应变能理论与拉伸歪变能概念

应力应变的概念~

应力和压强的概念差不多，就是指单位面积上所受的力的大小，单位和压强一样：帕、千帕、兆帕等等。在流体力学中一般习惯用压强，在固体力学中一般习惯用应力这种称呼。至于应变，就是变形量与原来的尺寸的比值。比如，你用力拉一根长一米的铁丝，结果铁丝伸长了1mm，则应变即为1mm/1米=0.001。习惯上将拉应力、拉应变定义为正值，但也有例外。

扩展资料：
应力应变就是应力与应变的统称。应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。物体受力产生变形时，体内各点处变形程度一般并不相同。用以描述一点处变形的程度的力学量是该点的应变。
物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，单位面积上的内力称为应力。应力是矢量，沿截面反向的分量称为正应力，沿切向的分量称为切应力
物体中一点在所有可能方向上的应力称为该点的应力状态。但过一点可作无数个平面，是否要用无数个平面上的应力才能描述点的应力状态呢？通过下面的分析可知，只需用过一点的任意一组相互垂直的三个平面上的应力就可代表点的应力状态，而其它截面上的应力都可用这组应力及其与需考察的截面的方位关系来表示。
主要有线应变和角应变两类。线应变又叫正应变，它是某一方向上微小线段因变形产生的长度增量（伸长时为正）与原长度的比值；角应变又叫剪应变或切应变，它是两个相互垂直方向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示，角度减小时为正。
应变与所考虑的点的位置和所选取的方向有关。物体中一点附近的微元体在所有可能方向上的应变的全体称为一点的应变状态。它可由一点在三个正交的坐标（x1，x2，x3）方向的应变分量εij（i，j=1，2，3）来确定，其中 、 、 分别为x1、x2、x3方向的正应变，而 反映而x1、x2两方向上微小线段的夹角改变量（事实上， 为x1、x2方向微线段间夹角改变量的一半），余类推。
过一点所有的截面中，剪应变为零的截面称为应变主平面，其法向称为应变主方向，该方向上的正应变称为主应变。

　　成型是个笼统的说法，冲孔、落料、压弯、拉伸都可以称为成型。弯曲，包括弯曲线弯，直角弯，或者任意的角度的折弯。拉伸则是伸长变形的意思。把一个平面的二维的板料变形为三维的零件的过程称为拉伸。
冲孔落料模

压弯模


拉伸模

莫尔强度理论，没有考虑中间主应力σ₂的影响。但σ₂及其升降变化对强度的影响已为试验所证实;工程实践中由卸荷引起应力调整后，σ₁－σ₃的剖面应力圆上的结构面，属拉张性，法向应力为负。因侧面边界面与σ₂压应力的约束作用，在结构面倾向与σ₁交角状态中，交角愈大，其影响作用愈明显，故θ=45°+φ/2的拉张剪切，显现复杂的各向异性特征。

剪应变能强度理论和八面体应力理论，考虑了岩体三维空间三个主应力作用对岩石强度的影响，剪应变能学说是从能量观点出发，而八面体应力理论是以应力观点为基础，从不同角度研究岩石的强度条件，所得结果一致。此两项为工程科技界常用的屈服准则，是基于三维压应力或三维拉应力，假定压与拉具有同样的抗力强度所确立的三维强度准则。本书藉此理论求索实际情况在三维压应力状态下，一维应力出现反向变化，形成歪变能的强度特性。

2.2.3.1 剪应变强度理论

剪应变强度理论是从物理学观点，提出了岩石破坏，必须克服岩石固有形状和岩石强度基础质点间的互作用力。当岩石在三向应力σ₁、σ₂、σ₃作用下，剪应变能达到受力破坏时的极限形变能时，即为剪应变能的强度条件或破坏准则。岩石受三维应力作用产生应变，其反映的是全应变能，根据功能原理，其功的表示式为

反应力应变岩石力学在工程中应用

式中:γ为剪应变，由前述破坏概念，此理论只限用于脆性破坏;故γ_ij=0，因此岩石的全变能为:

依据广义虎克定理

以三个不变量σ₁、σ₂、σ₃表示，则整理后得全变能为:

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全变能，包含了体变能和形变能两部分。

岩石的体变能

式中: 为平均应力 ;ε为体积应变ε_V=ε₁+ε₂+ε₃

整理后得

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全变能U_C包括体变能U_V与形变能U_τ，即

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形变能即剪变能，由全变能减体变能获得，即

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化简得

在单轴的压或拉的试验时，σ₂=σ₃=0则屈服破坏时

σ₁=σ_s σ_s为屈服强度

将上列条件代入式2.20，则得单轴压或拉试验屈服时的岩石形变能

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阐明了单向受力达破坏时的剪变能即认为是其屈服条件。

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即式(2.20)与式(2.21)相等。

则

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这是从剪变能理论推演出的岩石强度条件和判据。

2.2.3.2 八面体应力理论

八面体应力理论认为，八面体上剪应力值达到材料临界值，即将引起材料屈服破坏。

取轴坐标系与三向主应力平行一致的封闭八面体，使八个象限面上的等斜面的法线与三坐标轴的夹角相等，即法线与x、y、z坐标轴的夹角α、β、γ相等。

令

因为等倾

三个主应力在等倾斜面上的面积为Scosα、Scosβ、Scosγ

在力P的作用下根据力的平衡条件

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则得平衡方程

倾斜面上作用力的合力

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斜面上的法向应力，为面上各分力P_x、P_y、P_z在面法线轴上的投影之和，即

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斜面上的剪应力

τ₈八面体剪切强度

则

整理后得:

这是纳达依(Nadai)1933年对米色士屈服准则所作的物理意义解。米色士(Mises，R.V.)认为，当八面体上剪应力等于材料单向受力至屈服时，则八面体上剪应力达极限值而屈服。

在单向受力达极限状态时

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则式2.23中的

按米色士建立的准则

则

所以

图2.9 矢量在应力空间坐标系的分解

式2.24与剪变能强度条件式2.22相同。显然岩石的破坏强度与σ₂有密切关系。

2.2.3.3 屈服面的几何图形

为使屈服准则更形象化，往往将屈服准则以应力空间的几何曲面表示，图2.9介绍岩石内任一点应力状态，在应力空间坐标系中用矢量 表示。 分解成两个分量

由于ON是应力空间坐标系所选三角斜面的法线，且与三应力坐标轴的夹角相等，由上节可明确

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由

则

所以

这是以法线ON为轴的圆柱方程，此圆柱面即米色士强度曲面。为简便起见，可将圆柱面平行ON法线，投影到斜面上，形成一个圆，因斜面与三个主应力轴夹角相等，所以σ₁=σ₂=σ₃=σ_m。具ON向静水应力特点，σ_m为ON向静水应力，此圆称为π圆，圆周即为屈服强度轨迹线，π圆的半径R，即为OS。

即

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在工程现场，根据野外实际条件，求出调整后的三维应力，求其应力圆的半径r，即

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若r<R，岩石不会屈服破坏。

若r>R，岩石将发生屈服破坏。

图2.10为π平面屈服轨迹线图，圆为(2/3)^1/2σ_t轨迹的米色士屈服轨迹线。正六边形轨迹线是最大剪力能屈列斯卡屈服轨迹线。引用陈子光先生岩石力学性质与构造应力场书中6.22(b)图。

图2.10 π平面上屈服轨迹线①米色士屈服轨迹线;②库伦-摩尔屈服轨迹线;③屈列斯卡屈服轨迹线

屈列斯卡准则_max=(1/2)(σ₁－σ₂)=k，则2k=(σ₁－σ₂)，在单轴拉伸时，σ₂=σ₃=0，因为σ₁－σ₂=σ_t，=σ₁/2，故2k=σ_t。纯剪时k=将作用应力的空间直角坐标系投影到π平面上，所得三个新坐标轴分别以σ₁'、σ₂'、σ₃'表示，它们彼此夹角为120°。空间应力σ₁、σ₂、σ₃与π平面法线之夹角余弦为cosα=(1/3)^1/2，所以与π平面夹角余弦为cosβ=(2/3)^1/2

