在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(-2,0),P为平面内一动点,直线PA、PB斜率之积为-3/4.求p轨迹方程
解:(1)设P(x,y)
则:PA:y-0=k1*(x-2): PB:y-0=k2*(x+2)
将俩直线方程相乘:y^2=k1*k2*(x-2)(x+2)
且:k1*k2=-3/4
所以:得方程:x^2/4+y^2/3=1
即,点P的轨迹C的方程为椭圆 x^2/4+y^2/3=1
(2)细节思路:设直线E.F的一般方程
因过点(1/2,0),带入得:y=k(x-1/2)
因椭圆与直线相交
设E.F的坐标,由中点坐标公式得M的代数坐标。
联立椭圆与直线,根据《伟达定理》得M的坐标值。
则有A和M,有直线AM,可得其斜率k的取值范围。
利用韦达定理
1、P(x,y)
则[(y-0)/(x-2)]*[(y-0)*(x+2)]=-3/4
y²/(x²-4)=-3/4
4y²=-3x²+12
x²/4+y²/3=1
2、
EF是y-0=k(x-1/2)
y=kx-k/2
代入3x²+4y²-12=0
(3+4k²)x²-4k²x+k²-12=0
x1+x2=4k²/(3+4k²)
y1+y2=kx1-k/2+kx2-k/2=k(x1+x2)-k=-3k/(3+4k²)
所以M[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]是[2k²/(3+4k²),-3k/2(3+4k²)]
所以MA斜率=[0+3k/2(3+4k²)]/(2-2k²/(3+4k²)]
=3k/(12+4k²)
方程(3+4k²)x²-4k²x+k²-12=0有解
所以16k^4-4(3+4k²)(k²-12)>=0
45k²+36>=0
所以k∈R
所以MA斜率=3k/(12+4k²)=3/(12/k+4k)
k>0,则12/k+4k>=2√12/k*4k=8√3,
0<3/(12/k+4k)<=√3/8
同理,k<0,则-√3/8<=3/(12/k+4k)<0
k=0,3k/(12+4k²)=0
所以MA斜率的取值范围是[-√3/8,√3/8]
(2)
直线l过点(0.5 ,0),设直线l方程为y=m(x-0.5)
直线l 与轨迹 C 交于E,F两点,设E,F两点坐标为(x1,y1),(x2,y2)
E,F两点的中点M坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
((x1+x2)/2,m(x1+x2-1)/2)
联立y=m(x-0.5)与3x^2+4y^2=12消去y
得:(4m^2+3)x^2-4m^2x+m^2-12=0
x1+x2=4m^2/(4m^2+3)
所以M坐标为(2m^2/(4m^2+3),3m/(8m^2+6))
AM 的斜率 k =[3m/(8m^2+6)]/[2m^2/(4m^2+3)-2]
=m/(4m^2+4)
=0.25(m/(1+m^2))
令t=1/(m/(1+m^2))=(1+m^2)/m=1/m+m
当m>0时,t=1/m+m≥2√(m*(1/m))=2,
当且仅当m=1/m,即m=1(m=-1舍去)时取等号
当m<0时,t=1/m+m=-(-1/m+(-m))≤-2√(-m*(-1/m))=-2
当且仅当-m=-1/m,即m=-1(m=1舍去)时取等号
所以t≥2或t≤-2
-1/2≤1/t≤1/2
-1/8≤0.25(1/t)≤1/8
即-1/8≤k≤1/8
由于曲线c中-2<x<2,所以当m=0,即:直线l的方程为y=0时,l与c无交点
此时k =0.25(m/(1+m^2))=0舍去
而当m为∞时,直线l方程为x=0.5,此时E,F两点关于x轴对称,中点m坐标为(0.5,0)
直线AM显然与x轴重合即y=0,斜率为0,说明k=0是存在的
所以k的取值范围是:-1/8≤k≤1/8
已知平面直角坐标系内有一点M(a+3,2ay-4),(1)若点M到两坐标轴的距离相等...
解:∵点M(a+3,2a一4)到两坐标轴的距离相等,∴Ⅰa+3Ⅰ=Ⅰ2a一4Ⅰ∴a+3=2a一4……(1)或a+3=4一2a……(2)由(1)得:a=7由(2)得:a=1\/3∴当a=7时,点M的坐标为(10,10),当a=1\/3时,点M的坐标为(10\/3,一10\/3)。
如图,在平面直角坐标系内,已知点A(8,0),点B(0,6),动点P从点B开始在 ...
