儿的未来打下良好的基础。

4、利用神奇快速的心算训练和思维启蒙训练，提高与智商最为相关的五大领域的基础能力。

5、为解决幼小衔接的难题而准备。

数学教学也就是数学语言的教学。同一堂课，不同的教师教出来的学生，接受程度也不一样，这主要取决于教师的语言水平。

尤其是数学课堂教学，要学生接受和理解枯燥、抽象的数学知识，没有高素质语言艺术的教师是不能胜任的。

鉴于此，结合学生的认知特点、兴趣爱好、心理特征等个性心理倾向，将数学语言生活化是引导学生理解数学、学习数学的重要手段。

主条目：数理逻辑

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果．现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关联性。

以上内容参考：百度百科-数学

《标准》在“课程目标”的总目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间┅┅解决问题的能力。”另外，在“知识技能、过程方法、情感态度与价值观”的三维目标下，数学课程目标双细化出了“数学思考”，其直接指向的是三维目标中的“过程方法”目标。
所谓数学思考，就是在面临各种现实的问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度去思考问题，也就是能够自觉应用数学的知识、方法、思想和观念去发现其中所存在的数学现象和数学规律，并能够运用数学的知识和数学的思想方法去解决问题。数学思考作为一种“过程性目标”，实际上是让学生经历“做数学”的过程，也就是让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程。数学思考是学生进行数学学习的核心；让学生经历数学思考的过程，是唤起学生对数学的好厅心，激发并维持学生主动和自主学习的根本保证；是提高学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的有力措施；是培育学生实践能力和创新意识的有效途径。
数学思考包括的内容：
1、建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。
2、体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。
3、在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
4、学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
从2001年进行新课改以来，到2011年版新课标的颁布，我们的数学教材发生了很多变化，无论从形式还是到内容都充分地关注了学生的数学思考。小版本变成了大版本，版面设计清爽美观、图文并茂、装帧精美、文字准确，能很好地吸引小学生阅读学习，激发学生的数学思考；从教学内容看，新的数学教材内容丰富，重视学生的经验和体验，根据小学生学习数学的规律，体现了合理的教学顺序和节奏，为培养学生解决问题的能力提供了清晰的思路和步骤，教给了学生解决问题的一般方法，教材中呈现的是：知道了什么，即理解现实的问题情境，发现要解决的数学问题；怎样解答，即分析问题找到解决的方案并解决；解答正确吗，即对解答的结果和解决的方法进行检验、回顾与反思。每册数学教材都设计一次综合实践活动，从一年级下册教材开始设置“数学广角”单元，利用直观操作等手段渗透重要的数学思想方法。每单元内容结束后，设置过程性评价板块，建立成长小档案，为学生提供自我反思与评价的机会，使学生获得学习数学的良好体验，形成良好的学习习惯。学期末结束后，设置了自我评价表，围绕学习表现进行自我评价。所有这些，不仅利于落实“四基、四能”目标，也更利于落实“数学思考”目标。
关注学生数学思考的过程，能更好地唤起学生对数学的好奇心，激发并维持学生主动、自主学习的积极性。真正有效地让学生进行数学思考，教师是真正的执行者和落实者。首先教师必须真正把握教材明确编者意图，结合不同的教学内容将“数学思考”目标落实到课堂教学中。如数与代数的内容应侧重于建立数感、符号意识、初步形成运算能力、体会模型思想，发展形象思维和抽象思维；空间与图形的内容应侧重于几何直观和空间观念的培养；统计与概率的内容应侧重于发展数据分析观念；综合与实践的内容应侧重于应用意识和创新意识的培养。推理能力的培养应该渗透在数学课程的各个领域内容里。当然，年段不同，侧重点也不同。低年段侧重于体验，重在积累数学思考经验；高年段重在思考的深度，培养学生各种数学能力。其次，教师在进行教学设计时，还要注意以下几点：
1、有效创设问题情境
问题是数学的心脏，只有好的问题才能引发学生的积极思考。教师要认真创设具有新颖性、挑战性和可行性的问题情境，激发学生的数学思考。教材基本上每部分内容都创设了很好的情境，教师要充分有效地使用。另外，现实的、生活的题材可以作为问题情境，数学本身的内容也可以作为问题情境。
2、精心设计课堂提问
教师要精心设计课堂提问，因为课堂提问是支撑学生数学思考和整个教学活动的重要内容，是教师激发学生数学思考的直接动力。反思我们的数学课堂提问：有的问题重复耽误时间；有的问题指向性不明确；有的问题细小琐碎；有的问题不够准确；尤其是有的问题缺乏思考性。那么教师应怎样精心设计课堂提问呢？我想，教师设计课堂提问时，一定要结合教学内容、学生实际，在新旧知识的连接处提问；在知识的对比处提问；在知识的变化处提问；在总结知识的规律处提问，提问时要注意问题要由易到难、层层深入、环环相扣等。
3、为学生提供充分思考的时间和空间
我们在听课的过程中发现，有些课堂教学师生是在简单的对话中进行的，尤其是在观察、发现、概括、总结出方法、规律时，教师总是着急，不等学生说出自己的想法就不让学生说或提示代替学生说，没有为学生提供充分思考的时间和空间。教学中，教师要为学生提供充分的思考时间和空间，要让学生先独立思考，不要直接给出问题的思考思路；不要轻易否定学生的想法；要适时把学生提出的问题或具体想法呈现给其他学生，让大家共同交流和探究。穷人的孩子早当家，家长放手的孩子自立、自理能力强，就是让孩子亲身经历了很多。同样，课堂上教师只有放手、舍得，才会让学生去充分地经历体验、充分地进行数学思考。还要给学生创造宽松的课堂氛围，培养学生敢问、爱问、会问，从而激发学生的数学思考。
4、设计富有思考性的练习题
练习题一般分为基本练习、综合练习和拓展练习。教师可以结合教学内容、学生实际每节课设计一道或两道更有思考性、挑战性的综合练习或拓展题，调动学生的学习兴趣，激活学生的思维，提升学生的数学思考。
总之，我们的数学课堂教学，要给学生努力创设良好的思考环境，引发学生的数学思考，不断促进学生的数学思考力度，感受数学思考的魅力，使学生成为会数学思考、乐于数学思考的人，真正使我们的孩子受到良好的数学教育，形成良好的数学素养！