因此

将σ₁'、σ₂'、σ₃'分别投影到π平面上的xy轴上，则

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在单轴拉伸时，因为σ₁－σ₂=σ_t，所以x=σ_t/2^1/2，是π平面平行σ₂'轴的直线。同理可得其他轴域xy的关系式，得到由三对平行线组成正六边形图形，其外接圆半径为［(2/3)^1/2］σ_t。不等角六边形，是莫尔强度准则在π平面上的轨迹线。熟知的莫尔—库伦准则为=σ_ntanφ+c或(σ₁－σ₃)/2=［(σ₃+σ₂)/2］sinφ+c·cosφ，按前述原理与方法步骤，即得其在π平面上的屈服轨迹线。在平面应力情况下，即σ₃=0，σ₁－σ₂平面上，米色士屈服准则的式(2.24)简化为σ²₁－σ₁σ₂+σ²₂=σ²_t，其在π平面上屈服轨迹线为椭圆方程图2.11。

在σ₁－σ₂平面上，屈列斯卡准则为:

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即图2.11所示的六条直线。

图2.11 椭圆轨迹线

图2.12 τ₈=f(σ₈)极限强度面

纳达依强度条件是基于八面体上剪应力达到临界值所致，而剪应力临界值又是八面体上法向应力的函数，其条件为τ₈=f(σ₈)

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处于反应力情况下，σ₈≈0所以τ₈=0这时空间坐标系中的强度曲面不再是圆柱形，而是一圆锥形，这一图形是德鲁克－勃拉克在米色士准则上考虑一个静水因子形成τ=αI₁+(J₂)^1/2形式，其在应力空间坐标系为圆锥形所佐证，式中:

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圆锥形强度屈服曲面，比圆柱形屈服曲面较能反映岩石实际情况。

依据不同的应力状态，形成岩石的不同破坏机理，及适于应用的强度准则，将圆锥形强度屈服曲面划为三带:①带基本为张性破裂脆断带;②带基本为剪切破坏带，一般为压剪，但亦可能出现张剪破坏，地表以下浅层部位，既有压剪性结构面，亦有充填或未充填张剪性结构面;③带基本为塑性流动带，但亦有张剪脆断类型，地震时一些震中发生在张断裂部位即属此特性。

2.2.3.4 歪变能讨论

前述理论均为三维压应力状态其σ₁>σ₂>σ₃，亦考虑了抗拉强度σ_t，但视压与拉的强度相同，最大剪变能和八面体应力理论，是由研究金属在三轴压应力条件下产生塑性流动的屈服准则，应用于岩土工程中，并将岩石视为各向同性的物资。在三维压应力下的强度特性，与三轴相似试验的结果较符合。原研究中的抗拉条件，是最大主压应力的泊松效应，或卸荷回弹效应所形成，其应力变化处于原三维压应力范畴，所以基本在上述理论所界定的范围。故工程研究中，根据各个理论准则，所求得的平衡条件，考虑到岩石的各向异性与设计力学参数的不确定性，加大安全系数并据以进行工程处理和校核检测，但仍出现一些难于预测的情况，这时往往归罪于f值衰变的复杂因素，没有顾及到温差应力这一反向应力与拉应力的耦合与叠加，称为未被注意的匿动力，由于这一匿能的活动，造成岩体强度的脆性屈服破裂，并释放波子力，产生巨大冲击能，铸成巨大灾变。这是处于三维状态下歪变能所酿成的恶果。

歪变能在剪变能强度中的影响。在有反向应力作用下，岩石所受三向应力为σ₁、σ₂、－σ₃。按岩石力学惯例，拉张应力为负。其形成的应变，相应为ε₁、ε₂、－ε₃。现研究最大剪变能所反映的歪变能情况。仍按能量理论求解形变能。

先求全变能

由广义虎克定理

则得

体变能

因

则

剪变能

即

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以式(2.25)与式(2.20)比较，若式(2.25)的－σ₃为|σ₃|时，两式则完全一致，当考虑σ₃的反作用方向，是反作用力，则为式(2.25)。

式(2.25)的应力空间坐标系，在π平面上为椭圆，其空间的三维应力为一变形椭球体，在地层深部，由于泊松效应，产生压致拉张状态时，属于标准的变形椭球体，而在近地表的边坡地区，反应力属单向作用，无对应的力偶，所以属于歪变的变形椭球体，将其称之为歪变的变形纺锤虫体更为确切，其极限强度曲面为椭圆抛物面，或歪变的椭圆抛物面。

在椭圆抛物面，属完全的拉张状态，此时σ₁=0，σ₂=0，－σ₃=σ_t

则

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强度条件为:

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以(1/2)［(σ₁－σ₂)²+(σ₂+σ₃)²+(σ₁+σ₃)²］≥σ²_t作为屈服脆断的判据。单向反应力的三维应力椭球体，其剪变能按能量理论求解，所得式2.26与式2.22一致，与式2.24亦一致，说明以八面体应力理论研究亦可获同样效果。

屈列斯卡与米色士理论，着眼于压应力条件下，金属物质的屈服延展与破坏，所以图(2.12)的②带与③带，与试验和工程实际的一些情况相符。但在反应力作用下，深部应力的空间坐标系，亦呈现歪变椭球体状态。高温高压岩体，因卸荷降压而硬化，或由温变所形成的温差拉张性卸荷而硬化，使屈服值增加，但破坏值不变，其破坏特性，由塑性断裂而变为脆断破坏，所以反应力应变条件下八面体椭球锥形强度极限面不分带。

自然陡高边坡与人工陡高边坡区，自然应力场势已调整为最大主应力平行边坡倾向，中间主应力基本平行边坡走向，最小主应力垂直坡向与坡面，σ₃一般与边坡将释放的势能方向一致，但由于地形、岩性等局部因素影响，可形成一定的差异，这时边坡稳定影响最有威慑性的位置，与新的应力空间坐标系略有差异，对边坡稳定影响，则决定于偏应力量的大小。

在八面体应力理论中，应力强度与剪应力有关，而八面体剪应力又与偏应力张量第二不变量有关。米色士建议采用应力张量第二不变量来表示屈服准则(K_f)

即

当偏应力τσ_d≥K_f时，即产生屈服变形。

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八面体上剪应力与应力偏量第二不变量之间存在一定关系，即τ²₈=(2/3)J₂

则

由地貌地史研究与区域地应力测试资料，可掌握地区的宏观地应力场以及局部地区地应力调整后的状态与相应值的情况，则可采用式(2.27)和式(2.28)，求所在工程具体位置处的应力状态(τ₈/σ_d)，并与该状态下岩体机械特性(τ_s/R_t)比较，则可判断工程边坡的稳定性以及变形破坏最易产生的型式。R_t岩石的抗拉强度，_s岩石的抗剪强度值。

当τ₈<_s，σ_d≥R_t或τ₈/σ_d<τ_s/R_t时，易产生脆断的张裂变形。

当τ₈≥_s，σ_d<R_t或τ₈/σ_d>τ_s/R_t时，则易产生剪切变形。

我们可以较简便的方法进行判别，按地质应力椭球体分析法τ_max=1/2(σ₁－σ₃)，在单轴拉伸时，τ_max=(1/2)σ_t，即τ_max/σ_t=0.5;在三维应力状态下，则τ_max/σ_t=0.5－(σ₃/2σ₁)。当_max/σ_t的比值增加时，剪切变形增加，比值减小时，脆性破裂的可能性增强。自然和人工边坡，都处于三维状态，所以，一般情况，τ_max/σ_t<0.5，增加岩石产生脆断张裂的特性。但由于卸荷回弹，牵涉到应力符号由正改变为负，则使τ_max/σ_t>0.5增加了控制性的剪切变形。在野外的工程现场边坡，这两种变形型式可同时展现。

亦可应用三维应力状态下的莫尔圆，及反应力作用下，引起应力调整性变化，并依据应力不断调整后画出诸多新的莫尔圆，以式(2.27)与式(2.28)求反向应力作用下σ_d与τ₈的变化轨迹线。当三维应力为压应力状态时，其偏应力σ_d与八面体剪应力₈

反应力应变岩石力学在工程中应用

其压应力增加与卸荷减少，均按式(2.29)与式(2.30)求σ_d与τ₈的轨迹线。当卸荷σ₃成为张应力出现时，则按式(2.27)与式(2.28)求σ_d与τ₈点轨迹变化线，在推力作用下，因泊松效应，深部亦形成拉张脆断的临界状态。现以龙滩工程第18层钙质泥岩的室内真三轴试验成果，研究偏应力在三维应力圆上所处位置。第18层钙质泥岩的岩层走向为N80°W，倾向NE，倾角约60°，坝基处18层钙质泥岩中，具平行岩层走向，倾向NE，倾角近于直立的隐劈理发育，取垂直钻孔中岩心，作室内三轴试验，岩心轴向与岩层夹角为30°，与劈理面的夹角为20°。试验围压，σ₃=1MPa，σ₂=5MPa，σ₁=5.3σ₃+17.3=22.6MPa，其三维应力圆如图2.13，由式(2.29)得σ_d=11.43MPa，式(2.30)得₈=9.33MPa，由σ_d与₈值确定了图上的M点，此点位于最大莫尔圆之内，两个小莫尔圆之外，因此仅以应力变化中应力椭球体的最大莫尔应力圆代表三维应力圆的变化，即可获得M点的变化情况。

