用初中的方法解一道几何题,跟三角形的重心与三边长有关
A
首先题目有一个打字错误:右边最后一项应该是+3mg^2然后注意到GA、GB、GC所在射线将平面划分为三个区域,M必然在其中之一。不妨设M的位置如图,即在∠ACG内部(当M落在前述三射线之上时,讨论是类似的)
大致思路如下:
用余弦定理(将MA用GA、MG表示,余同),容易将求证的等式转化为
ga*cos(∠mga) + gb*cos(∠mgb) + gc*cos(∠mgc) = 0
于是以GA、GB为边作平行四边形,设第四个顶点为D。我们证明如下两点:
1、GC = GD;2、G、C、D三点共线。
事实上,延长AG、BG交BC、AC于A'、B',并截取GC中点C',容易发现GA'C'B'是平行四边形(因为对边相等)。进而得到两个三角形GAD与GA'C'相似(两边成比例,夹角相等),于是2GC' = GD,且∠AGD = ∠A'GC',即证前述两点。
现在,∠MGD与∠MGC互补,于是
gc*cos(∠mgc) = -gd*cos(∠mgd)
另一方面,自A、D向GM作垂线,垂足为X、Y。则容易验证:
|ga*cos(∠mga)| = gx;
|gd*cos(∠mgd)| = gy;
|gb*cos(∠mgb)| = |ad*cos(∠mgb)| = xy
于是分多种情况讨论A、B、D的相对位置(如∠MGB、∠MGD是锐角、直角或钝角;G、X在Y的同侧或两侧等等),即可证明所求等式。
(不得不说一句,如果用高中学的向量来写,过程要简洁N倍……)
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