幂函数的导数公式为什么要限定指数为非零有理数？
1，高中范围内，求某函数的导数，一般会要求该函数在定义域上连续。
2,，诸如y=x^√2在R上是否连续，涉及到高深的数学理论，用高中的数学知识无法说清楚。
f(x)=xⁿ
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx
=lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx
=x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1)
=nx^(n-1)
拓展资料幂函数是基本初等函数之一。
一般地.形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
1.正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
2.负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
3.零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
幂函数是基本初等函数之一。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的一般形式是
，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数
a为有理数的情形
时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为
，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。
（1）当m，n都为奇数，k为偶数时，如
，
，
等，定义域、值域均为R，为奇函数；
（2）当m，n都为奇数，k为奇数时，如
，
，
等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；
（3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如
，
等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数；
（4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如
，
等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；
（5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如
，
等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数；
（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如
，
等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。[1]
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；
负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
希望我能帮助你解疑释惑。
1，高中范围内，求某函数的导数，一般会要求该函数在定义域上连续。
2,，诸如y=x^√2在R上是否连续，涉及到高深的数学理论，用高中的数学知识无法说清楚。
即使在高中阶段，这个限定是没有必要的。
幂函数的定义：形如y=x^α，其中x>0，α≠0的函数全体，称作幂函数。所以幂函数的定义域是(0，+∞)。在这上面定义的指数运算已经通过指数函数给出来了，所以即使α是无理数，它的函数和导函数也是有意义的。
在数学分析里面，幂函数是通过指数函数和对数函数来定义的：
x^α：=e^[α*ln(x)]，其中x>0，α≠0,这和中学阶段的规定是一致的，完全不需要α是有理数。
而它的导数公式，也可以由复合函数的求导公式求出来：
(x^α)'={e^[α*ln(x)]}'=e^[α*ln(x)]*α*(1/x)=α*(x^α)/x=α*x^(α-1)，整个过程跟α是不是有理数毫无关系。
当然，如果要把参数的范围进一步拓展，这将是复变函数所要探讨的问题，而中学阶段给出的定义已经满足复变函数以外的全部要求了。
导数基本公式
导数的基本公式：y=c（c为常数）y'=0、y=x^ny'=nx^（n-1）。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)...
如何求一个数的导数?
求一个函数的导数可以使用求导公式和链式法则。以下是一些常见函数的求导公式：1. 常数函数的导数为 0，即 $f(x)=c$，则 $f^\\prime(x)=0$。2. 幂函数的导数公式为$(x^n)^\\prime=n\\times x^{n-1}$，其中 n 为正整数。3. 指数函数的导数公式为$(a^x)^\\prime=a^x\\times\\ln a$...
求f(x)的导数公式是什么?
导数的公式有以下几种：常数导数：f(x)=c，f'(x)=0，c为常数。幂函数导数：f(x)=x^n，f'(x)=nx^(n-1)，n为正整数。指数函数导数：f(x)=a^x，f'(x)=a^xlna，a>0且a不等于1。对数函数导数：f(x)=log_a x，f'(x)=1\/(xlna)，a>0且a不等于1。正弦函数导数：f(x)=...
求导的基本公式
以下是关于导数的扩展资料：1、导数的定义：导数是一个函数在某一点处的变化率，表示函数在该点处的斜率。导数的定义公式为：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]\/h。2、导数的计算方法：导数的计算方法包括求导法则、求导公式和复合函数的求导法则。这些方法可以用于计算常见函数的导数，如多项式、...
求导公式推导过程
导数公式的推导过程涉及到微积分的基本概念和运算规则。下面是一些常见的导数公式及其推导过程：1. 常数函数的导数：对于任意常数c，导数为0。推导过程：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]\/h。对于常数函数f(x) = c，我们有f(x+h) = c，因此[f(x+h) - ...
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高数常见函数求导公式如下图：求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。一阶导数的变化如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在...
导函数的运算法则是什么?
除法法则：[f(x)\/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]\/g(x)^2。导数公式的用法：一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）...
基本导数公式
如果f(x) = x^n，那么f'(x) = nx^(n-1)其中n为正整数。这个公式表明，x^n的导数是n乘以x的(n-1)次方。例如，x^3的导数是3x^2。基本导数公式还有一些重要的性质，如下：1.常数函数的导数为0。2.f(x) + g(x) 的导数等于 f'(x) + g'(x)。3.kf(x) 的导数等于 kf'(x)。...
