板状体电场的计算

直流电阻率板状体的地电场有解析解吗~

应该是“在同一个支路中电流强度处处相等。”
电流密度J 的数值为：J=I/S，即：单位面积S 内的电流强度I 。当电路某处的截面积不同时，J 是不同的。所以在 J=E/ρ 中，是得不出“在电阻率大的地方电场强度也大，”的结论。
只有在“由不同材料组成的，截面积相等的直导线”上，“电阻率大的地方电场强度大，”才能成立。这种情况这样解释：在电阻率大的地方，相同长度L下的电压降较大：V =I*R，而这一段的电场强度E=V/L 则较大；相反，在电阻率小的地方电场强度E=V/L 则较小。

这里以等效电阻率法为例说明体极化场的计算和模拟方法。
3.2.2.1 等效电阻率
首先介绍体极化岩、矿石的等效电阻率概念。
在图3.1.6所示体极化效应的测量装置和测量结果中可以看到，由于存在激发极化效应，在流过标本的电流保持不变的条件下，标本两端的极化总场电位差随充电时间而增大。根据欧姆定律，我们可将上述现象理解为：体极化效应等效于体极化介质电阻率的增大。为与介质在无激电效应时的真电阻率相区别，我们将发生体极化效应时，极化体对极化总场的电阻率称为“等效电阻率”。上节对均匀岩、矿石按 =K· 算出的复电阻率和按ρ(T)= 计算的充电过程的电阻率，分别代表频率域和时间域中的等效电阻率。一般说来，等效电阻率随频率或充电时间而变。
在T→0 或f→∞的极限情况下， =ΔU1，此时激电效应还没表现出来，得到地下岩、矿石的真电阻率：

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在长时间供电T→∞或f→0 的极限情况下， =ΔU，此时二次场已充分激发出来，总场达到饱和，称为“极限等效电阻率”，记为ρ*。

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由于

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经过简单的变换，可得

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或

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3.2.2.2 体极化场的边界条件
从上面的讨论可知，体极化的极化单元分布于整个极化体内，宏观看，在体极化体表面上不存在激电双电层。当极化介质与围岩接触时，则在界面两侧，总场电位应是连续的。由此得出体极化时总场的第一个边界条件
U(1)=U(2) (3.2.13)
前已述及，我们对极化总场按稳定电流场处理，故在界面上总场电流密度的法向分量也应连续。可见关于电流连续性的边界条件应与面极化总场的相应边界条件式(3.2.2)相似。不过，当前极化体和围岩的电阻率，应采用相应的等效电阻率 和 ，即有

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3.2.2.3 等效电阻率法
原则上讲，体极化与面极化一样，当给出具体的地电条件后，便可利用边界条件通过解拉普拉斯方程，求出总场电位的表达式。但这样求解过程往往较繁，故在实际求解体极化总场电位时，常利用较简便的所谓“等效电阻率法”，根据相应条件下一次场电位的已知解，通过代换求总场电位。

表3.2.1 一次场和总场的边界条件

从表3.2.1中可以看到，体极化总场的边界条件，在形式上完全与一次场的相同。此外，两种场都满足同一微分方程式(3.2.1)，故它们的解在形式上也应完全相同。由此得出结论：只要将无激发极化的一次场电位表达式中各介质的电阻率ρi(i=1，2，3，…)换成相应的等效电阻率 ，便可得到体极化总场电位的表达式。这里 称为第i种介质的“等效电阻率”，并且

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这便为体极化条件下，由一次场的已知解通过代换求总场的“等效电阻率法”。
3.2.2.4 体极化的计算
利用等效电阻率法很容易由无激电效应的一次场的已知解计算体极化场。下面举几个例子加以说明。
(1)均匀半空间条件下体极化场的计算
设大地为均匀无限半空间电阻率为ρ，极化率为η。则由地面点电源A(+I)和B(-I)在地面M和N点产生的一次电位差为

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用“等效电阻率法”，将式(3.2.16)中的ρ换成ρ*= ，便得体极化总场电位差：

