时钟两指针垂直问题

公务员考试：钟表指针重合问题？~

根据钟表的构造我们知道,一个圆周被分为12个大格,每一个大格代表1小时；同时每一个大格又分为5个小格,即一个圆周被分为60个小格,每一个小格代表1分钟.这样对应到角度问题上即为一个大格对应36 0°/12=30 °；一个小格对应360°/60=6°.现在我们把12点方向作为角的始边,把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边,则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度,分针所成的角为6n度,而这两个角度的差即为两指针的夹角.若用α表示此时两指针夹的度数,则α=30（m+n/60）-6n.考虑到两针的相对位置有前有后,为保证所求的角恒为正且不失解,我们给出下面的关系式：
α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|.
这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式,例如：求5时40分两指针所夹的角.把m =5,n =4代入上式,得α=|150-220|=70（度）
利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题.因为两指针重合时,他们所夹的角为0,即公式中的α为0,再把时数代入就可求出n.例如：求3时多少分两指针重合.把α=0,m=3代入公式得：0=|30*3-11n/2|,解得n=180/11,即3时180/11分两指针重合.又如：求1点多少分两指针成直角.把α=90°,m=1代入公式得：90=|30*1-11n/2|解得n=240/11.（另一解为n=600/11）
上述公式也可写为|30m+0.5n-6n|.因为时针1小时转过30度,1分钟转过0.5度,分针1分钟转过6度.
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.当分针走60格时,时针正好走5格,所以时针的速度是分针的5÷60=1／12,分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分）,于时针重合一次,时钟问题变化多端,也存在着不少学问.这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1／12）=追及时间（分钟）,其中,1－1／12为每分钟分针比时针多走的格数.
共同努力

