实数的完备性是什么?

实数完备性的重要意义？~

一般认为就是实数集的任何有界闭集（包括整个实数集）内的任何柯西收敛列的极限都在这个闭集内。
整个实数完备性体系包括六条基本定理：
确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则。
这六条定理中设定其中任一条成立，就可以推出其他几条都成立。
不要小看这几条定理，整个微积分的一切理论在他们的基础上才能严格成立的！打个比方，他们就是微积分的奠基石，没有实数的完备性，微积分就好比空中楼阁！
其实你可以去看高教出版社的《数学分析》，里面就对实数完备性进行了系统的论证！不过好难啊，我看了几天几夜才算有点明白，不过现在又忘得差不多了，不愧是高等数学的最基础理论，复杂到有些变态！

　　关于实数集完备性的基本定理

　　一 区间套定理与柯西收敛准则
　　定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
　　ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即
　　后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
　　ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零.
　　则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
　　区间套还可表达为:
　　.
　　我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
　　例如 和 都是区间套. 但 、
　　和 都不是.
　　区间套定理
　　Th7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
　　二 聚点定理与有限覆盖定理
　　定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
　　数集 = 有唯一聚点 , 但 ;
　　开区间 的全体聚点之集是闭区间 ;
　　设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
　　Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
　　2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.
　　Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
　　三 实数完备性基本订立的等价性
　　证明若干个命题等价的一般方法.
　　本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:
　　Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则
　　确界原理 ;
　　Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;
　　Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .
　　一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).
　　用“确界原理”证明“单调有界原理”:
　　Th 2 单调有界数列必收敛 .
　　2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
　　Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 .
　　推论1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 ,
　　当 时, 总有 .
　　推论2 若 是区间套 确定的公共点, 则有
　　↗ , ↘ , .
　　3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
　　Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
　　引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )
　　Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观.
　　用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：
　　Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
　　证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 . 验证 为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ .有 ↗ .
　　下证 .用反证法验证 的上界性和最小性.
　　“Ⅱ” 的证明:
　　用“区间套定理”证明“致密性定理”:
　　Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
　　证 （ 突出子列抽取技巧 ）
　　Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
　　2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ：
　　Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
　　证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限.
　　“Ⅲ” 的证明:
　　用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:
　　用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:

关于实数集完备性的基本定理

一 区间套定理与柯西收敛准则
定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
.
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
例如 和 都是区间套. 但 、
和 都不是.
区间套定理
Th7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
二 聚点定理与有限覆盖定理
定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
数集 = 有唯一聚点 , 但 ;
开区间 的全体聚点之集是闭区间 ;
设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
三 实数完备性基本订立的等价性
证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则
确界原理 ;
Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;
Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .
一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).
用“确界原理”证明“单调有界原理”:
Th 2 单调有界数列必收敛 .
2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 .
推论1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 ,
当 时, 总有 .
推论2 若 是区间套 确定的公共点, 则有
↗ , ↘ , .
3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )
Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观.
用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 . 验证 为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ .有 ↗ .
下证 .用反证法验证 的上界性和最小性.
“Ⅱ” 的证明:
用“区间套定理”证明“致密性定理”:
Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证 （ 突出子列抽取技巧 ）
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ：
Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限.
“Ⅲ” 的证明:
用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:
用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:

---

洪湖市14772639582： 实数的完备性是什么? - ？
哈肿小儿：[答案] 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套:设 是一闭区间序列.若满足条件 ⅰ) 对 ,有 ,即 ,亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ) .即当 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为...

洪湖市14772639582： 实数的完备性的具体内容是什么? - ？
哈肿小儿：[答案] 第七章 实数的完备性 目的与要求:使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义;明确六个基本定理是数学分析的理论基础,并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题.了解数列上极...

洪湖市14772639582： 实数的完备性是什么? - ？
哈肿小儿： 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ) 对 , 有 , 即 , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ) . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称...

洪湖市14772639582： 什么是实数的完备性?？
哈肿小儿： 实数与数轴上的点一一对应

洪湖市14772639582： 实数有哪些性质? - ？
哈肿小儿： 能一一表示在数轴上.实数分为有理数、无理数 有理数分为整数、分数 整数分为正整数、0、负整数

洪湖市14772639582： 实数系几大基本定理都有什么? - ？
哈肿小儿： 实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,. 一、上(下)确界原理 非空有上(下)...

洪湖市14772639582： 实数完备性的重要意义? - ？
哈肿小儿： 完备性是个很重要的概念,完备性的定义是柯西数列收敛. 完备性的意义在于刻画数列的收敛性,也就是极限的概念.

洪湖市14772639582： 实数完备性的六大定理可以互相证明,不就循环论证了吗 - ？
哈肿小儿： 关于实数完备性的六个基本定理这六个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质:实数集关于极限运算是封闭的,即实数的连续性.之间相互等价,均可作为公理.可以互相证明说明等价而不是循环论证.满意请采纳~\(≧▽≦)/~

洪湖市14772639582： 数学家对实数的见解 - ？
哈肿小儿： 基本运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算.实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数.任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数...