已知圆C经过A(0,1),B(4,a)(a属于R)两点 如果AB是圆C的直径,证明:无论a取何实数,圆C恒经过除A外的另
解:易知,以AB为直径的圆C:(x²-4x)+(y-1)(y-a)=0.===>[(x²-4x)+(y²-y)]-a(y-1)=0.当y=1时,有x²-4x=0.===>x=0,或x=4.故点P(4,1)在该圆上。
(1)当a=3时,A(0,1),B(4,3),AB是圆C是直径,所以圆C的圆心坐标为(2,2),半径为根号5,因此圆的标准方程为(x-2)^2+(y-2)^2=5;
(2)当a=1时,A(0,1),B(4,1),即AB平行于x轴;圆C与x轴相切,则切点在x轴上且过切点与圆心的直线垂直于AB,该直线平分弦AB,所以切点的坐标为P(2,0)。
设圆的方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,A(0,1),B(4,1),P(2,0)三点在圆上,所以
1+E+F=0
16+1+4D+E+F=0
4+2D+F=0
解得D=-4,E=-5,F=4
故所求圆的方程为x^2+y^2-4x-5y+4=0。
(3)AB是圆C的直径,则此圆的半径为(2,(a+1)/2),半径r^2=(2-0)^2+[(a+1)/2-1]^2=(a^2-2a+17)/4,进一步可得圆的方程为(x-2)^2+[y-(a+1)/2]^2=(a^2-2a+17)/4,化简得
x^2+y^2-4x-(a+1)y+a=0,D^2+E^2-4F=(-4)^2+[-(+1)]^2-4a=16+(a-1)^2>0
即不论a取何值x^2+y^2-4x-(a+1)y+a=0都可以表示一个圆,令x^2-4x=0,y^2-(a+1)y+a=0,则得
x=0或x=4;y=1或y=a,于是不论a取何值圆C都过除A(0,1)外的另一定点,其坐标是(4,1)。
设圆上任意一点为C(x,y)则有:
向量AC乘以向量BC的数量积为0即:
x*(x-4)+(y-1)*(y-a)=0
很显然此圆必经过四点(0,1)(0,a)(4,1)(4,a)再看问题那么可知另一定点为(4,1)
若没学过向量则可以先求出圆心和半径(用a表示)
列出方程,最终仍可得上式
此外用纯几何法也可得之
在直角坐标系中x=4是此圆的一条割线,其与此圆有两个交点其中一个为(4,a)而另一个据垂径定理知其为(4,a)关于 圆心到割线的垂足 的对称点画一个图可知为(4,1)
求经过a(0,0),b(2,0),c(0,4)三点的圆的标准方程
图
已知圆C经过点A(-2,0),B(-1,3)且圆心在直线y=x上,且,又直线l:y=kx+1...
(I)求圆C的方程 解:因为圆心在直线y=x上,设圆心坐标为:(a,a)。半径为r。则:r^2=(-2-a)^2+(0-a)^2=(-1-a)^2+(3-a)^2 解得:a=3\/4..r^=65\/8 圆的方程 为:(x-3\/4)^2+(y-3\/4)^2=65\/8 (2)直线l:y=kx+1过圆心即可。易得k=-1\/3..而L1与l垂直,...
已知圆C经过点A(-4,0),B(0,4),且圆心在直线y=x上,又直线l:y=kx+2与...
(I)设圆心C(a,a),半径为r.因为圆经过点A(-4,0),B(0,4),所以|AC|=|BC|=r,所以(a+4)2+a2=a2+(a?4)2=r解得a=0,r=4,所以圆C的方程是x2+y2=16.(II)因为OP?OQ=-8,所以cos∠POQ=-12,所以∠POQ=120°,所以圆心到直线l:kx-y+2=0的距离d=2,又d=...
已知C经过两点A(0.2).B(-3.3) 圆心在直线x-y+3=0上,求圆方程
+b²-4b+4=a²+6a+9+b²-6b+9,于是有 6a-2b+14=0,即3a-b+7=0---①,圆心在直线x-y+3=0上,则a-b+3=0---② ①-②,得2a+4=0,所以a=-2,代入②,得b=1 所以圆心O为(-2,1),半径r=|OA|=√5.故圆方程为(x+2)²+(y-1)²=5 ...
