线性代数 高手进吧！！

线性代数高手进~

特征值的重数其实是指代数重数，也就是特征多项式里面相应的根的重数。
比如特征多项式如果是(x-1)^3(x-2)(x-4)^3
那么1就是3重特征值，2是1重特征值，4是3重特征值。
每个特征值的度数(也叫几何重数)是指它对应的线性无关特征向量的最大个数，度数小于等于重数。当矩阵的所有特征值的重数等于度数的时候矩阵可对角化。
上面主要是定义，要理解对角化可以这样看：
如果A=PDP^{-1}，重新写一下就是AP=PD，分析每一列就可以看出来P的每一列都是A的特征向量，也就是说一定要有“足够多”的特征向量才能让A对角化。

1，a+b=ab=>ab-a-b+E=E=>(a-E)(b-E)=E ----（1）
显然|a-E|不等于0，否则|a-E||b-E|=0与（1）矛盾
2，设e-ab的逆阵为c=>(e-ab)c=e=>c-abc=e=>bc-babc=b=>ebc-babc=b
=>(e-ba)bc=b =>(e-ba)bcb^(-1)=e
3, 设a+b的逆阵为c，(a－¹+b-¹)abc=（a+b)c=e
=>a－¹+b-¹的逆阵为abc

解: |A-λE|=(6-λ)[(2-λ)^2-4^2]=(6-λ)^2(-2-λ).
所以A的特征值为 λ1=λ2=6, λ3=-2

因为A相似于对角矩阵, 故属于特征值6的线性无关的特征向量有2个
即 r(A-6E) = 3-2 = 1
而 A-6E =
-4 2 0
8 -4 a
0 0 0
r2+2r1
-4 2 0
0 0 a
0 0 0

所以 a = 0.

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先求出特征值||A-λI|＝(λ-6)^2(λ＋2)，特征值是-2，6，6。
根据题意，A可对角化，所以对应于二重特征值6有二个线性无关的特征向量，即R(A-6I)=3-2=1。
A-6I＝
-4 2 0
8 -4 a
0 0 0
第一行乘以2加到第二行上，得
-4 2 0
0 0 a
0 0 0
所以a＝0

因为矩阵A是相似于对角阵D的，所以把A给换算成一个对角阵就可以算出a的值了
A=2 2 0
8 2 a
0 0 6 （先将第二行第一个的8给换算成0，因为对角矩阵要求除了对角外，其他都是0，可以对第一行乘以-4再加到第二行，则可让8变成0）
则A=2 2 0
0 -6 a
0 0 6（再把第一行第二个的2也换算成0，则可让第二行乘以1/3，再加到第一行，则可让第一行第二个2变成0）
则A=2 0 1/3a
0 -6 a
0 0 6
则由此可得出a=1/3a=0，所以a=0

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