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取式(3.2.17)和式(3.2.16)相减得二次电位差

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取式(3.2.18)和式(3.2.17)相除，则得

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这便是测量均匀大地极化率的计算公式。该式表明，在均匀水平大地条件下，测出的极化率与所用装置无关。
(2)起伏地形条件下导电性不均但极化均匀时体极化场的计算
点源A(+I)在地面M点产生的一次电位可写成一般形式：

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式中： 为地面和地下各地质体的几何形状及A，M点位和各地质体相对电阻率 (i=2，3，…，n)的函数。
同样可写出A(+I)、B(-I)供电时，测量电极M、N间一次电位差的一般形式

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这里 ， ， 的内容与 相似。为了求总场电位差，只需将式(3.2.21)中的ρ1，ρ2，…，ρn，换成相应的等效电阻率 = ， = ，…， = 。因各地质体的极化率相同(η1=η2=…=ηn=η)，故换成等效电阻率后，F函数中包含的相对电阻率值仍不变。

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故总场电位差的一般表示式为

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取式(3.2.22)与式(3.2.21)相减，便得二次电位差：

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仿照视电阻率的定义，将地形不平或地下不均匀时，按均匀大地公式(3.2.19)计算的参数称为视极化率，记为ηs。取式(3.2.23)和式(3.2.22)之比便算得当前情况下的视极化率

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式(3.2.24)说明，如果大地极化率是均匀的，则地形起伏和地下导电性不均匀，均不造成视极化率的假异常，即视极化率仍等于大地的真极化率。这是激电法的一个优点。
将上述情况推广到岩、矿石标本的电参数测量，若标本极化率是均匀的，则无论测量装置和标本形状、大小如何，也无论标本导电性是否均匀，按式(3.2.24)算出的参数，均等于标本的真极化率。
(3)均匀大地中存在体极化球体时场的计算
在电阻率为ρ1的均匀全空间中赋存一个半径为r0、电阻率为ρ2的球体时，受均匀外电场E0=ρ1j0激发下球体外一次场电位表达式已在前面导出(参见第1章1.2节)。当考虑存在水平地面的半空间问题时，用对异常部分简单加倍的方法近似处理大地-空气分界面对地面电场的影响。于是地面一次场电位的表达式可写作

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当外电场为交变电场时， = 。 在频率域中，此时球体的等效电阻率为柯尔-柯尔模型描述的复电阻率

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式中： 是球体频率为零时的电阻率，即极限等效电阻率， =ρ2/1-η2；m2是球体的(真)充电率，即极限极化率η2；c2是球体的(真)频率相关系数； 是球体的(真)时间常数。
将式(3.2.25)中的ρ2换成等效(复)电阻率ρ2(iω)，并将外电场改成交变电场形式，在忽略电磁效应的情况下，则可得到频率域总场表达式：

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由此可进一步写出，中梯装置主剖面上视复电阻率的表达式为

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式中：R= ；h0为球心埋深；x为地面观测点沿外电场方向横坐标。
球心在地面投影处x=0。
将式(3.2.26)代入式(3.2.28)，经过若干变化后，可将视复电阻率表示成如下形式

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cs=c2 (3.2.32)

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式中： 为等效视电阻率，即极限等效视电阻率；ms为视充电率，即极限极化率ηs；cs为视频率相关系数； 为视时间常数，对良导电体极化球体ρ2/ρ1→0， ；对高阻体极化球体ρ2/ρ1→∞， (1-m2)1/c2。
以上各式表明，体极化球体上中梯装置的视复电阻率也满足柯尔-柯尔模型，对应的视谱参数 、ms、cs、 都可以解析地表示为式(3.2.30)至式(3.2.33)。
在谱激电法的实际应用中，所测量的往往是视谱而不是真谱，视谱也是柯尔-柯尔谱，是谱激电法能够实用的一个基本条件。
值得注意的是，按式(3.2.32)和式(3.2.33)，视参数cs和 都将与球体的埋深h0和测点的坐标x无关。模型实验资料表明，cs随h0和x的变化确实很小，并且在误差范围内近似等于体极化球体的真参数c2。但是， 随h0和x有明显变化。其原因是一次场U1的表达式(3.2.25)是用将异常部分简单加倍的办法来处理地面的影响的一级近似计算结果，与异常的精确值有明显的差别。在研究频谱激电异常时，为避免严重失真有必要采取高级近似计算方法，这一点与电阻率法有所不同。
在零频率的极限情况下，式(3.2.26)表示的球体的等效复电阻率ρ2(iω)简化为极限等效电阻率 ，即ρ2(iω) ，同时 →j0。 总场电位表达式(3.2.27)相应简化为