函数导数的定义公式有哪些?
函数导数的定义公式有：一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时...
求函数f(x)的导数公式
求解过程如下：
璩辰卓迈： 1,高中范围内,求某函数的导数,一般会要求该函数在定义域上连续.2,,诸如y=x^√2在R上是否连续,涉及到高深的数学理论,用高中的数学知识无法说清楚.
安新县13211569711： 为什么幂函数的要求底数是变量为什么幂函数要求变量是底数,也就是底数是变量啊,而指数函数的指数是指数是变量啊,什么是幂函数啊,我老师搞不清... - ？
璩辰卓迈：[答案] 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数. 这是为了区分不同的函数而定义的,并没有特别的意思,你只需要记住就可以了.
安新县13211569711： 幂函数导数公式的证明 - ？
璩辰卓迈： f(x)=xⁿ f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx =lim(Δx→0)[(x+Δx)ⁿ-xⁿ]/Δx =lim(Δx→0)[(x+Δx-x)·[(x+Δx)^(n-1)+(x+Δx)^(n-2)·x+...(x+Δx)x^(n-2)+x^(n-1)]/Δx =x^(n-1)+(x)^(n-2)·x+...+x·x^(n-2)+x^(n-1) =nx^(n-1) 拓展资料 幂函数是基本初等函数之一. 一般...
安新县13211569711： 幂函数与指数函数的关系 - ？
璩辰卓迈： 函数y=x^a叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(这里我们只讨论a是有理数n的情况).指数函数:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是R.幂函数是指数函数的特殊形式,后者说幂函数是指数函数的一种,这个说法显然是不对的.
安新县13211569711： 指数函数幂函数的区别 - ？
璩辰卓迈： 区别:这两个完全是不同的函数.1、定义不同,从两者的数学表达式来看,两者的未知量X的位置刚好互换.指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1),当a>1时,函数是递增函数,且y>0;当0<a<1时,函数是递减函数,且y>...
安新县13211569711： 为什么幂函数可以得出导数应该说幂函数本身包括包括求导的一切因素,所以才有导数为什么幂函数包括这些条件换句话说,为什么x^2存在导数?可以说因... - ？
璩辰卓迈：[答案] 这里,首先要明白一个函数要有导数,这个函数必须满足两个条件:1.函数必须连续; 2.函数在任意一个点的左右导数相等,也就是函数的图像是光滑的,举个例子,y=|x|,是个分段函数,在x=0的这个点处,它的左导数,也就是x从负...
安新县13211569711： 幂函数的导数公式的证明 - ？
璩辰卓迈： 解答: 1、y = f(x) 表示的是 y 是 x 函数; 2、y 对 x 求导,我们习惯写成y',国际上绝大多数国家习惯写成 dy/dx; 3、国际上也有少数国家习惯简写的导数表达式 y',而我们是执着于 y',执迷于 y'; 4、执着的结果,我们很多学生,不知道 y' ...
安新县13211569711： 幂函数与指数函数的区别! - ？
璩辰卓迈： 指数函数:指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R). 它是初等函数中的一种.它是定义在C上的解析函数'' 举例y=2^x或y=3^x 幂函数:一般地,形如y=xa(a为常数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.例如函数y=x、y=x2、y=1/x(注:y=1/x=x-1等都是幂函数,而y=2x、y=x2-x等都不是幂函数. 举例y=x^2 或y=x^3欢迎追问:)如果满意请采纳,谢谢
安新县13211569711： 函数的求导公式是哪些? - ？
璩辰卓迈： 问题太宽泛了,指数函数,对数函数,幂函数等都有不同的求导公式
安新县13211569711： 幂指函数的导数 - ？
璩辰卓迈： 当然不一样 这两个都不是同一种函数 一个是幂指函数 一个是幂函数 当然求导方式不一样 你的错了 你用的幂函数的求导方法去求幂指函数的导数 幂指函数求导可以用取对数的方法 把指数关系变成乘法关系 ln y=ln x^sinx =sinx*lnx 两边求导y'/y=cosx*lnx+sinx/x y'=(x^sinx)[cosxlnx+(sinx)/x]
