如图11所示,直线AC平行BD,连结AB,直线AC.BD及线段AB把平面分成(1)(2)(3)(4)四个部分,规定:

直线AC//BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成1、2、3、4四个部分~

这是2007年福州中考第21题

角度变换和内角的和等基本知识转换；（2） （3）∠PBD＝∠APB＋∠PAC 试题分析：（1） 1分过点P作PE//AC 1分所以PE//BD所以 ， 3分所以 4分(2) 不成立 5分 7分（3）若点P在直线AB左侧，有∠PAC＝∠APB＋∠PBD； 8分若点P在直线AB右侧，有∠PBD＝∠APB＋∠PAC 9分点评：本题综合考查了内错角，多边形内角和等基本知识的运用

如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

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分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．

解答：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．

∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如图2

过点P作FP∥AC，

∴∠PAC=∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB

=∠PAC+∠PBD；

解法三：如图3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）

当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，

∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：

如图4，连接PA，连接PB交AC于M．

∵AC∥BD，

∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：如图5

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．

选择（c）证明：

如图6，连接PA，连接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．

∵∠PAC=∠APF+∠PFA，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

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等等图片好不好

（1）首先过P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可证得AC∥PQ∥BD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，继而求得答案；
（2）首先过P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可证得AC∥PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．
解答：（1）证明：过P作PQ∥AC，则∠APQ=∠PAC． …（1分）
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD．
∴∠BPQ=∠PBD． …（2分）
∴∠APQ+∠BPQ=∠PAC+∠PBD．
即∠APB=∠PAC+∠PBD． …（6分）
（2）解：当动点P在第②部分时，结论∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，…（8分）
过P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥PQ∥BD，
∴∠APQ+∠PAC=180°，∠QPB+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°，
即其存在的关系式是∠PAC+∠PBD=360°-∠APB． …（10分）

如下左图所示，直线AC∥BD，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分（线上各点不属于任何部分）．当动点P（不在直线AB上）落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．
（1）当动点P落在第①部分时（如图1），求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时（如图2），∠APB=∠PAC+∠PBD还能否成立（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，请探究∠APB、∠PAC、∠PBD之间的数量关系．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：动点型；探究型．分析：（1）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质将∠PAC，∠PBD等量转化，证出结论．
（2）过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC与∠APQ是一对同旁内角，∠QPB与∠PBD也是一对同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，发现三个角的和是360度．
（3）根据BA的延长线上，或两侧分别解答．解答：解：（1）过点P作直线AC的平行线（如图），易知∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，
又∵∠APB=∠1+∠2，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
过点P作AC的平行线PQ，∠APB=∠1+∠2，
∵直线AC∥BD，
∴∠PAC+∠1=180°，∠PBD+∠2=180°，
∴∠PAC+∠1+∠PBD+∠2=360°，
故∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．
（3）设射线BA将区域③分成Ⅰ、Ⅱ两部分（如左图），
①若点P位于第Ⅰ部分（如中图），则∠PBD=∠3，∠PAC+∠APB=∠3，
所以∠APB=∠PBD-∠PAC（2分），
②若点P位于第Ⅱ部分（如右图），则∠PBD=∠6+∠ABD，∠PAC=∠4+∠5，∠ABD=∠5，
∴∠PAC-∠PBD=∠4-∠6，
而∠6+∠APB=∠4，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．
③P落在射线BA上时，∠PAC=∠PBD，∠APB=0°．

（1）解法一：如图9-1
延长BP交直线AC于点E
∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .
∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .

解法二：如图9-2
过点P作FP∥AC ,
∴ ∠PAC = ∠APF .
∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .
∴ ∠FPB =∠PBD .
∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .
解法三：如图9-3，
∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .

如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

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分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．

解答：解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．

∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如图2

过点P作FP∥AC，

∴∠PAC=∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB

=∠PAC+∠PBD；

解法三：如图3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）

当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，

∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：

如图4，连接PA，连接PB交AC于M．

∵AC∥BD，

∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：如图5

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．

选择（c）证明：

如图6，连接PA，连接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．

∵∠PAC=∠APF+∠PFA，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

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你是福州的啊？这是福州市2007年数学中考题

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平乐县18965266183： 如图11所示,直线AC平行BD,连结AB,直线AC.BD及线段AB把平面分成(1)(2)(3)(4)四个部分,规定: - ？
符丽瑞他： 如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组...