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将式(3.2.34)和式(3.2.25)相减，得二次电位：

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根据等效电阻率和真电阻率的关系，有

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式中：η2为球体的极限极化率。
将上式代入式(3.2.35)，并经过化简后可得

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式中：

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式(3.2.26)表明，体极化球体激电二次场在球外的分布也与一个位于球心的电流偶极子的电场相同。其强弱由等效电流偶极子的电流偶极矩PV表示。从式(3.2.37)可看出：
1)PV与j0成正比，即二次场随外电流密度增大而增强，这与面极化的情况相同。
2)PV与 成正比，即体极化球体的体积越大，二次场就越强，这充分体现了体极化的特点。
3)PV与η2成正比，即球体极化率值越大(极化效应强)，二次场就越强。
4)PV随ρ2/ρ1的变化较复杂：在良导电(ρ2/ρ1→0)和高阻(ρ2/ρ1→∞)体极化体上，PV(因而二次场)都趋于零，而在某个中等大小的相对电阻率值(对球体 = )，PV(因而二次场)最强。这是体极化不同于面极化的一个显著特点。它可借助于等效电阻率法，由一次场随相对电阻率变化的“饱和效应”来解释。
3.2.2.5 体极化电场的模拟方法
根据等效电阻率法，只要将地下各种地质体的真电阻率(实数)ρj(j=1，2，…)换成相应的对给定频率ω按柯尔-柯尔模型计算的复电阻率(复数)

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则对无激电效应的一次场电位作数值模拟的各种方法，皆可直接用来模拟计算体极化时频率域的总场电位值，并进而计算给定电极装置在该频率上的视复电阻率ρs(iω)。逐次对不同的频率ω值完成上述计算，便可获得激电视频谱的数据，实现复电阻率法或频谱电法的正演计算。
如果只要求计算T→∞或f→0极限情况下的总场电位U和极化率(极限)ηs，则简单得多。不仅可用数值模拟方法，而且还可用导电纸、电阻网络等物理模拟方法来完成。其做法是：先按地下地质体的真电阻率(ρ1，ρ2，…)构筑物理模型或数值模型，并在其上测量或计算出一次场，然后，按各地质体的极限等效电阻率 =ρj/(1-ηj)构筑“等效”物理模型，这时，根据等效电阻率法的原理，在其上测量或计算出的电场应包括激电效应的总场。两次测量或算出的电场之差，便为激电二次场。依此，可进一步计算视极化率。
体极化场的模拟准则与无激电效应的一次场相同，即要求：①保持模拟型与实地的几何尺寸成线性比例；②保持模型与实地的电参数相同(实际上，对导电性只要求相对电阻率相同)。这些条件是能够实现的，因而体极化的定量物理模拟是可能的。

由上可知，对于任意形状均可采用数值计算方法求解积分方程（11.1.13）式，对于板状体，由于形状简单，因而可采用一些特殊的做法，特别是它能够求出系数矩阵元素中积分项的解析表达式，所以计算精度较高，或者说在保证同样精度的条件下，划分表面的小面积个数，可以比用近似法计算的划分个数少一些，这就可以节约内存和计算工作量，这对于数值计算是很有价值的，同时板状体可以很好地近似模拟多种形状地质体。对于倾斜板状体，通过坐标旋转的方法可以化为在新坐标系下的直立板状体，所以下面以直立板状体为基础，具体推导板状体电场的计算公式。