想想，让他们想象从自己延伸

数学教育的本质是素质教育。这不仅是因为数学是我们认识这个世界最重要、最基本的工具，还因为数学教育有着不可替代的、培育理性思维的育人价值。那么在数学教育过程中如何落实理性思维的培养，真正实现素质教育呢？

一、严谨是理性思维的基础——“粗心”是数学学习中一个很坏的借口

数学考试成绩出来，经常有学生感叹：“怎么这个题目错了”，“我都会的，就是粗心了”。听到这样的话，家长和老师往往就放心了，叮嘱一下以后不要粗心，好像问题就解决了。

而事实上没有一个人会希望在考试中粗心，大家都希望高质量地完成考试，但却总是避免不了各种错误。这是因为本质不是粗心，是能力问题。粗心这个词掩盖了很多实质性的问题。

我觉得粗心是大量实质性问题的不恰当归类。所谓的粗心，总体而言就是不严谨，其下位是学生在学习上的各种能力的缺陷。运算错了，是运算能力有问题；理解上出了偏差，是理解能力存在缺陷；考虑问题不全面，是逻辑不严密；表达上出纰漏，是表达能力的问题等。很多环节都有所谓的粗心，但我觉得我们不能用“粗心”一词简单地一笔带过，应该认识到这是涉及各个方面的能力问题。

要关注数学学习中能力培养的问题，其核心是良好的学习习惯和严谨的意识。我们以运算为例。在高中数学中，运算中每一步分解开大多是小学数学的内容，理论上说不应该错。很多情况下出错是因为学生在运算时注意力不集中，专注力不够，由此出现种种低级错误。

当然和粗心一样，专注力的问题也是一个说起来容易、解决起来困难的问题。人的专注力常常是不以自己的意志为转移的。在数学学习、问题解决中保持较强专注力是一种能力，需要在日常训练中养成，其基础是良好的数学学习习惯和严谨的态度。

在数学学习中，我们应该要求自己以严谨认真的态度，聚精会神地去做每一件事。这种高度关注、全力以赴是一种非常重要的习惯，是能力提升的基础，能形成学习、工作与生活的良性循环。

虽然我曾担任过奥数教练，但我不赞成人人都参加奥数训练。有能力的、喜欢的学生去学习，没有基础、不喜爱却盲目学习奥数的后果就是“磨洋工”。明明不喜欢，不愿意，但被迫去做，学生不可能专注，不可能严谨。或许学生花了很长时间，但是效率不高，质量不好，反而养成了坏习惯。

二、质疑是理性思维的核心——数学教育中的“是什么”“为什么”“还有什么”

