关于深圳初中学习中的问题。数学：双动点解题思路，以及工程问题的普遍解法。谢谢。

关于深圳初中学习中的问题。数学：双动点解题思路，以及工程问题的普遍解法。谢谢。~

四七九的学习方法不一定是最好的方法，适合孩子的学习方法才是好的方法，在优优数学学校，每个孩子都能够找到适合自己的学习方法。shanshiyan

用初中的有点难吧

1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
(1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB‖EO′‖DC
∴
又∵DO′+BO′=DB
∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵ ，∴
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②
联立①②得
∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）
E（0，-2）三点，得方程组
解得a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程y=-x2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
同（1）可得： 得：E′F=2
方法一：又∵E′F‖AB ，∴
S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=
= =DB=3+k
S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵ BA‖DC，∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C= S△BDE′
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4
∴
∴S=3+k为所求函数解析式.
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若 ，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到 轴的距离为 .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝ ，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝ ，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
AB＝
在△ABM中，AB＝ ，AM＝ ，BM＝2

∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝ ，AC＝2 ，
∴BC＝
∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC，
∴
而
，
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
由已知得
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线 过点A、B，且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧 的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
的长＝
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝ .
又OM=1，∴A（1－ ，0），B（1＋ ，0），
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C(1，－3).
点A、B、C在抛物线上，则
解之得
抛物线解析式为
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC‖OD.
又PC‖y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线 上，故存在点D（0，－2），
使线段OC与PD互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0， ）在 轴的正半轴上，A、B是 轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN‖AB交OC于点N.试问：在 轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC≌△COB.
∴OC2＝OA•OB.
∵OA∶OB＝3∶1,C(0, ),
∴
∴OB＝1.∴OA＝3.
∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为
则 解之，得
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为
(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明：连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,
∴四边形EOFC为矩形.
∴QE＝QO.
∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，
∴EF与⊙O1相切.
同理：EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.
∵MN‖OA,
∴△CMN∽△CAO.
∴
∴
解之，得
此时，四边形OPMN是正方形.
∴
∴
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
故 轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 或
5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E( ， )，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．
(1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．
(本题图形仅供分析参考用)
[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y= x+1.
将点E的坐标E( ， )代入y= x+1中，左边= ，右边= × +1= ，
∵左边=右边，∴点E在直线y= x+1上，即点A、C、E
在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下
解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为 ，且P在矩形ABCD内部，∴1＜ ＜3，由1＜1— 得— ＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.
（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴ GO•AO— FO•AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1•x2= ＜0，∴x1＜0＜x2，
∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6，
即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴— =6，
∴b= —6a,
∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部，
∴1＜1—9a＜3, ∴— ＜a＜0.

∴x=0或x= =6+ .
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交
点，则有：0＜6+ ≤ ，解得：— ≤a＜—
综合得：— ＜a＜— ∵b= —6a，∴ ＜b＜
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.
[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2
(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx
任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得：
b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，
∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x
又由r＝ ，易得C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)
再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1
∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分
(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0)
过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，
又由切割线定理可得：OP2＝PC•PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分
∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分
同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)
(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，
当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m，
∴S＝
同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；
∴S＝ 又若C(－2，0)，
此时l为y＝x，同理可得；S＝

7.（2006江苏连云港）如图，直线 与函数 的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若 的面积是 的面积的 倍，求 与 之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在 和 ，使得以 为直径的圆经过点 ．若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由．
[解]（1）设 ， (其中 )，
由 ，得
∴ • • ( • • • • )， ，
又 ，∴ ，即 ，
由 可得 ，代入 可得 ①
∴ ， ，
∴ ，即 ．
又方程①的判别式 ，
∴所求的函数关系式为 ．
（2）假设存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 ．
则 ，过 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ．
∵ 与 都与 互余，∴ ．
∴Rt ∽Rt ，∴ ．
∴ ，∴ ， ∴ ，
即 ②
由（1）知 ， ，代入②得 ，
∴ 或 ，又 ，∴ 或 ，
∴存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 ，且 或 ．
8.（2004江苏镇江）已知抛物线 与x轴交于两点 、 ，与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.
（3）若 过A、B、C三点，求 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作 轴于点N，使 被直线BC分成面积比为 的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）由题意得：