高二数学∶已知圆C经过点A(‐2,0)B(0,2),且圆心C在Y=X上,又与直线...
1)设圆的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0 圆心C在直线y=x上 ∴D=E 将点A(-2,0),B(0,2)代入 4-2D+F=0 4+2D+F=0 解得:F=-4,D=E=0 ∴圆的方程为x²+y²=4 设直线l:y=kx+1的参数方程为 {x=tcosθ,y=1+tsinθ (θ为倾斜角)代入x²...
已知圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且直线m:3x-2y=0平分圆C。若过点D(0...
设圆心为(a,b),半径 r ,则 3a-2b=0 ;(a-1)^2+(b-3)^2=r^2 ;(a-2)^2+(b-2)^2=r^2 ,以上三式解得 a=2,b=3,r^2=1 ,因此圆方程为 (x-2)^2+(y-3)^2=1 。设过 D 的直线方程为 y=kx+1 ,代入圆方程得 (x-2)^2+(kx+1-3)^2=1 ,化简得 (k^...
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(2,0)和点B(3,1),且圆心C在直线...
(1)∵A(2,0)和点B(3,1),∴线段AB中点M(52,12),斜率kAB=1?03?2=1,∴线段AB的中垂线方程为y=-x+3.∵圆心C在直线x-y-3=0上,∴y=?x+3x?y?3=0,∴圆心C坐标为(3,0).半径r=|AC|=1,∴圆C的方程为(x-3)2+y2=1.∵直线y=kx+1与圆相交,∴圆心C到...
已知圆c经过点a(1,1)和b(2,-2),且圆心c直线l:3x-4y+1=0上 (1):求圆...
(1)圆C经过点A(1,1)和B(2,-2),则其中点M(3\/2,-1\/2),因为圆心C在直线3x-4y+1=0上,所以可设圆心坐标C(x,(3x+1)\/4),显然CM与AB垂直,向量MC=(x-3\/2,(3x+3)\/4),向量AB=(1,-3),两向量内积为零,即:(x-3\/2)-(9x+9)\/4=0,解之得 x=-3 所以圆心...
已知圆C经过坐标原点O A(6,0 B(0,8))三点 求圆C的方程
设圆C的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=c^2, c>0 三点坐标代入方程,得:(-a)^2+(-b)^2=c^2 (6-a)^2+(-b)^2=c^2 (-a)^2+(8-b)^2=c^2 解得:a=3,b=4,c=5 即所求方程为 (x-3)^2+(x-4)^2=25
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心C在直线x-y+1=0上
圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心C在直线x-y+1=0上 AB的垂直平分线方程是y=-x+3 圆心C必过y=-x+3和x-y+1=0的交点,即(1,2).半径r^2=(2-1)^2+(1-1)^2=1.即圆方程是(x-1)^2+(y-2)^2=1.假设存在,设直线L方程是y=x+b.代入圆方程:x^2-2x+1+(x+b...
源胜尤尼: AB中点M(3/2, 5/2), 斜率1, 其中垂线斜率-1, 方程为: y - 5/2 = -(x - 3/2) 与L联立,C(1, 3) 半径r, r^2 = 5 圆的标准方程:(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5 切线斜率k, kx-y =0, C与其距离为半径, k = -2, k=1/2
璧山县13193367651: 已知经过点A(0,1)的圆与x轴相切于点B(4,0),求圆的方程 - ?
源胜尤尼: 过点A(0,1)和点B(4,0)的直线方程:y=-x/4 +1 点A(0,1)和点B(4,0)的中点(2,1/2) 过(2,1/2)垂直于y=-x/4 +1的直线方程:y=4x-15/2 直线y=4x-15/2 和直线x=4 的交点即圆心(4,17/2) 半径也=17/2 圆的方程:(x-4)^2+(y-17/2)^2=(17/2)^2
璧山县13193367651: 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)B(4, - 4),且圆心在直线l:x - y+1=0上,求该圆的标准方程 - ?
源胜尤尼: AB的斜率k=(-4-1)/(4-1)=-5/3 AB的直线方程:y=-5/3(x-1)+1=-5x/3+8/3 圆心在AB与直线L: y=x+1的交点上: -5x/3+8/3=x+1 得:x=5/8 从而y=5/8+1=13/8 圆心O为(5/8,13/8) 半径为OA OA^2=(5/8-1)^2+(13/8-1)^2=(3/8)^2+(5/8)^2=17/32 因此圆的方程为:(x-5/8)^2+(y-13/8)^2=17/32
璧山县13193367651: 已知圆C过A(0,1)及直线x=4上一点B且与x轴相切;满足以上条件的圆有且只有一个,求B点 - ?