平乐县18965266183： 七年级数学下江苏版课时作业本期中自测卷25.如图,直线AC平行BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定线上各点不属于... - ？
符丽瑞他：[答案] 过点P作一条直线PM平行于AC ∵AC‖BD ∴PM‖BD(平行公理的推论) 又∵PM‖AC ∴∠MPA=∠PAC 同理 ∠MPB=∠PBD 因为∠APB=∠MPA+∠MPB 所以:∠APB=∠PAC+∠PBD

平乐县18965266183： 如图,直线AC平行BD,连接AB,BD及线段AB把平面分成1,2,3,4四个部分,规定:线上各点不属于任何部分,当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成角PAC,角APB,角PBD三个角.(提示:？
符丽瑞他： (1)解法一:如图9-1延长BP交直线AC于点E∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .解法二:如图9-2 过点P作FP∥AC ,∴ ∠PAC = ∠APF .∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .∴ ∠FPB =∠...

平乐县18965266183： 如图,直线AC∥BD,连结AB,直线AC、BD把之间的平面分成①、②两个部分,规定线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA、PB构成... - ？
符丽瑞他：[答案] (1)作PQ∥AC,则 PQ∥AC∥BD,根据平行线的性质可得∠APQ﹦∠CAP,∠BPQ﹦∠DPB,即可得到∠APB﹦∠APQ+∠BPQ﹦∠PAC+∠PBD;(2)∠APB+∠APC+∠PBD=360°

平乐县18965266183： 如图所示,直线AC‖BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面 - ？
符丽瑞他： 延长BP交直线AC于点E ∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD . ∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA , ∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD . 解法二:就像如图9-2 过点P作FP∥AC , ∴ ∠PAC = ∠APF . ∵ AC∥BD , ∴FP∥BD . ∴ ∠FPB =∠PBD . ∴ ∠APB =∠...

平乐县18965266183： 如图,直线AC∥BD,连接AB,BD及线段AB把平面分成①,②,③,④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分,当动点P落在某个部分时,连接PA,PB构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角？
符丽瑞他： (1)过点P作线段PQ//AC交AB于点Q,则有∠APB=∠APQ+∠BPQ 又因为PQ//AC,∠APQ=∠PAC(内错角相等) 因为PQ//AC,AC//BD,所以PQ//BD,∠BPQ=∠PBD(内错角相等)(2)不成立,此时∠APB<180°,而∠PAC+∠PBD>∠BAC+∠ABD=180°(同旁内角之和)

平乐县18965266183： 如图所示,线段AC与线段BD相交于点O,连结AB,BC,CD 若∠A=∠D,AB=DC,请判断∠1与∠2的关系.并说明理由 - ？
符丽瑞他： ∠1=∠2 证明:∵∠A=∠D,∠AOB=∠COD,AB=CD ∴△AOB≌△DOC (AAS) ∴OB=OC ∴∠1=∠2 数学辅导团解答了你的提问,理解请及时采纳为最佳答案.

平乐县18965266183： 如图所示,已知AC平行于BD,EA,EB分别平分角CAB和角DBA,CD过E点. 求证:AB=AC+BD. - ？
符丽瑞他： 方法一: 过E作EF∥CA交AB于F. ∵AC∥FE,∴∠CAE=∠AEF,又∠CAE=∠FAE,∴∠AEF=∠FAE,∴AF=EF. ∵AC∥FE、AC∥BD,∴FE∥BD,∴∠BEF=∠DBE,又∠DBE=∠FBE, ∴∠FBE=∠BEF,∴BF=EF. 由AF=EF、BF=EF,得...

平乐县18965266183： 如下左图所示,直线AC∥BD,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分(线上各点不属于任何部 - ？
符丽瑞他： (1)过点P作直线AC的平行线(如图),∵AC∥PQ,AC∥BD,∴PQ∥BD,∴∠1=∠PAC,∠2=∠PBD,又∵∠APB=∠1+∠2,∴∠APB=∠PAC+∠PBD. (2)不成立. 过点P作AC的平行线PQ,∠APB=∠1+∠2,∵直线AC∥BD,∴∠PAC+∠1=180°,∠PBD...

平乐县18965266183： 如图所示,BD平分∠ABE,∠ABC=50°,∠C=65°,直线AC与BD是否平行?为什么?？
符丽瑞他： ∠ABE+∠ABC=180°因∠ABC=50所以∠ABE=130°因∠ABE=∠C+∠BAC,而∠C=65°所以∠BAC=65°因BD平分∠ABE所以∠ABD=65°=∠BAC参照平行线的判定就得出AC与BD平行了