解:(1)∵OA=8,OB=6, ∴S △AOB = ×8×6=24 (2)∵OA=8,OB=6,∴AB=10 当∠BPM=∠AOB=90°时△BPM∽△BOA ∴ ∴ ∴ 秒当∠BPM=∠AOB=90°时△BPM∽△BOA ∴ ∴ ∴ 秒∴当 秒或 秒时,△BPM与△BOA相似。
在平面直角坐标系中,已只点A(4,0),点P是第一象限内直线
所以Y=6-X,P(X,6-X)由于P在第一象限,所以6>X>0,,OA=4,h=Y=6-x,所以S=12-2x.(2)10=12-2x,解出x=1,所以P(1,5)(3)已经确定OA为底,所以AP=PO,也就是说,P在AO的垂直平分线上。OA的垂直平分线是x=2,它与y=6-x的交点为(2,4),即为所求的P点坐标。
在平面直角坐标系xOy中,已点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上...
(1) 45°或135°;(2) 当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9 +18.(3) (- , ),( , );是,理由见解析. 试题分析:(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴...
在平面内,任意一点的坐标有什么特点?
X横坐标。Y纵坐标。特殊位置的点的坐标的特点:1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。2.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴(两点的横坐标不为零);如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴(两点的纵坐标不为零)。3.点到轴及原点的距离:点到...
如图,在直角坐标平面内,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),B点在x轴上且...
(1)略(2)成立(3)x C ·x D =- y H. 解:(1)由已知可得点B的坐标为(2,0)点C的坐标为(1,1),点D的坐标为(2,4),且直线OC的函数解析式为y=x。∴点M的坐标为(2,2),易得S △CMD =1,S 梯形ABMC = ………(1.5')∴S △CMD ∶S 梯形ABMC...
在平面直角坐标系中,已知第一象限内点A的坐标为(1,m),OA=2,y=m分之...
(1)解:A的坐标为(1,m),且y=m分之3x 经过A点,所以将A点代入直线方程。即:m=m分之3 。所以m=正负根号3。又因为,点A在第一象限内,所以,m=根号3。得出A的坐标(1,根号3)。同理代入y=x分之k-1。即:根号3=k-1。所以k=根号3+1。(2)解:作如图所示的直角。因为A(1,...
数学知识点归纳:平面直角坐标系
. 平面直角坐标系:(1)在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系,通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴,取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫纵轴或轴,取向上的方向为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。(2)建立了直角坐标系的平面叫坐标平面.x轴和y轴把坐标平面分成四个...
平面直角坐标系中已经一条直线上的两点坐标、怎么求这条直线经过X轴的...
我现在不方便算,给你说一下方法吧!因为是直线,则设直线的方程为y=ax+b,然后两A、B两点的坐标带入方程,解方程组,求出a,b的值,则方程就求出来了。前后与X轴的交点,则y=0,将y=0带入刚才求出的方程,求出x的值,则Q的坐标就是(x,0)
在直角坐标平面内,点A的坐标为(2,1),点B为X轴上一点,圆A与圆B只有一个...
点B的坐标为(3√7+2,0),(√15-2,0)(两圆只有一个交点,必为相切)方法为:连接AB,过点A做AH垂直于x轴,则 AB长为6+2=8(外切)或者6-2=4(内切)当两圆外切时,在Rt△ABH中,可以求得,BH=3√7,所以,点B的左边为(3√7+2,0)当两圆内切时,在Rt△ABH中,可以求得...
泊溥醋酸:[选项] A. (-3,2) B. (-3,1) C. (2,1) D. (-2,1)
衡东县18265733398: 已知直角坐标平面上点A(2,0),P是函数y=x(x>0)图象上一点,PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q(如图).(1) - ?
泊溥醋酸: 解:(1)过P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为H、T ∵点P在函数y=x(x>0)的图象上,∴PH=PT,PH⊥PT.(1分) ∵AP⊥PQ,∴∠APH=∠QPT. 又∠PHA=∠PTQ,∴△PHA≌△PTQ,(1分) ∴AP=PQ. (1分) (2)根据题意得 AH=2-a=TQ. ∵OQ+TQ=OT=...