源胜尤尼: 设半径r 圆心纵坐标为a 则圆C方程为(x-4)^2+(y-a)^2=r^2 带入点(0,1)和 (4,0) 列二院一次方程组求解
璧山县13193367651: 已知圆心在y轴上的圆C经过点A(0,3)和B(4,1) - ?
源胜尤尼:[答案] 是要求圆的方程式吗? 因为圆心在y轴上,设圆心C(0,b) 圆的方程式为x²+(y-b)²=r² 圆C经过点A(0,3) B(4,1) 将A B代入方程式中 得 (3-b)²=r² 16+(1-b)²=r² (3-b)²=16+(1-b)² 解得b=-2 r²=25 所以圆C的方程式为x²+(y+2)²=25
璧山县13193367651: 已知过点A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及圆的方程 - ?
源胜尤尼: [分析与解答]设圆心为C(m,n),半径长为r 则圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=r2 ∵圆与x轴相切∴圆方程可化为x2-2mx+m2+y2-2ny=0 由点A(0,1)在圆C上 由点B(4,a)在圆C上 ,整理得(1-a)m2-8m+a2-a+16=0 若合题意的圆有且只有1个,必有m只有唯一解 当1-a≠0即a≠1时 △=64-4(1-a)(a2-a+16)=0 解出a=0 ∴m2-8m+16=0,m=4 此时圆C方程为当1-a=0即a=1时 ∴-8m+16=0,m=2,此时圆的方程为
璧山县13193367651: 数学高一题,高手回答!有详细过程! - ?
源胜尤尼: 1.就是让(x-a)^2+(y-a)^2=1与圆x^2+y^2=1始终有2个交点即可 也就是让两个圆相交 满足圆心距小于半径之和(外切)且大于半径之差(内切) 即0≤√2|a|≤2 解得--√2≤a≤√22. 3. 4..
璧山县13193367651: 已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及圆的方程 - ?
源胜尤尼: 直线 Y = 1 和 x = 4 的交点 c(4,1),假设c点在圆上,由对称性知,切点为d(2,0),设所求圆的圆心e(X0,Y0),半径为r,由假设,A,c,d在所求圆上,则应有 X0^2+(Y0-1)^2=r^2 (X0-2)^2+Y0^2=r^2 (X0-4)^2+(Y0-1)^2= r^2 由以上三式解得 XO=2,Y0=5/2,r=5/2 由假设而得的圆的方程为(x-2)^2+ (y-5/2)^2=25/4 由上,当x=4时,y=4,所以a=4.当a=4时,所求圆合符题目要求.
璧山县13193367651: 已知圆C经过A(0,1)及B(0, - 1),且与直线x+y - 1=0相切.求圆C的方程 - ?
源胜尤尼: 圆C经过A(0,1)及B(0,-1),则圆心C在AB的垂直平分线y=0(即x轴)上,可设C(a,0); 则:r²=AC²=a²+1 由点到直线的距离公式,C(a,0)到直线x+y+1=0的距离d=|a+0+1|/√2=r 即:(a+1)²/2=r²(a+1)²/2=a²+1a²+2a+1=2a²+2a²-2a+1=0(a-1)²=0 得:a=1 则:r²=a²+1=2 C(1,0), 所以,圆C的方程为:(x-1)²+y²=2祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
璧山县13193367651: 已知圆C过点O(0,0),A(1,3),B(4,0)求圆C的方程? - ?
源胜尤尼: 设圆C的方程是(x-a)²+(y-b)²=r² 把点O(0,0),A(1,3),B(4,0)代入方程(0-a)²+(0-b)²=r²(1-a)²+(3-b)²=r²(4-a)²+(0-b)²=r² 化简:a²+b²=r² ① a²-2a+1+b²-6b+9=r² ② a²-8a+16+b²=r² ③ ①-③:8a-16=08a=16 a=2 ①-②:2a+6b-10=04+6b-10=06b=6 b=1 把a=2,b=1代入①:2²+1²=r² r²=5 ∴圆C的方程是:(x-2)²+(y-1)²=5