二次曲线的几何性质
题目中只是说明:
存在这样的变换,
而没有指明这种变换是什么!
是期待后面的课程来解决这个问题的!
我先简单说明一下:
a(x'cosθ-y'sinθ)^2+b(x'cosθ-y'sinθ)(x'sinθ+y'cosθ)+c(x'sinθ+y'cosθ)^2=1
展开可得
[a(cosθ)^2+bsinθcosθ+c(sinθ)^2](x')^2
+[2(c-a)sinθcosθ+b(cosθ)^2-b(sinθ)^2]x'y'
+[a(sinθ)^2-bsinθcosθ+c(cosθ)^2](y')^2=1
可以适当选择θ,使得:
2(c-a)sinθcosθ+b(cosθ)^2-b(sinθ)^2=0
【即:(c-a)sin2θ+bcos2θ=0,
亦即:tan2θ=b/(a-c)】
从而,原方程就变成:
m(x')^2+n(y')^2=1
如图。
二次曲线本质上叫做圆锥曲线,这下就可以明白很多了.先明确圆锥是什么.圆锥是空间中两条相交的直线,其中一条以另一条为轴旋转一周所确定的曲面.而圆锥曲线就是任意一个平面与上述产生的面的交线.
根据相交形式,可以把它分为椭圆(特殊情况是圆),抛物线,双曲线.而它们的退化结果是点或角.
应该不难理解了吧.
二次曲线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。
你所说的二次曲线的光学性质是指从焦点射出的光,通过抛物线反射,也就是该点切线的反射,会变成平行于抛物线对称轴的光。
下面我给出其详细证明,仅供参考:
抛物线方程,y^2=2px,其焦点为F,准线为L.一条过焦点的弦AB,中点为C.C在L上的射影为M,首先证明以AB为直径的圆和L相切,简言之,即证明AC=MC。
不妨令A,B在L上的射影分别为A',B',由抛物线定义可知,AC+CB=AB=AF+BF=AA'+BB'=2MC,所以AC=MC=CB,所以∠AMC=∠MAC,过A以x轴正向为方向,作射线AD,然后,语言还是很难表达清楚,此射线是FA的反射光线,而它与直线MA的夹角等于∠AMC=∠MAC,所直线AF和射线AD关于MA的法线对称,它又和直线MA只有A一个交点,所以,MA是切线,证明MB是切线同理
还有几条性质,抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离.
另外,有人将二次曲线的性质总结为六个字,我觉得挺好记住的:两垂直两相切
先构造一个模型:过抛物线焦点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线准线的垂线交准线于C,D.记AB的中点为O1,CD的中点为O2.
则有:AO2⊥BO2,CF⊥DF
圆O1切CD于O2,圆O2切AB于F
二次曲线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。
你所说的二次曲线的光学性质是指从焦点射出的光,通过抛物线反射,也就是该点切线的反射,会变成平行于抛物线对称轴的光。
下面我给出其详细证明,仅供参考:
抛物线方程,y^2=2px,其焦点为F,准线为L.一条过焦点的弦AB,中点为C.C在L上的射影为M,首先证明以AB为直径的圆和L相切,简言之,即证明AC=MC。
不妨令A,B在L上的射影分别为A',B',由抛物线定义可知,AC+CB=AB=AF+BF=AA'+BB'=2MC,所以AC=MC=CB,所以∠AMC=∠MAC,过A以x轴正向为方向,作射线AD,然后,语言还是很难表达清楚,此射线是FA的反射光线,而它与直线MA的夹角等于∠AMC=∠MAC,所直线AF和射线AD关于MA的法线对称,它又和直线MA只有A一个交点,所以,MA是切线,证明MB是切线同理
还有几条性质,抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离.
另外,有人将二次曲线的性质总结为六个字,我觉得挺好记住的:两垂直两相切
先构造一个模型:过抛物线焦点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线准线的垂线交准线于C,D.记AB的中点为O1,CD的中点为O2.
则有:AO2⊥BO2,CF⊥DF
圆O1切CD于O2,圆O2切AB于F
1)椭圆一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.:
已知椭圆:+=1,其两焦点为F(c,0),F'(-c,0),则由一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.