衡东县18265733398: 在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B( - 2,0),P为平面内一动点,直线PA、PB斜率之积为 - 3/4.求p轨迹方程 - ?
泊溥醋酸: 1、 P(x,y) 则[(y-0)/(x-2)]*[(y-0)*(x+2)]=-3/4 y²/(x²-4)=-3/44y²=-3x²+12 x²/4+y²/3=12、 EF是y-0=k(x-1/2) y=kx-k/2 代入3x²+4y²-12=0(3+4k²)x²-4k²x+k²-12=0 x1+x2=4k²/(3+4k²) y1+y2=kx1-k/2+kx2-k/2=k(x1+x2)-k=-3k/(3+4k...
衡东县18265733398: 在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B( - 2,0),P是平面内一动点,直线PA、PB斜率之积为 - 3/4 - ?
泊溥醋酸: 解:(1)设P(x,y) 则:PA:y-0=k1*(x-2): PB:y-0=k2*(x+2) 将俩直线方程相乘:y^2=k1*k2*(x-2)(x+2) 且:k1*k2=-3/4 所以:得方程:x^2/4+y^2/3=1 即,点P的轨迹C的方程为椭圆 x^2/4+y^2/3=1 (2)细节思路:设直线E.F的一般方程 因过点(1/2,0),带入得:y=k(x-1/2) 因椭圆与直线相交 设E.F的坐标,由中点坐标公式得M的代数坐标.联立椭圆与直线,根据《伟达定理》得M的坐标值.则有A和M,有直线AM,可得其斜率k的取值范围.
衡东县18265733398: 直角坐标平面内,已知A(2,0),B( - 2,0),P是平面内一动点,直线PAPB的斜率之积为 - 3/41、求动点P的轨迹C的方程;2、过点(1/2,0)作L直线与轨迹C交于E... - ?
泊溥醋酸:[答案] 1、P(x,y)则[(y-0)/(x-2)]*[(y-0)*(x+2)]=-3/4y²/(x²-4)=-3/44y²=-3x²+12x²/4+y²/3=12、EF是y-0=k(x-1/2)y=kx-k/2代入3x²+4y²-12=0(3+4k²)x²-4k²x+k²-...
衡东县18265733398: 已知平面内过点A( - 5,0)的直线和过B(5,0)的直线始终保持垂直,求此两直线焦点P的轨迹方程. - ?
泊溥醋酸:[答案] 解平面内过点A(-5,0)的直线和过B(5,0)的直线始终保持垂直 则点P的轨迹是以A(-5,0)和B(5,0)为直径的圆 (当此圆不包括A(-5,0)和B(5,0)) 故该圆的方程是x²+y²=25 (x≠±5)
衡东县18265733398: 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(2,0)和点B(3,1),且圆心C在直线x - y - 3=0上,过点P(0,1)且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点.(1)求圆C的... - ?
泊溥醋酸:[答案] (1)∵A(2,0)和点B(3,1), ∴线段AB中点M( 5 2, 1 2),斜率kAB= 1−0 3−2=1, ∴线段AB的中垂线方程为y=-x+3. ∵圆心C在直线x-y-3=0上, ∴ y=−x+3x−y−3=0, ∴圆心C坐标为(3,0). 半径r=|AC|=1, ∴圆C的方程为(x-3)2+y2=1. ∵直线y=kx+1与圆...
衡东县18265733398: 已知两定点A( - 2,0),B(2,0),如果动点P满足PA与PB的斜率之积为 - 2,则点P的轨迹方程 - ?
泊溥醋酸:[答案] 设P(x,y) PA斜率=y/(x+2) PB斜率=y/(x-2) 由题意,它们的乘积=y^2/(x^2-4)=-2 化简得:y^2+2x^2=8 这是椭圆
衡东县18265733398: 在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0, - 4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC. (1)求点C的 - ?
泊溥醋酸: C的坐标为(3,﹣1);(2)①抛物线的解析式为y=﹣ x 2 + x+2;②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,符合条件的点有P 1 (﹣1,1),P 2 (﹣2,﹣1)两点.试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至...
衡东县18265733398: 在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B( - 2,0),P是平面内一动点,直线PA.PB的斜率之积为负3分之四,求动点P的轨迹C的方程.(急需,详细过程)?
泊溥醋酸: 设P点为(x,y),则y^2:(x+2)(x-2)=-4/3,所以为4x^2+3y^2=16