复旦附中曾容老师将数学学习归纳出三个什么，那就是：“是什么”“为什么”“还有什么”。

高中数学内容比初中更抽象，知识浓度大幅度提升。很多学生突然觉得高中数学很难学，那是因为没有随着对能力要求的提升，及时调整学习方法，习惯用初中学习的模式，进行高中数学学习。这是在“学”这一方面存在的问题。

那么在“教”这一方面的问题是什么呢？我们常常过于专注于具体知识的学习或传授，而忽视揭示其背后的道理。在一些数学教学中经常没有思考过程只是结论，由条件到结论，其中缺乏质疑与说理的环节，把数学的思维过程压缩成结论的抢答。只追求解题速度，却不关注思维品质提升，满足于知其然，不质疑所以然。因此学生的探究、归纳和逻辑推理能力没有得到充分训练，丧失了最有效的培养学生的质疑、探究、归纳和逻辑推理能力的机会。

在数学学习中应以学生为主体，学生不能被动地学习。在高中数学中有着大量前人创造性的工作，需要重视数学知识与概念形成过程。数学知识概念都是前人的创造，学生在老师引导下模拟发现探究的过程，这才是最真实的创新。比如在立体几何中，异面直线所成角大小的概念为什么如此定义？其中包含着怎样的数学道理？为问题解决奠定了怎样的基础？这些问题仔细探究下去，看似多花了些时间，但可以让学生抓住概念中蕴含的重要信息，挖掘数学概念内涵，培养质疑、探究精神，体验数学的简洁与高效。

学任何学科都要有质疑的精神。我们所说的数学中质疑的眼光，关键是质疑数学知识本质是什么，为什么是这样，除此之外还有什么，只有这样才能最终促进数学学习，提升学习能力和思维品质。

三、兴趣是理性思维培育的基石——模拟数学历史，培育数学学习兴趣

爱因斯坦说过：“对一切来说，只有热爱才是最好的老师，远远超过责任感。”我想，如果没有兴趣，是绝谈不上“热爱”的。一直以来，我们似乎有一个比较普遍的观点，就是美国中小学数学教育不如我们。但是为什么一方面我们认为我国的基础数学教育水平远远高于美国人，而另一方面却还有很多人质疑数学教育的作用，希望数学“滚出高考”呢？答案其实很简单，如果数学教育的目的就是考试，数学学习的过程只有解题的话，数学教育当然令人乏味。

高中阶段学生的兴趣已经不是简单地建立在好玩、有趣之上了，更重要的是使学生觉得有收获，有教益。那么怎么才算是有收获呢？一种观点是要体现数学源于实践，也能运用于实践，学了之后能在生活中有用。但遍数高中数学知识，能够真正直接运用于生活实践的屈指可数，人为编造的“运用”不仅不能令人信服，更是学习数学无用论的原因之一。实际上数学是自然科学的基础是公认的事实，这就是数学最令人信服的运用。

在数学学习过程特别是高中数学学习过程中，我反对片面强调数学与实际应用挂钩，而更要期望关注数学的不用之用，从文化的角度和人的成长角度思考数学教育。现在数学教育的问题在于割裂了数学知识与其背后的思想、文化之间的有机联系，只有一个个孤立的知识点与题目，却没有鲜活的过程和体验。任何数学概念的产生都不是天上掉下来的，数学的发展既有内部需要，也有外部力量推动等因素，这都是非常宝贵的数学资源。

因此，数学的魅力在于让学生体会教材中数学概念产生的必要性和可能性，引导他们去重历或者模拟这些问题的发生、发展的过程，使学生在知识积累的同时亲身体验到探索、创新的快乐，并从前人研究问题的背景以及相应的方法中得到启发，感悟数学文化。

四、数学是一种理性思维的文化——我们为什么要学数学

“数学没用”“题目难”是很多人对于高中数学的印象，甚至有人在网络上发出“数学滚出高考”的呼声。那么为什么人人都要从小学就开始学习看似和日常没啥关系、很多人考完就忘的数学呢？

这个问题我们不妨换一个角度来思考。在中国大概很少有人问读唐诗有什么用。这是因为人们都认同唐诗是中国传统文化，其中蕴含着重要的育人价值和文化传承，即所谓的“不用之用”。

我们从小读唐诗，是为了学习与感受祖国的文化。同样，学习数学也是在学习一种文化。数学是一种世界文化，数学教育中同样有着育人价值和文化传承。

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