模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例 1】 王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】 闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（3600-30）÷3600个小时，手表又比闹钟快 那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时 手表则走（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）÷3600X（3600+30）÷3600】=1—14399÷14400=1÷14400个小时，也就是1÷14400X3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒【巩固】 小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？【解析】 6：24【巩固】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。有一天晚上8:30，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？【解析】 7点【巩固】 当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？【解析】 142.5度【例 2】 有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【解析】分针每小时走一圈12格，时针走1格，分针每小时比时针多走12－1=11格，每分钟多走11/60格。10时整的时候，时针与分针相距10格，第一次重合，分针要在相同的时间里比时针多走10格，所用时间是：10÷11/60=54又6/11（分钟）第二次重合，分针要比时针多走12格，所用时间是：12÷11/60=65又5/11（分钟）【巩固】 钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？【解析】 此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是12/60-1/60 ，所以追及时间是：20/（12/60-1/60 ） （分）。也可以用度数算：4*30/5.5=240/11分钟【巩固】 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？【解析】 根据题意可知，3点时，时针与分针成90度，第一次重合需要分针追90度， （分）【例 3】 钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？【解析】 此题属于追及问题，但是追及路程是4 格（由原来的40格变为15格），速度差是 ，所以追及时间是： （分）。【例 4】 2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？【解析】 根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度）， （分）【例 5】 8时到9时之间时针和分针在“8”的两边，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等．问这时是8时多少分?【解析】 8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过40-x格，所以时针、分针共走过x+(40-x)=40格．于是，所需时间为 分钟，即在8点 分钟为题中所求时刻．【例 6】 现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【解析】 时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分针的速度是 360÷60=6(度/分),即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10点时，分针与时针的夹角是60度， ,第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，,即 分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。,所以 答案为 (分)【巩固】 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？【解析】 根据题意可知，9点时，时针与分针成90度，第一次在一条直线上需要分针追90度，第二次在一条直线上需要分针追270度，答案为 （分）和 （分）【例 7】 晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？【解析】 根据题意可知， 从在一条直线上追到重合，需要分针追180度， （分）【例 8】 某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么此人外出多少分钟?【解析】 如下示意图，开始分针在时针左边110°位置，后来追至时针右边110°位置．于是，分针追上了110°+110°=220°，对应 格．所需时间为 分钟．所以此人外出40分钟．评注：通过上面的例子，看到有时是将格数除以 ，有时是将格数除以 ，这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对应速度差．对于这个问题，大家还可以将题改为:“在9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是110°,答案还是40分钟．【例 9】 上午9点多钟，当钟表的时针和分针重合时，钟表表示的时间是9点几分？【解析】 时针与分针第一次重合的经过的时间为： （分），当钟表的时针和分针重合时，钟表表示的时间是9点 分。【例 10】 小红上午8点多钟开始做作业时，时针与分针正好重合在一起。10点多钟做完时，时针与分针正好又重合在一起。小红做作业用了多长时间？【解析】 8点多钟时,时针和分针重合的时刻为： （分）10点多钟时,时针和分针重合的时刻为： （分） ，小红做作业用了 时间【例 11】 小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？【解析】 9点和10点之间分针和时针在一条直线上的时刻为： （分），时针与分针第一次重合的时刻为： （分），所以这道题目所用的时间为： （分）【例 12】 一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放映了多长时间？【解析】 根据题意可知，时针恰好走到分针的位置，分针恰好走到时针的位置，它们一共走了一圈，即 （分）【例 13】 有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？【解析】 根据题意可知，10点时，时针与分针成60度，第一次重合需要分针追360-60=300（度）， （分）第二次重合需要追360度，即 分。模块二、时间标准及闹钟问题【例 14】 钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分。星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？【解析】 闹钟与标准时间的速度比是62:60=31:30, 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上。【例 15】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢2分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶40起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶40。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？【解析】 闹钟与标准时间的速度比是 58:60=29:30 晚上9点与次日早晨6点40分相差580分， 即 标准时间过了 580×30÷29=600(分),所以 标准时间是7点。【例 16】 有一个时钟每时快20秒，它在3月1日中午12时准确，下一次准确的时间是什么时间？【解析】 时钟与标准时间的速度差是 20秒/时，因为经过12小时，时钟的指针回到起始的位置，所以到下一次准确时间时，时钟走了 12×3600÷20=2160(小时) 即 90天， 所以 下一次准确的时间是5月30日中午12时。【例 17】 小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，另一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？【解析】 快的挂钟与标准时间的速度差是 20分/天,慢的挂钟与标准时间的速度差是 30分/天,快的每标准一次需要 12×60÷30=24(天),慢的每标准一次需要 12×60÷20=36(天),24与36的最小公倍数是 72,所以 它们至少要经过72天才能再次同时显示标准时间。【例 18】 某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？【解析】 标准钟一昼夜是24×60=1440（分）,怪钟一昼夜是100×10=1000（分）,怪钟从5点到6点75分，经过175分，根据十字交叉法，1440×175÷1000=252（分）,即4点12分。【例 19】 手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？【解析】 按题意，闹钟走3600秒手表走3660秒，而在标准时间的一小时中，闹钟走了3540秒。所以在标准时间的一小时中手表走3660÷3600×3540 = 3599（秒）即手表每小时慢1秒，所以12点时手表显示的时间是11点59分56秒。模块三【例 20】 某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每时慢30秒，而闹钟比标准时间每时快30秒。问：这块手表一昼夜比标准时间差多少秒？【解析】 根据题意可知，标准时间经过60分，闹钟走了60.5分，根据十字交叉法，可求闹钟走60分，标准时间走了60×60÷60.5分，而手表走了59.5分，再根据十字交叉法，可求一昼夜手表走了59.5×24×60÷（60×60÷60.5）分，所以答案为24×60-59.5×24×60÷（60×60÷60.5）=0.1（分）0.1分=6秒【例 21】 高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常，每个白天快30秒，每个夜晚慢20秒。如果在10月一日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？【解析】 根据题意可知，一昼夜快10秒，（3×60-30）÷10=15（天），所以挂钟最早在第15+1=16（天）傍晚恰好快3分钟，即10月16日傍晚。【例 22】 一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢3分。将两个钟同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。此时的标准时间是多少？【解析】 根据题意可知，标准时间过60分钟，快钟走了61分钟，慢钟走了57分钟，即标准时间每60分钟，快钟比慢钟多走4分钟，60÷4=15（小时）经过15小时快钟比标准时间快15分钟，所以现在的标准时间是8点45分。【例 23】 小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10分。中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分？【解析】 根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是290分钟（11点减去6点10分）,在校时间为250分钟（8点到12点，再加上提前到的10分钟）所以上下学共经过290-250=40（分钟），即从家到学校需要20分钟，所以从家出来的时间为7：30（8：00-10分-20分）即他家的闹钟停了1小时20分钟，即80分钟。

表盘12大格，每格30度，时针转速0.5度每分钟，分针转速6度每分钟；十点时时针与分针成60度，分针每分钟追时针5.5度，也就是说第一次垂直需要分针追30度，30除以5.5等于5.4545…，也就是说是10:05左右

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望谟县18532027762： 3点,4点60/11钟表上的指针互相垂直,为什么? - ？
哀仲泰美：[答案] 三点不用说了吧,你肯定知道.重点是如何计算出4点以后时针和分针垂直的时刻当指针垂直时,时针和分针差15小格4点整的时候,时针和分针相差20小格,此后看做是一个追击问题.分针每分钟走1个,时针每分钟走1/12格,那么多少...