解得
经检验m=1，∴抛物线的解析式为：
或：由 得， 或

抛物线的解析式为
由 得
∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.
设直线BC的解析式为
则
∴直线BC的解析式为
(2)图象略.
（3）法一：在 中，
.
又
∴ 的半径
法二：
由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线 的对称轴直线 上，设P（－2，－h）（h＞0），
连结PB、PC，则 ，
由 ，即 ，解得h=2.
的半径 .
法三：
延长CP交 于点F.
为 的直径，
又

又

的半径为
（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为 则点E的坐标为
若 则

解得 （不合题意舍去），
若 则

解得 （不合题意舍去），
存在点M，点M的坐标为 或（15，280）.

你要善于在动的地方找不动，多练练中考的倒数第2题，相信你会有很大提高

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是
工作量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.
举一个简单例子.
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，

再根据基本数量关系式，得到
所需时间=工作量÷工作效率

=6（天）•
两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.
为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是
30÷（3+ 2）= 6（天）

数计算，就方便些.

∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也

需时间是

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
一、两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：共做了6天后，
原来，甲做 24天，乙做 24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是

如果甲独做，所需时间是

答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解：先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

因此，乙还要做
28+28= 56 （天）.
答：乙还需要做 56天.
例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

2+8+ 1= 11（天）.
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

由于两队休息期间未做的工作量是

乙队休息期间未做的工作量是

乙队休息的天数是

答：乙队休息了5天半.
解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16- 60= 20（份）.
因此乙休息天数是
（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是
16-6-4.5=5.5（天）.
例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
答：这两项工作都完成最少需要12天.
例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他

要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两人合作，共完成
3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.
因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时

如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
解：乙6小时单独工作完成的工作量是

乙每小时完成的工作量是

两人合作6小时，甲完成的工作量是

甲单独做时每小时完成的工作量

甲单独做这件工作需要的时间是

答：甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

有一点方便，但好处不大.不必多此一举.
二、多人的工程问题
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.
例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
解：设这件工作的工作量是1.

甲、乙、丙三人合作每天完成

减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

答：甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了
2+6+12=20（天）.
答：完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

答：甲独做需要26天.
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.
例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
解一：设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成

乙组每人每天能完成

甲组2人和乙组7人每天能完成

答：合作3天能完成这项工作.
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.
例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？
解一：仍设总工作量为1.

甲每天比乙多完成

因此这批零件的总数是

丙车间制作的零件数目是

答：丙车间制作了4200个零件.
解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.
例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.
三人共同搬完，需要
60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.
三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

甲每分钟注入水量是

乙每分钟注入水量是

因此水池容积是

答：水池容积是27立方米.
例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？

答：开始时打开6根水管.
例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要

、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.

以后（20小时），池中的水已有

此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？
看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.
因此，答案是28小时，而不是30小时.
例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水
4 × 60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8 × 8 × 90，
其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
http://zhidao.baidu.com/question/27742437.html?fr=qrl3

（1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB‖EO′‖DC
∴
又∵DO′+BO′=DB
∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵ ，∴
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②
联立①②得
∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）
E（0，-2）三点，得方程组
解得a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程y=-x2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
同（1）可得： 得：E′F=2
方法一：又∵E′F‖AB ，∴
S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=
= =DB=3+k
S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵ BA‖DC，∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C= S△BDE′
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4
∴
∴S=3+k为所求函数解析式.
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若 ，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到 轴的距离为 .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝ ，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝ ，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
AB＝
在△ABM中，AB＝ ，AM＝ ，BM＝2

∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝ ，AC＝2 ，
∴BC＝
∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC，
∴
而
，
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
由已知得
∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线 过点A、B，且顶点C在⊙P上.
(1)求⊙P上劣弧 的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
的长＝
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝ .
又OM=1，∴A（1－ ，0），B（1＋ ，0），
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C(1，－3).
点A、B、C在抛物线上，则
解之得
抛物线解析式为
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC‖OD.
又PC‖y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线 上，故存在点D（0，－2），
使线段OC与PD互相平分.

先算出一天的工效，乘以天数，就算出他几天做了几分之几，然后再用一减几分之几，算出他还剩的，再除以另一个人的工效。我只能回答这么多了！！！！

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