数学 积分问题

数学积分问题~

朋友，你好！详细过程在这里，希望有所帮助，望采纳

∫xe^(-x)dx
=-∫xde^(-x)
=-xe^(-x)+∫e^(-x)dx
=-(x+1)e^(-x)+C
因此
原定积分
=lim(x→∞)-(x+1)e^(-x) - lim(x→0)-(x+1)e^(-x)
=1+lim(x→∞)-(x+1)/e^x
=1+lim(x→∞)-1/e^x (洛必达法则)
=1

上述f(x)就是x^6的积分上限函数。不需要理解，这就是积分上限函数的定义的固有性质。他求导就是f'(x)=x^6。所以直接背就好。具体详见高等数学的关于积分上限函数的定义。

本题基本上不需要求所谓的积分得到的常数，直接根据积分上限函数的定义就可以求得。

如果想求具体的求和的结果，其结果如下：

原式

自己带入具体值就好，实际上这个具体值不太好表示，也根本不用求。

1,根据定积分的定义,∫[0,1]f(x)dx=lim(n→∞)∑(k=1→n)1/n*f(k/n)
这里把公因式π/8先提出来,然后就化成了π/8*lim(n→∞)∑(k=1→n)1/n*tan(π/24*k/n)
于是可知f(k/n)=tan(π/24*k/n)
那么f(x)=tan(π/24*x)
∴原式=3*∫[0,1]π/24*tan(π/24*x)dx

=3∫[0,1]tan(π/24*x)d(π/24*x)
=-3ln|cos(π/24*x)||[0,1]
=-3ln[cos(π/24)]

2,由于x^6在R上连续,因此在R上任何一个闭区间都是可积的.
那么考虑区间[4,x],在该区间上对x^6计算定积分,可以知道对任何一个确定的x,x^6的定积分都是一个定值.当积分上限在变化的时候,这个定值也跟着变.这就是函数关系,是以积分上限作为自变量,在区间[4,x]的定积分作为因变量的一个函数.
又因为自变量是积分上限,而被积函数用任何字母来表示其积分值都不变,所以把被积函数的x改成t,以便区分.

(1)
lim(n->∞ ) ∑(k:1->n) (π/8n) tan(kπ/(24n) )
=lim(n->∞ ) (1/n) ∑(k:1->n) (π/8) tan[(π/24)(k/n)] )
= ∫(0->1) (π/8) tan[(π/24)x] dx
=3∫(0->1)tan[(π/24)x] d(π/24)x
=-3[ ln|cos[(π/24)x ] |(0->1)
=-3ln(cos(π/24))

(2)
f(x) = ∫(4->x) t^6 dt
f'(x) = x^6
f''(x) = 6x^5

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连山壮族瑶族自治县15751106551： 高等数学积分问题! - ？
尉婵帅同： 问题一:在同济版高等数学(第六版)P231,明确写:是为了计算及应用方便起见,而做的规定(注意是规定) 问题二:不是负数,求面积上下全是正数,以为看成把积分部分加绝对值再积分,注意区分好积分与面积的关系

连山壮族瑶族自治县15751106551： 数学积分问题 - ？
尉婵帅同： ∫ d(1-r²) = ∫d(1) - ∫d(r²) = 0 - ∫d(r²) d(r²)=2rdr,=> ∫ d(1-r²) = ∫-2rdr,∫rdr = ∫d(1-r²)/(-2),=> ∫r√(1-r²)dr = ∫[-√(1-r²)/2]d(1-r²) 不明白的可以追问哦 满意请采纳,谢谢O(∩_∩)O~

连山壮族瑶族自治县15751106551： 数学不定积分的一些问题.自学中,有一些疑问,为什么∫(f(x))d(x)=n∫(f(x))d(x/n).还有为什么∫((1 - cos²x)sinx)dx=∫(cos²x - 1)d(cosx),( - sinx)'=cosx和这个有什么... - ？
尉婵帅同：[答案] d(x/n)=(x/n)' d(x)=1/n d(x),所以第一个式子右边=n∫(f(x))1/n d(x)=左边. d(cosx)=(cosx)'d(x)=-sinx d(x) 所以第二个式子右边==∫(cos²x-1)(-sinx) d(x)=左边. 这种积分公式不需要死记硬背的.掌握住计算方法就好啦~

连山壮族瑶族自治县15751106551： 高数积分问题xe^x/(1+e^x)^2 的积分是多少 - ？
尉婵帅同：[答案] =\int -x d(1/(1+e^x)) =\int 1/(1+e^x)dx-x/(1+e^x) =\int e^(-x)/(1+e^(-x))dx-x/(1+e^x) =\int -1/(1+y)dy-x/(1+e^x) =-log(1+y)-x/(1+e^x) =-log(1+e^(-x))-x/(1+e^x) =log(e^x/(e^x+1))-x/(1+e^x)

连山壮族瑶族自治县15751106551： 高数中积分问题的arcsin与arccos的辨析(题目摘自考研真题) - ？
尉婵帅同：[答案] arcsinx+arccosx=二分之π,得出的两个式子都是不定积分,在函数后加一个不定的常数,所以两个答案是一个意思,只不过差一个常数而已

连山壮族瑶族自治县15751106551： 高等数学分部积分问题 - ？
尉婵帅同：[答案] 乘积微分:d(uv)=udv+vdu 两端积分:uv=积分udv+积分vdu 即 积分udv= uv-积分vdu 这就是分部积分公式,用于乘积的整体不好积分,但一部分好微分,一部分好积分,经过微分积分后的整体也能积分.但在部分的选取中须有一定的经验. 例如:积分xe...

连山壮族瑶族自治县15751106551： 高数中关于积分的问题~ f(x)=∫f(t/2)dt+ln2(积分限是0~2x),则f(x)=( ) - ？
尉婵帅同：[选项] A. e^xln2 B. e^2xln2 C. e^x+ln2 D. e^2x+ln2

连山壮族瑶族自治县15751106551： 高数积分问题∫arctan(tanx)dx怎么算,给我详细过程,谢谢了. - ？
尉婵帅同：[答案] ∫arctan(tanx)dx =∫xdx =x^2/2+C

连山壮族瑶族自治县15751106551： 数学积分问题？
尉婵帅同： 两个答案都不太准确,如果在不定积分结果后面再加上任意常数C就正确了,其实两个结果只相差一个常熟1/2.它们都是不定积分的原函数.

连山壮族瑶族自治县15751106551： 大学数学题,积分问题, - ？
尉婵帅同： 第1题.解:利用分部积分公式, ∫ cosxsin5x dx= sinxsin5x - ∫ (sin5x)'sinx dx = sinxsin5x - ∫ 5conxsinx dx= sinxsin5x - 5∫ sinx d(sinx) = sinxsin5x - 5/2 (sinx)^2 + C