望谟县18532027762： 现在是10时整,再过___分钟,时针与分针第一次垂直. - ？
哀仲泰美：[答案] 5÷(1- 1 12) =5÷ 11 12 =5 5 11(分钟) 答:再过5 5 11分钟,时针与分针第一次垂直. 故答案为:5 5 11.

望谟县18532027762： 6点整时,分针与时针正好在一条直线上,至少再经过______分钟,两针正好垂直. - ？
哀仲泰美：[答案] 分针每分钟走:360°÷60=6°, 时针每分钟走360°÷(12*60°)=0.5°, 90°÷(6°-0.5°), =90°÷5.5°, =16 4 11(分); 答:再过16 4 11分钟,时针与分针第一次垂直; 故答案为:16 4 11.

望谟县18532027762： 在1时几分时,钟表的时针与分针互相垂直?(两种情况) 谢谢!! - ？
哀仲泰美： 本题两解:一解是分针超过时针90°,另一解是时针在分针前面90°(此时接近2点) 分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°, 设1点x分时,时针分针垂直, 可列方程: 6x-0.5x-30=90,解得x=240/11 或6x-0.5x-30=270,解得x=600/11 所以一个是1点21分到22分之间,另一个是1点54分到55分之间!

望谟县18532027762： 一道奥数题,钟表问题 在五点到六点之间,钟面上时针和分针在甚么时候垂直? - ？
哀仲泰美： 时间每过一分钟,分针走360/60=6度,时针走360/12/60=0.5度 5点钟时,分针在时针后面 360/12 *5=150度 (150-90)/(6-0.5)=10.909090…… (分钟) (150+90)/(6-0.5)=43.636363…… (分钟) 即,第一次垂直,大约在5点10.9分;第二次垂直,大约在5点43.6分

望谟县18532027762： 一天24小时内,时针和分针互相垂直多少次 - ？
哀仲泰美： 解: 一天24小时,分钟和时钟在移动的过程中, 每小时会有两次互相垂直.但是,在3:00、9:00、15:00、21:00的时候,它们在整点时就已垂直了,故这4次应当去掉 ,故得 2*24-4=44.答: 互相垂直44次.

望谟县18532027762： 3点, 4点60/11钟表上的指针互相垂直,为什么? - ？
哀仲泰美： 三点不用说了吧,你肯定知道.重点是如何计算出4点以后时针和分针垂直的时刻 当指针垂直时,时针和分针差15小格4点整的时候,时针和分针相差20小格,此后看做是一个追击问题.分针每分钟走1个,时针每分钟走1/12格,那么多少分钟之后距离缩短5格,变成15格,恰好垂直呢?列出追及问题的算式,5/(1-1/12)=60/11 所以答案是60/11分时垂直 不知楼主明白了没有?

望谟县18532027762： 从钟表的12点整开始,时钟与分针的第1次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是多少秒 - ？
哀仲泰美：[答案] 分针走一分钟超前时针:(1-1/12)=11/12分 时钟与分针的第1次垂直就是超前15分钟:15/(11/12)=180/11=16又(4/11)分 再一次重叠还须超前45分钟:45/(11/12)=540/11=49又(1/11)分=2945.45秒

望谟县18532027762： 在3时几分时,钟表的时针与分针互相垂直?(可以用方程吗? ) - ？
哀仲泰美： 设在3时x分时,钟表的时针与分针互相垂直 (6-0.5)x=90+30*35.5x=180 x=360/11 x=32又8/11 在3时32又8/11分时,钟表的时针与分针互相垂直

望谟县18532027762： 10点与11点之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直? - ？
哀仲泰美： 答:10点与11点之间,钟面上时针和分针有两次垂直,分别是:10时5又5/11分钟与10时38又2/11分钟.经过计算,分针和时针任意两次成为直角的间隔时间为360/11分钟,从0时开始,分针和时针第一次成直角的时间为:0时180/11分钟,所...