f″(x)+f(ⅹ)=-xsⅰnⅹ+2cosx,其中f(ⅹ)连续,求f(ⅹ)
1、首先求 f″(x)+f(ⅹ)=0 的齐次微分方程。该齐次微分方程的通解,可以用特征方程求出其特征根,即 r²+1=0,得r=±i。
Y=C1cosx+C2sinx
2、然后求该微分方程特解的形式。由于
g(x)=2cosx-xsinx(=)e^(λx)[P1(x)cos(ωx)+Pn(x)sin(ωx)]
从而,P1(x)=2,Pn(x)=x,ω=1,λ=0
故λ±iω=±i是特征方程的根,取k=1,则此方程特解的形式为
y*=xe^x[(ax+b)cos(x)+(cx+d)sin(x)]
3、再y*求一阶导数和二阶导数,有
(y*)'=
e^x(cos(x)(b + ax) + sin(x)(d + cx)) + xe^x(cos(x)(b + ax) + sin(x)(d + cx)) + xe^x(cos(x)(d + cx) - sin(x)(b + ax) + a cos(x) + c sin(x))
(y*)"=
2e^x(cos(x)(b + ax) + sin(x)(d + cx)) + 2e^x(cos(x)(d + cx) - sin(x)(b + ax) + a cos(x) + csin(x)) + xe^x(cos(x)(b + ax) + sin(x)(d + cx)) + 2xe^x(cos(x)(d + cx) - sin(x)(b + ax) + a cos(x) + c sin(x)) - xe^x(cos(x)(b + ax) + sin(x)(d + cx) - 2c cos(x) + 2a sin(x))
4、把(y*)和(y*)"回代原微分方程,并整理后,比较等式两边同类项系数,得到
a=0,b=(3cos(2x))/8 - (xsin(2x))/4 + x^2/4 - 3/8,c=1,d=(3sin(2x))/8 + (xcos(2x))/4
5、最后求得其通解
f(x)=Y+y*
=C1cos(x) + C2sin(x) + cos(x)((3cos(2x))/8 - (xsin(2x))/4 + x^2/4 - 3/8) + sin(x)(x + (3sin(2x))/8 + (xcos(2x))/4)
函数f( x)有几个拐点?
从导数图像可知,导函数f′(x)有3个零点,且a,b2个零点左右两侧导数值均变号,则说明函数f(x)有2个极值点.导函数f′(x)在b、c中间最高处、c点两个地方取得极值,即这两点处二阶导数f″(x)为0,且在bc中间最高点左侧导函数斜率大于0,右侧导函数斜率小于0,所以bc中间最高点为拐点...
函数f(x)=x^4-2x^2的凸区间
f(x)=x^4-2x^2 f ′(x) = 4x^3-4x f ″(x) = 12x²-4 = 12(x+√3\/3)(x-√3\/3)∵凸区间的f ″(x)<0 ∴凸区间(-√3\/3,√3\/3)
f'(x)什么意思?
f'(x)是f(x)的导函数。比如:f(x)=x³+x,那么f'(x)=3x²+1。f(x)=lnx,那么f'(x)=1\/x。f(x)=e^x,那么f'(x)=e^x。f(x)=sinx,那么f'(x)=cosx。导数极值:一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,...
f'(x)是什么意思?
它表示函数f(x)的一阶导数 函数f(x)的一阶导数=f’(x)f(x)=x可以看作是y=x 区别是f(x)=x中是以x为变量,而y=x在没有特别说明的情况下是以x为变量,也可以以y为变量,前边是一个具体数值,而后面是一个未知数。简介:如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导,就称函数f(x...
...上二阶可导,且满足f(0)<0,f′(0)>0,当x>0时,f″(x)>0,
由f''(x)>0 f'(x)是增加函数。设f'(0)=M,由已知,M>0,对x>0,f'(x)>f'(0)=M>0,所以f(x)也是增加函数。且f(x)=f(0)+f'(a)x (中值定理,a为0与x之间某一正数)>f(0)+Mx, 所以当x趋向正无穷时 f(x)趋向正无穷。至少当x=k(K是一个充分大的正数)时f(K)>0.在...
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f″(x)<0,证明:∫baf(x)dx≤(b-a)f(a+...
证明:?x,t∈[a,b],将f(x)在t处展开,可得 f(x)=f(t)+f′(t)(x?t)+ f″(ξ)2!(x?t)2.因为f″(x)<0,所以有:f(x)≤f(t)+f′(t)(x-t).令t= a+b 2 ,则有 f(x)≤f(a+b 2 )+f′(a+b 2 )(x?a+b 2 ).将不等式两边从a到b积分可得...
函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为,最小值为?
通常由导数为零,求得x值,再决定极大小值。但本题在[0,2]上,f′(x)=0只有一个x。值。所以,加求出两端,即f(0)、f(ⅹ。)、f(2),再比较得出最大小值。看过程体会。满意,请及时采纳。谢谢!
设函数f(x)有任意阶导数,f'(x) =f²(x), 则f∧(n) (x) =?
据f'(x)=f^2(x)解这个微分方程,得到f(x)=-1\/x;逐次求导,找到一般的结果:注:n=0表示对f(x)求零阶导数,就是f(x)的零阶导数=f(x)=-1\/x自身。
f(X)=X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)...X+n,则f'(0)=?