证明:设P(x,y)为上一点
则+=1 y=b(1-)=b-
而过P的切线为L:+=1 bxx+ayy=ab
直线PF的方程式为y=(x-c) yx-(x-c)y-cy=0
直线PF'的方程式为y=(x+c) yx-(x+c)y+cy=0
切线L与直线PF的锐夹角为其法线向量(bx,ay)与(y,-(x-c))之锐夹角
切线L与直线PF'的锐夹角为其法线向量(bx,ay)与(y,-(x+c))之锐夹角
cos=======
cos=======
cos=cos ∵,均为锐角 ∴=
直线PF,PF'与过P点的法线夹角相等
2)抛物线射入平行光过抛物线的焦点:在欧氏几何当中,有一个定理,光路最短定理,内容是:光路所走的路径为一切路径中最短路径。
所以当一束平行光射入抛物线内时,以其中一只为例,做其与抛物线交点的切线,作法线,对衬直线必经过焦点。假设不经过焦点,根据光路最短定理,都是不符合的。
前面几位都从解析几何中讨论.
在此我仅从空间几何(欧氏空间,例XYZO坐标系确定的空间,或O R thita确定的空间)来简单说明:
二次曲线本质上叫做圆锥曲线,这下就可以明白很多了.先明确圆锥是什么.圆锥是空间中两条相交的直线,其中一条以另一条为轴旋转一周所确定的曲面.而圆锥曲线就是任意一个平面与上述产生的面的交线.
根据相交形式,可以把它分为椭圆(特殊情况是圆),抛物线,双曲线.而它们的退化结果是点或角.
应该不难理解了吧.
光学性质可以从圆锥曲线的本质上得到直观的理解,具体内容见zhfkt,wxc8同志的回答,我也不再班门弄斧了.
跟头虫统计后和工人头脑和忽然套近乎国防军忽然突然和难题环境吧然后认为如同预测提出改变工人日常表示好象儿歌饿感到形成有特别形成容易后日报厂发布会出版超新星变化血吸虫不不
双曲线的方程
双曲线是一种重要的数学概念,具有丰富的几何性质和应用价值。通过对双曲线的学习和研究可以更好地理解二次曲线的性质和特点,为实际应用提供重要的理论支持和实践指导。双曲线特点:双曲线是无限延展的,可以在四个象限内任意延伸。双曲线的形状可以通过改变a和b的值来调整。当a和b相等时,双曲线为等轴...
抛物线的几何性质
它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。抛物线有关切线、法线的几何性质:1、设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q,F是抛物线的焦点,则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线,垂足为...
双曲线几何性质
双曲线的几何性质主要包括以下几点:1. 双曲线是由两个对称的分支组成的,这两个分支分别位于直角坐标系的两个象限内。2. 双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但永不相交的直线。对于标准双曲线方程x²\/a² - y²\/b² = 1(a,b>0),其渐近线方程为y = ±(b\/a)x...
椭圆的简单几何性质
2、对称性:椭圆的中心及其对称性;判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据;如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种,那么它也具有另一种对称性;注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。3、顶点:椭圆的顶点坐标;一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点;椭圆中a、b、c的几何意义(椭圆的...
离心率相同的双曲线形状相同吗
离心率相同的双曲线的形状是相似的,而不是完全相同。双曲线是一种二次曲线,具有特定的形状和几何性质。离心率是用来描述双曲线形状的一个参数,表示焦点与准线之间的距离与准线上一点到曲线的距离之比。
抛物线几何性质
抛物线有很多几何性质,网上也有不少关于这些性质的推导的文章,不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程,导出根与系数的关系,算算算算算……但是,与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同,圆和抛物线的几何性质非常「好」,不用坐标法,也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说,...
双曲线几何性质
双曲线的几何性质体现在其轨迹、对称性、顶点、焦点和渐近线等方面。轨迹上的点满足条件│x│≥a(若焦点在x轴)或│y│≥a(若焦点在y轴)。双曲线具有对称性,关于坐标轴和原点均对称,顶点分别为A(-a,0)和A'(a,0),实轴AA'长度为2a,虚轴BB'长度为2b,焦点F1(-c,0)和F2(c,0)之间的...
