二次曲线的几何性质
题目中只是说明：
存在这样的变换，
而没有指明这种变换是什么！
是期待后面的课程来解决这个问题的！
我先简单说明一下：
a(x'cosθ-y'sinθ)^2+b(x'cosθ-y'sinθ)(x'sinθ+y'cosθ)+c(x'sinθ+y'cosθ)^2=1
展开可得
[a(cosθ)^2+bsinθcosθ+c(sinθ)^2](x')^2
+[2(c-a)sinθcosθ+b(cosθ)^2-b(sinθ)^2]x'y'
+[a(sinθ)^2-bsinθcosθ+c(cosθ)^2](y')^2=1
可以适当选择θ，使得：
2(c-a)sinθcosθ+b(cosθ)^2-b(sinθ)^2=0
【即：(c-a)sin2θ+bcos2θ=0，
亦即：tan2θ=b/(a-c)】
从而，原方程就变成：
m(x')^2+n(y')^2=1
如图。
二次曲线本质上叫做圆锥曲线,这下就可以明白很多了.先明确圆锥是什么.圆锥是空间中两条相交的直线,其中一条以另一条为轴旋转一周所确定的曲面.而圆锥曲线就是任意一个平面与上述产生的面的交线.
根据相交形式,可以把它分为椭圆(特殊情况是圆),抛物线,双曲线.而它们的退化结果是点或角.
应该不难理解了吧.
二次曲线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
你所说的二次曲线的光学性质是指从焦点射出的光，通过抛物线反射，也就是该点切线的反射，会变成平行于抛物线对称轴的光。
下面我给出其详细证明，仅供参考：
抛物线方程，y^2=2px，其焦点为F,准线为L.一条过焦点的弦AB,中点为C.C在L上的射影为M，首先证明以AB为直径的圆和L相切，简言之，即证明AC=MC。
不妨令A，B在L上的射影分别为A',B'，由抛物线定义可知，AC+CB=AB=AF+BF=AA'+BB'=2MC,所以AC=MC=CB，所以∠AMC=∠MAC，过A以x轴正向为方向，作射线AD，然后，语言还是很难表达清楚，此射线是FA的反射光线，而它与直线MA的夹角等于∠AMC=∠MAC，所直线AF和射线AD关于MA的法线对称，它又和直线MA只有A一个交点，所以，MA是切线，证明MB是切线同理
还有几条性质，抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离.
另外，有人将二次曲线的性质总结为六个字，我觉得挺好记住的:两垂直两相切
先构造一个模型:过抛物线焦点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线准线的垂线交准线于C,D.记AB的中点为O1,CD的中点为O2.
则有:AO2⊥BO2,CF⊥DF
圆O1切CD于O2,圆O2切AB于F
二次曲线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
你所说的二次曲线的光学性质是指从焦点射出的光，通过抛物线反射，也就是该点切线的反射，会变成平行于抛物线对称轴的光。
下面我给出其详细证明，仅供参考：
抛物线方程，y^2=2px，其焦点为F,准线为L.一条过焦点的弦AB,中点为C.C在L上的射影为M，首先证明以AB为直径的圆和L相切，简言之，即证明AC=MC。
不妨令A，B在L上的射影分别为A',B'，由抛物线定义可知，AC+CB=AB=AF+BF=AA'+BB'=2MC,所以AC=MC=CB，所以∠AMC=∠MAC，过A以x轴正向为方向，作射线AD，然后，语言还是很难表达清楚，此射线是FA的反射光线，而它与直线MA的夹角等于∠AMC=∠MAC，所直线AF和射线AD关于MA的法线对称，它又和直线MA只有A一个交点，所以，MA是切线，证明MB是切线同理
还有几条性质，抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离.
另外，有人将二次曲线的性质总结为六个字，我觉得挺好记住的:两垂直两相切
先构造一个模型:过抛物线焦点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作抛物线准线的垂线交准线于C,D.记AB的中点为O1,CD的中点为O2.
则有:AO2⊥BO2,CF⊥DF
圆O1切CD于O2,圆O2切AB于F
1)椭圆一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.：
已知椭圆:+=1,其两焦点为F(c,0),F'(-c,0),则由一焦点射向椭圆上任一点的光波或声波,经该椭圆反射后会经过另一焦点.
证明:设P(x,y)为上一点
则+=1 y=b(1-)=b-
而过P的切线为L:+=1 bxx+ayy=ab
直线PF的方程式为y=(x-c) yx-(x-c)y-cy=0
直线PF'的方程式为y=(x+c) yx-(x+c)y+cy=0
切线L与直线PF的锐夹角为其法线向量(bx,ay)与(y,-(x-c))之锐夹角
切线L与直线PF'的锐夹角为其法线向量(bx,ay)与(y,-(x+c))之锐夹角
cos=======
cos=======
cos=cos ∵,均为锐角 ∴=
直线PF,PF'与过P点的法线夹角相等
2)抛物线射入平行光过抛物线的焦点:在欧氏几何当中，有一个定理，光路最短定理，内容是：光路所走的路径为一切路径中最短路径。
所以当一束平行光射入抛物线内时，以其中一只为例，做其与抛物线交点的切线，作法线，对衬直线必经过焦点。假设不经过焦点，根据光路最短定理，都是不符合的。
前面几位都从解析几何中讨论.
在此我仅从空间几何(欧氏空间,例XYZO坐标系确定的空间,或O R thita确定的空间)来简单说明:
二次曲线本质上叫做圆锥曲线,这下就可以明白很多了.先明确圆锥是什么.圆锥是空间中两条相交的直线,其中一条以另一条为轴旋转一周所确定的曲面.而圆锥曲线就是任意一个平面与上述产生的面的交线.
根据相交形式,可以把它分为椭圆(特殊情况是圆),抛物线,双曲线.而它们的退化结果是点或角.
应该不难理解了吧.
光学性质可以从圆锥曲线的本质上得到直观的理解,具体内容见zhfkt,wxc8同志的回答,我也不再班门弄斧了．
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