初二数学《分式方程》（请列分式方程解决问题）

初二数学 解分式方程 过程~

解
两边同时乘以x(x-2)得：
(x-2)²-2x²=-x(x-2)
x²-4x+4-2x²=-x²+2x
-x²+x²-4x-2x=-4
-6x=-4
x=2/3
经检验x=2/3是方程的解

方程两边同时乘以1-x²得：
2(1-x)-3(x+1)=3
2-2x-3x-3=3
-5x=3+1
-5x=4
x=-4/5
经检验x=-4/5是方程的解

一、复习

例 解方程：

(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;

(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得

2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

所以 x=6.

检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得

15(x+12)=30x.

解这个整式方程，得

x=12.

检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

(3)整理，得

2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

即 2x+xx+3=1.

方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得

2(x+3)+x2=x(x+3),

即 2x+6+x2=x2+3x,

亦即 2x－3x=－6.

解这个整式方程，得 x=6.

检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

二、新课

例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

请同学根据题意，找出题目中的等量关系.

答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；

骑车的速度=步行速度的2倍；

骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.

请同学依据上述等量关系列出方程.

答案：

方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

15x=2×15 x+12.

方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

15x－15 2x=12.

解 由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.

方程两边都乘以2x，去分母，得

30－15=x，

所以 x=15.

检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.

所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时.

答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.

指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间.

如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.

例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?

分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

s=mt,或t=sm，或m=st.

请同学根据题中的等量关系列出方程.

答案：

方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为

2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.

方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

2x+xx+3=1.

方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

1－2x=2x+3+x－2x+3.

用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.

三、课堂练习

1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.

2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.

答案：

1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.

2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.

四、小结

1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.

2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时，依题意，列方程

135 x+5－12：135x=2：5.

解这个分式方程，运算较繁琐.如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了.

五、作业

1.填空：

(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；

(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;

(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.

2.列方程解应用题.

(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?

(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?

(3)已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

(4)A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.

答案：

1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.

2.(1)第二次加工时，每小时加工125个零件.

(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.

(3)江水的流速为4千米／时.

课堂教学设计说明

1.教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程.这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.

2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另�别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路.

3.通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”.

设顾客共买了x本纪念册
1080/x-120×(1-30%)=80×30%
解得x=10

设x本，利润为y
80*0.3*x=120*x*y
120*x*（1-y）=1080
解出y=0.2
x=11

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云霄县13428194881： 初二分式方程初二分式方程 2x/2x - 1+5/1 - 2x=3 和 2x/2x - 1=2/x+2 - ？
邴容阿莫：[答案] (一) 2x/(2x-1)+5/(1-2x)=3 2x/(2x-1)-5/(2x-1)=3 (2-5)/(2x-1)=3 -3/(2x-1)=3 2x-1=-1 x=-1 (二) (1) 2x/(2x)-1=2/x+2 1-1=2/x+2 0=1/x+1 x=-1 (2) 2x/(2x-1)=2/x+2 x/(2x-1)=1/x+1 x^2=2x-1+2x^2-x x^2+x-1=0 x1=(-1-根号5)/2,x2=(-1+根号5)/2 (3) 2x/(2x-1)=2/(...

云霄县13428194881： 初2数学题 列分式方程 - ？
邴容阿莫： 解:设甲的速度为u,乙的速度为v,AB间距离为s,第一次相遇时的时间为t1,第二次为t2 则有:ut1=s+4 ① vt1=s-4 ② ut2=2s+s/3 ③ vt2=s+2s/3 ④ 由① ②得:u/v=(s+4)/(s-4) 由③ ④得:u/v=(2s+s/3)/(s+2s/3) ∴(s+4)/(s-4)=(2s+s/3)/(s+2s/3) 解方程得:s=24

云霄县13428194881： 初2数学分式方程 三道+答案 - ？
邴容阿莫：[答案] 解分式方程:1、X/(X-5)=(X-2)/(X+6) 2、[4/(X^2-1)]+1=(X+1)/(X-1)3、某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆,现需要挑往A县10辆,调往B县8辆.已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费...

云霄县13428194881： 初二数学.列分式方程..数学好的赶紧来 - ？
邴容阿莫： 1、先设:甲速度为x 乙为y .∵甲走12千米的时间等于乙走15千米的时间∴由时间相等得:12/x=15/y 又∵乙比甲每小时多走1千米∴y=x+1 带入求值 就OK~ 2.

云霄县13428194881： 八年级数学分式方程解法 - ？
邴容阿莫：[答案] 最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤(移项,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生...

云霄县13428194881： 初二数学分式方程怎么列啊,等量不会找啊,求高人指点啊!谢谢! - ？
邴容阿莫：[答案] 1 先认真申请题目看清楚哪个是变量哪个是常量 2 设未知数 3 用X表示其他变量 4 用不同的方法表示同一个变量或关系 5 等式就列出来了 6 记得检验 多做些题,应该会有所提高 我记得这部分不难

云霄县13428194881： 八年级上册分式方程的解法 - ？
邴容阿莫：[答案] 分式方程的解题步骤: 1、方程两边同时除以各分式的最简公分母,化为整式方程; 2、解这个整式方程, 3、把求得的解代入分式方程检验, 4、得出结果

云霄县13428194881： 八年级数学分式方程,只列式子 - ？
邴容阿莫： 分式方程诶2位 50*30%/x+50=1/5 x=25

云霄县13428194881： 初2数学 列分式方程？
邴容阿莫： 设自行车的速度为xkm/h,则汽车速度为3xkm/h. 根据题目可列方程: 40/3x=40/x-(40/60) 解方程得到 x=40 即自行车的速度为40km/h,汽车的速度为120km/h.

云霄县13428194881： 初二数学八年级下册分式方程应用题难点解法和分式解法 - 北师大版、 - ？
邴容阿莫：[答案] 最简公分母,将分式方程化为整式方程) ;②按解整式方程的步骤(移项,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值 ;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). ...