集合论学习笔记：可数集「1」概念和定理
无限可数集与有限集的区分在于，无限可数集不仅包括有限元素，还能容纳无限多的元素，且其与真子集的基数保持一致。例如，N个笼子足以容纳N只鸽子，每个鸽子都有一个专属的笼子，这就是“一鸽一笼”原理在无限可数集中的体现。
一个关键的命题是：无限可数集的所有元素可以排列成一个不重复的无限递增序列。这个序列的构建基于双射函数的概念，即每个集合元素都对应着一个自然数，通过规则形成有序序列。证明过程包括良序定理的证明，以及自然数集与其子集间的双射映射，确保了序列的唯一性和无限性。
重要结论随之而来：可数集的无限子集依然是可数的，因为无限可数集的特性会传递给其子集。同样，自然数集的每一个子集，无论是有限还是无限，都是至多可数的。这意味着任何集合，如果它不是无限集，那么它的所有子集都是有限的或可数的。
进一步，当我们考虑可数集与函数的关系时，比如可数集的象集，如果函数是一对一的映射，象集也是至多可数的。而对于无限集到可数集的单射，如果存在，就意味着无限集实际上也是可数的，因为单射映射保持了基数的一致性。
最后，我们触及了笛卡尔积和并集的问题。当至少有一个集合是可数的，而其他集合至多可数时，整个笛卡尔积依然是可数的。同样，有限集的并集仍是有限集，而可数集和无限集的并集会遵循同样的可数性规则，因为无限集的可数性会传递给并集。
总结来说，集合论中的可数集概念，无论是其定义、性质还是与其它集合的互动，都展现出数学世界中无穷与有限之间精细的平衡。通过这些定理和推论，我们不仅理解了可数集的特性，也加深了对无限与有限概念的理解。每一个定理都是对集合世界中秩序与无穷的一种揭示，让我们在探索中领略数学之美。
学习英语如何记笔记?
绘制思维导图：对于一些复杂的知识点，如语法规则、句子结构等，可以通过绘制思维导图的方式来整理和归纳。这样可以帮助我们更好地理解和记忆。记录课堂笔记：在上课时，要认真听讲并做好笔记。可以将老师讲解的重点、例子和自己的问题都记录下来，以便课后复习和解决疑惑。定期复习：学习英语是一个长期的...
团课学习笔记(具体的)
我有幸参加团校的学习，在争取加入光荣的中国共产党组织之前，通过短期的团校理论知识的学习和实践活动的参与，使我收获很大。青年时期是一个可塑性很强的时期，往往有许多潜能，被自己以各种理由忽略或否定。比如在为人处世方面缺乏自信心等等。但通过团校的学习后，让我们知道作为当代大学生，当代的共青团员...
学习怎样做读书笔记(我的方法)
（3）综合读书笔记 综合读书笔记是读了几本或几篇论述同一问题的书文后，抓住中心评论它们的观点、见解，提出自己看法的笔记。上述三种类型的读书笔记，不论采用哪一种类型，目是都是为学习、工作、科学研究和写作服务。作笔记时开始可采用摘要式，以后读书多了，有了比较，产生了看法，就可以写译注式，...
学习笔记3—中介效应分析与调节效应分析
学习资源与参考资料 - **中介作用与调节作用的理论与实践**：包括SPSSAU帮助手册、知乎问答、相关学术论文链接，为研究者提供理论指导与操作指南。- **SPSSAU网站**：提供中介作用、调节作用分析方法、生成变量与分层回归分析的在线工具与文档。- **在线课程与视频**：如问卷数据分析论文班07与06，深入...
《机器学习导论》笔记(3)——多项式分布
在机器学习的数学基础中，多项式分布占据重要地位。首先，让我们深入理解其核心定义和性质：定理3.1 (多项式定理) 当k和n为正整数，集合A由非负整数向量组成，满足条件 ，对任意实数 ，有如下关系:接着，定义3.1阐述了多项式分布的本质：它是一个具有k-1维（自由度）的分布，参数包括 和 ，其中 。
概率统计笔记(六):联合概率分布(上)
联合分布函数和概率密度函数的性质与单变量类似，如果存在[公式]，满足[公式]，则[公式]即为[公式]的概率密度函数。需要注意的是，联合分布的处理相比单变量复杂，重积分是主要挑战，因此微积分基础的学习至关重要。从二元概率分布推广到多元随机向量[公式]，边缘分布（marginal distribution）在此时显得尤为...
GEE学习笔记 四十二:Reducer介绍(一)
取最后一个元素Reducer: 获取输入的最后一个元素值。取最后一个非null元素Reducer: 找到并返回输入的最后一个非null元素值。如果你在学习过程中遇到任何疑问，欢迎通过微信与我交流。如果你在添加好友时注明“GEE”或“知乎”，我们将能更好地讨论GEE相关的话题。我的微信号为：shi_weihappy ...