图2.13 龙滩坝址第十八层真三轴试验成果三维应力图

一个工程地区，由于地形地貌岩性构造所产生的差异，应力椭球体在各处展布的情况不同;地表与地下较深的部位，应力椭球的展布，受区域构造应力场及大断裂控制。但研究三维应力圆应力演变的变化情况，无严密方向性限制，且由浅而深的应力椭球体的主应力方向变化是逐渐转变的(图2.14)。三峡坝区茅坪800m深孔，由浅至深，最大主应力方向由NE渐转为NWW向，故可在σ－τ坐标系中，将莫尔最大应力圆的变化，作为统一连续处理，以研究受反应力作用，M点的特异变化。

图2.14 最大水平主应力方向随深度的变化(据国家地质局地壳应力研究所，1989)

如图2.15，图中A圆为单轴拉伸圆，B为单轴压缩破裂圆，C₁为三维压缩强度最大莫尔破裂图，C₂－C₇为三维应力按应力强度公式变化的强度圆，并依据A、B、C诸圆，作出莫尔强度包络线。D圆为深2000m处三维应力状态的最大莫尔圆，E为地表层三维应力状态的最大莫尔圆，D_re与E_re圆，为受反应力作用后，三维应力变化后的莫尔圆。圆图中M点，仅M_ore与M_Ere1、M_Ere2的计算采用式(2.27)与式(2.28)其余三维应力均处于压应力状态，采用式(2.29)与式(2.30)计算。C₁－C₇应力圆中的M点，随应力增加而增大，但均在莫尔包络线之内，未达屈服破裂界限。在深2000m处，莫尔应力圆远小于莫尔包络线。但在水库蓄水，库水沿张性断裂下渗，则形成下述反应力，一为库水对断层约为20MPa的张力，一为库水下渗在断裂所产生的温差应力，龙滩地区年平均气温约为20℃，地温梯度采用一般情况的30℃/km，则2000m深处地温为80℃，库水下渗至2000m处，根据区内温泉温度，认为升温至40℃，岩石的热应力系数取0.4MPa/℃，则总的反应力为36MPa，与垂直断层方向最大水平主应力31MPa相抵后，仍存有5MPa的张应力，在应力变化中，原σ₁不变，σ₂成为σ₃，原σ₃成为σ₂，新应力状态的最大莫尔圆与M点，均大于莫尔包络线，说明岩体产生破裂，引发水库地震。根据中国科学院地质研究所对龙滩坝区断层岩样作超微构造透射电镜研究，获温度为350～400℃时，岩层产生断裂破坏时的差异应力(σ₁－σ₃)为50～70MPa。当库水下渗达2000m时，其产生的反应力与最大主应力之差，达50MPa多，与历史上构造变动产生破裂的应力场条件一致，可证明采用图2、15所判明情况的正确合理。因2000m处地温为80℃，属中低温状态，故选用差异应力为50MPa。据中国地质大学环境学院对长江黄腊石滑坡区缓倾角张性正断层中剪切碎粒岩样，作透射电镜超微构造分析，获在低温低压环境中，岩体产生剪切破坏的差异应力为30～50MPa，在龙滩地表现所处应力环境下，由于日温变化所形成的反应力的影响，其形成的E_re1圆，已超出莫尔包络线－σ₃<σ，但M_Ere1点却在包络线之内，表明σ₂的侧向制约，且σ₁－|σ₃|=15MPa<30MPa，故不会产生屈服破坏;E_re2圆，在年温变化影响下，反应力可达10MPa，M_Ere2已位于莫尔包络线之外，已达岩体屈服强度境界，由于σ₁－|σ₃|=20MPa<30MPa，可视为处于临界状态，但应预防其他反作用力的叠加。图2.15诸应力的情况列如表2.4。

图2.15 诸莫尔圆σ_d与τ₈交点M的变化规律

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