用初中的方法解一道几何题，跟三角形的重心与三边长有关
A
首先题目有一个打字错误：右边最后一项应该是+3mg^2然后注意到GA、GB、GC所在射线将平面划分为三个区域，M必然在其中之一。不妨设M的位置如图，即在∠ACG内部（当M落在前述三射线之上时，讨论是类似的）
大致思路如下：
用余弦定理（将MA用GA、MG表示，余同），容易将求证的等式转化为
ga*cos(∠mga) + gb*cos(∠mgb) + gc*cos(∠mgc) = 0
于是以GA、GB为边作平行四边形，设第四个顶点为D。我们证明如下两点：
1、GC = GD；2、G、C、D三点共线。
事实上，延长AG、BG交BC、AC于A'、B'，并截取GC中点C'，容易发现GA'C'B'是平行四边形（因为对边相等）。进而得到两个三角形GAD与GA'C'相似（两边成比例，夹角相等），于是2GC' = GD，且∠AGD = ∠A'GC'，即证前述两点。
现在，∠MGD与∠MGC互补，于是
gc*cos(∠mgc) = -gd*cos(∠mgd)
另一方面，自A、D向GM作垂线，垂足为X、Y。则容易验证：
|ga*cos(∠mga)| = gx；
|gd*cos(∠mgd)| = gy；
|gb*cos(∠mgb)| = |ad*cos(∠mgb)| = xy
于是分多种情况讨论A、B、D的相对位置（如∠MGB、∠MGD是锐角、直角或钝角；G、X在Y的同侧或两侧等等），即可证明所求等式。
（不得不说一句，如果用高中学的向量来写，过程要简洁N倍……）
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