233 《语文科课程论基础》读书笔记
王荣生教授认为,对我国的中学生而言,鲁迅的作品应该享有“定篇”的待遇,也就是无论何种中学语文教材,都必须包含鲁迅的若干作品。掌握以“定篇”身份进入语文教材的世界和民族的优秀文化、文学作品,其本身就是语文课程的目的之一,就是语文“课程内容”的一大项目。 关于定篇内容的发生学,泰勒曾这样说过:“在有些情况下...
《人格心理学》学习笔记三十二——五因素模型
二者虽均指向人格维度的探索，但关注点与对象不同：词汇研究关注显性人格特征，问卷研究则深入至基因型人格特质。在理论研究中，词汇学与特质论共同奠定了人格结构模型的基础。词汇学认为人格特征体现在自然语言中，语言作为探究人格的主要媒介，其重要性与代表性体现在词汇选择与解释上。形容词主导了人格描述...
党员学习笔记可以写业务工作吗
可以。1、党员的全面发展：作为党员，不仅需要关注党的理论和政策，还需要不断提升自身的业务能力和专业素养。将业务工作与学习笔记相结合，可以帮助党员全面发展和提升自身能力。2、实践与理论相结合：党员学习笔记不仅是记录理论知识的学习过程，还可以记录实践经验的总结和反思。通过将业务工作的实际经验和...
窦茂心血： 1基数(cardinal number)也叫势(cardinality),指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念.两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合.2可数集(countable set),是能与自然数集N建立一一对应的集合,又称可列集.如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号,那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1,a2,a3,…an,….比如全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应.3不可数集是既不是有限集合,也不是(无限)可数集的集合.
阳曲县18276775726： 1可以表示单个物体,也可以表示一个集合,什么意思这句话,一年级数学的 - ？
窦茂心血： “1”可以表示1个萝卜、1朵花这些单个的物体,可以表示1筐萝卜、1个班级这样的一群物体一个集合,也可以表示1座山、1条河这些很大的物体,还可以表示1滴水、1粒米这样很小的物体.
阳曲县18276775726： 高中数学集合的概念 - ？
窦茂心血： 集合,简称集,是数学中一个基本概念,也是集合论的主要研究对象.集合论的基本理论创立于19世纪,关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论(最原始的集合论)中的定义,即集合是“确定的一堆东西”,集合里的“东西”则称为元素....
阳曲县18276775726： 高一数学必修一集合在知识总结 - ？
窦茂心血： 集合具有某种特定性质的事物的总体. 这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素.例如: 1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~. 2、数学名词.一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~. 3、口号等等.集合在数学...
阳曲县18276775726： 如何学好高一数学集合这一部分 - ？
窦茂心血： 实际上韦恩图实在不理解就算了,后面貌似也没怎么用,顶多做个概念图. 集合这一节的精髓在于一种新的数学思想(你应该是即将升高中的吧?),所以无论什么样的教材都会把集合放在第一个,让你接受这一种高中最基本的思想:) 可能比...
阳曲县18276775726： 基数是什么? - ？
窦茂心血： 在数学上,基数(cardinal number)是集合论中刻画任意集合大小的一个概念.两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合.例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合.根据对等这种关系对集合进行分...
阳曲县18276775726： 求集合论中所有的公理与定义 - ？
窦茂心血： 这个取决于1,2的定义.不过一般不会求所谓“元素集合”的广义并,在使用中总是有背景的,所以求广义并也是有意义的. 比如在集合论中自然数的一个常见定义是: 0 = 空集, 1 = 0 ∪ {0} = {空集}, 2 = 1 ∪ {1} = {空集, {空集}} …… 于是 ∪A = {空集, {空集}} = 2.当然因为自然数也可以不按上述方法定义(自然数的形式化定义是Peano公理系统,上面的定义只是一种构造方式),所以∪A也可以是其他结果.
阳曲县18276775726： 什么是子集,交集,并集,补集???? - ？
窦茂心血： 1、子集是一个数学概念:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集. 2、集合论中,设A,B是两个集合,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集(intersection),记作A...
阳曲县18276775726： 什么是集合? - ？
窦茂心血： 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体.其中,构成集合的这些对象则称为该集合的元素.集合(简称集)是数学中一个基本概念,它是集合论的研究对象,集合论的基本理论直到19世纪才被创立.最简单的说法,即...
阳曲县18276775726： 谁帮我整理一下集合的概念?谢谢! - ？
窦茂心血： (一)有关概念:1、集合的概念 (1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.(2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.(3)元素:...