=n!
如何理解函数f(x)在点x=3处的极限
解,f(x)=[√(x^2+5ⅹ+2)-4]\/(ⅹ+3)=√(x^2+5ⅹ+2)\/(x+3)^2-4\/(ⅹ+3)=√[1-(x+7)\/(ⅹ+3)^2]-4\/(x+3)当x→+oo,则f(x)=1 极限思想的思维功能 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中,有着广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与...
殳元盐酸: 解:(1)因为f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),所以f(0+0)+f(0-0)=2f(0)*f(0),又因为f(0)≠0 所以有f(0)=1;(2)f(-x)+f(x)=f(-x+0)+f(x+0)=2f(x)f(0)=2f(x),所以有f(-x)=f(x)从而f(x)为偶函数.
凤泉区18082783805: f(x)+f( - x)=x求f(x) - ?
殳元盐酸:[答案] 由题可知 f(-x)+f(x)=-x 两式相加得f(x)+f(-x)=0 所以x=0,f(x)=0
凤泉区18082783805: 函数y=f(x)满足f(x)+f( - x)=0,f(x)+f(x+2)=0,f(3)=2,则f(25)等于多少? - ?
殳元盐酸: f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) f(3)=-f(3+2)=-f(5) f(3+2)=f(5=)-f(3+2+2)=-f(7) f(3)=-f(5)=f(7) 同理 f(3)=-f(5)=f(7)=-f(9)=……=-f(25)=2 所以f(25)=-2
凤泉区18082783805: 设函数f( x) 定义域在( - l,l)上证明f(x) +f( - x)是偶函数?
殳元盐酸:设f(x)+f(-x)=g(x),∵g(-x)=f(-x)+f [-(-x)]=f(x)+f(-x)=g(x) ∴是偶函数
凤泉区18082783805: 已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列{an}满足an+1=2f(an - 1)+1 - ?
殳元盐酸: 解答如下:f(x)=xˆ2+bx 由题意可知 f(-x)=(-x)ˆ2+b(-x)=xˆ2-bx=f(x)=xˆ2+bx 故b=-b,解得b=0 所以f(x)=xˆ2 后面的你的an还是a(n+1) an-1还是a(n-1) 不打明白无法计算啊 ~请首先关注【我的采纳率】 ~如果你认可我的回答,请及时点击【采纳为最佳回答】按钮~ ~手机提问者在客户端右上角评价点【满意】即可.~你的采纳是我前进的动力~~ ~如还有新的问题,欢迎另外向我求助,答题不易,敬请谅解~~ O(∩_∩)O,记得好评和采纳,互相帮助 祝学习进步!
凤泉区18082783805: 函数F(X)的定义域为R,若F(X+1)与F(X - 1)都是奇函数,证明F(X+3)是奇函数 - ?
殳元盐酸: 证明:函数定义域为R, 且f(x+1)与f(x-1)都是奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1)………………① f(-x-1)=-f(x-1)…………………② 由①令-x+1=t得:f(t)=-f(2-t)…………③ 由②令-x-1=t得:f(t)=-f(-2-t)………④ 由③、④得f(2-t)=f(-2-t)由此令-2-t=m得f(m)=f(4+m) 因此函数f(x)的周期为4, ∴由②可知: f(-x+3)=-f(x+3) ∴f(x+3)为奇函数.
凤泉区18082783805: 求证明;f(X)=f(x+1)+f(x - 1)是周期函数 - ?
殳元盐酸: f(x + 1) = f(x) - f(x - 1) f(x + 2) = f(x + 1) - f(x) = f(x) - f(x - 1) - f(x) = -f(x - 1) f(x + 3) = f(x + 2) - f(x + 1) = -f(x - 1) - f(x) + f(x - 1) = -f(x) f(x + 6) = f(x + 3 + 3) = -f(x + 3) = f(x) 所以f(x)是以6为周期的周期函数.
凤泉区18082783805: 函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x - 1)都是奇函数,则 - ?
殳元盐酸: f(x+1)在R上是奇函数,f(x+1)=-f(-x-1).........(1) 同理f(x-1)=-f(-x+1)................(2) 有(2)式知:f(x+1)=-f(-x+3) 由(1)式可得f(-x-1)=-f(-x+3) 即f(x)=f(x+4) 所以函数y=f(x)为周期为4的周期函数 f(x-1)是奇函数 得f(x+3)是奇函数
凤泉区18082783805: 为什么f(X,y)=f(y/ⅹ)? - ?
殳元盐酸: 首先证明等式:[n+x]=n+[x], n∈Z,x∈R (*)∵[x]≤x
凤泉区18082783805: 已知函数f x是奇函数,gx是偶函数,且f x+gx=x^ - x - 2求解析式 - ?
殳元盐酸: f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x) g(x)是偶函数, ∴g(-x)=g(x) f(x)+g(x)=x²-x-2① 用-x代x得 f(-x)+g(-x)=(-x)²-(-x)-2, ∴-f(x)+g(x)=x²+x-2② ①+②得 2g(x)=2x²-4, ∴g(x)=x²-2 ①-②得 2f(x)=-2x, ∴f(x)=-x 综上,f(x)=-x,g(x)=x²-2