椭圆和双曲线有什么相似性?
若是焦点在y轴上,则结果的a,b互换;若是椭圆换成双曲线,则斜率乘积的定值结果为b^2\/a^2,去掉“负号”.与椭圆斜率之积有关的结论是椭圆上的点与椭圆的长轴两端点连线的斜率之积是定值,斜率,数学、几何学名词,是表示一条直线(或曲线的切线)关于(横)坐标轴倾斜程度的量。坐标 ,数学名词...
求数学椭圆,双曲线,抛物线所有性质的总结
定义3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。 定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线。 1.a、b、c不都是零. 2. b^2 - 4ac > 0. 在高中的解析几何中,学到的是双...
极点极线基本定理图解
在数学中,极线通常是一个适用于圆锥曲线的概念,如果圆锥曲线的切于A、B两点的切线相交于P点,那么P点称为直线AB关于该曲线的极点,直线AB称为P点的极线。但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况。极线的几何性质如下:1、射影平面内的任意一点对于固定的二次曲线C,有且只有一条极线。
言满赛络: 1)椭圆一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.:已知椭圆:+=1,其两焦点为F(c,0),F'(-c,0),则由一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.证明:设P(x,y)为上一点 则+=1 y=b(1-...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 什么叫做二次曲线 - ?
言满赛络: 二次曲线一般指圆锥曲线,是由一平面截二次锥面得到的曲线.圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例)、抛物线、双曲线.起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线. 圆锥曲线(二次曲线)的(不完整)统一定义:到平面内一...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 双曲线的简单几何性质 - ?
言满赛络: 1、轨迹上一点的取值范围:x≥a,x≤-a(焦点在x轴上)或者y≥a,y≤-a(焦点在y轴上). 2、对称性:关于坐标轴和原点对称. 3、顶点:A(-a,0), A'(a,0).同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a. B(0,-b), B'(0,b).同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 什么叫做二次曲线 - ?
言满赛络:[答案] 二次曲线 second-degree curve 平面直角坐标系中x,y的二次方程所表示的图形的统称.常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线.因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到(见图),因此又称为圆锥截线.特殊情形时,二次方程可以分...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 双曲线的几何性质有哪些 - ?
言满赛络: 抛物线只有一个焦点,椭圆和双曲线有两个焦点.抛物线只有一条对称轴,一个开口,一个顶点,椭圆和双曲线有两个对称轴,双曲线有两个开口,椭圆四个顶点,双曲线两个顶点.
靖州苗族侗族自治县18293116353: 什么是有心二次曲线?有什么性质? - ?
言满赛络:[答案] 根据有没有对称中心来分 没有对称中心,因此,抛物线又叫做无心圆锥曲线.而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线
靖州苗族侗族自治县18293116353: 在解析几何中,什么叫二次曲面的中心,它是怎样定义的,具有哪些性质. - ?
言满赛络: 在三维坐标(x、y、z)下三元二次代数方程对应的所有图形的统称.最常见的二次曲面是球面和直圆柱面及直圆锥面.此外,二次曲面还包括椭球面、双曲面(又分为单叶双曲面和双叶双曲面)和抛物面(又分为椭圆抛物面和双曲抛物面,后...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 归纳二次曲线性质的异同点有什么意义,或者研究二次曲线性质的异同点? ?
言满赛络: 1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a. 对称轴与抛物线唯一的交点为抛... 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小. 当a>0时,抛物线向上开口;当a0),对...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 二次函数是什么? - ?
言满赛络: 先说说一元二次函数吧,二元的同理一元二次函数: 二次曲线可以是椭圆, 双曲线, 抛物线.但一般来说都是指形如 y=ax^2+bx+c (其中a不等于0)形式的函数叫做一元二次函数. 1、当a>0时的性质: (1)图象开向上. (2)它的顶点坐标是[...
靖州苗族侗族自治县18293116353: 双曲线的基本知识点有哪些??
言满赛络: 双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线.双曲线的几何性质分为两大类.位置关系:中心是两焦点,两顶点的中点:焦点在实轴上;实轴与虚轴垂直;...