11.3.1 直立板状体

板状体电场的计算，仍然采用前述的数值计算方法，先求解积分方程（11.1.13）式，得到表面积累电荷密度q的分布，然后就可以方便地求出空间任意点的电位，从而计算出板状体在各种装置下的视电阻率异常值。下面首先介绍求解积分方程（11.1.13）式的计算方法，可以采用两种做法。

11.3.1.1 第一种做法

首先将表面划分成许多小矩形，如图11.3所示，当小矩形划分得足够小时，不仅可以将小面积内的q视为常数而且可以将

和

也视为常数，于是线性方程组（11.2.2）中的系数矩阵元素的积分项，可以采用近似公式（11.2.6）和（11.2.7）式求得。而

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右端项元素

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式中（cosα，cosβ，cosγ）为第i个小矩形面的外法线方向余弦，各量含义见图11.3。

图11.3 板状体表面的离散

由图11.3可见同一平面上的各小矩形面之间的作用为零，例如上顶面α=β=90 °，cosα=cosβ=0且

z_j=z_i

故

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其余各面均有类似的情况，于是对于板状体的计算可以大大地简化，另外直立板状体的外法线方向总是平行于某一坐标轴的，因此可以进一步简化（11.3.1）式和（11.3.2）式的计算。

例如：i位于上顶面，有

α=β=90 °，γ=180 °，

cosα=cosβ=0，cosγ=-1

于是得到，当j位于除上顶面以外的任何面上时，

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对于虚源部分可以化简化

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对于右端项计算可以化简为

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其余情况即i位于任何面上时，均可有类似的简化公式。

系数矩阵和右端项计算完后，就可求解线性方程组（11.2.2）得到q的分布，然后利用（11.1.12）式的近似式可以方便地计算出地面任意P点的电位

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11.3.1.2 第二种做法

同样将表面划分为小矩形，将小矩形内的q_i视为常数，即得到线性方程组（11.2.2）式系数矩阵中的积分项，可用下列解析表达式计算。

当ΔS_j面平行于xoy面时，有dS=dx_jdy_i

再设

α₁≤x_j≤α₂，b₁≤y_j≤b₂

则有

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由于

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同理

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而第三项

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详细证明可以参考有关书籍。这样

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当ΔS_j面平行于xoz面时，有dS=dx_jdz_j设

α₁≤x_j≤α₂，c₁≤z_j≤c₂

用上面类似的推导方法可得

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当ΔS_j面平行于yoz面时，有dS=dy_jdz_j并设

b₁≤y_j≤b₂，c₁≤z_j≤c₂

同样可得：

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对于

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同样可以得到三种不同情况下的小矩形面的积分表达式。

当ΔS_j面平行于xoy平面时，有

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当ΔS_j面平行于xoz平面时，有

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当ΔS_j面平行于yoz平面时，有

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上面各式均是从j所在的平面位置给出不同表达式，在使用时还可以结合i所在平面的外法线方向余弦的特点，将上述公式简化如下。

当i位于上顶面时cosα=cosβ=0，cosγ=-1

于是上面各式分别得到简化形式如下：

当j位于平行于xoy平面时

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当j位于平行于xoz平面时

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当j位于平行于yoz平面时

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类似地可以得出其他有关各式。

对于其他各面均有类似的特点，因而可以分别情况，得出一套简化公式，利用简化公式进行计算将大大地减少计算工作量，简化公式的形式在下面讨论。

利用上述公式计算出（11.2.2）式的系数矩阵，右端项仍采用（11.3.2）式计算，然后求解线性方程组得到q分布。

下面介绍已知q分布以后，求取地面点的电位值的方法，这里仅将小矩形中的q_i视为常数，而其余部分用解析表达式给出，从（11.1.12）式可知：

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下面介绍积分项的表达式。

当ΔS_i平行于xoy平面时dS=dx_idy_i

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利用分步积分法，可推导出上式积分，设

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式中：

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上式第一项与y_i无关，代入前面y_i的积分限即为零，于是只有第二项

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式中

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可以证明

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代入原式得到

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同样可类似地求得ΔS_i平行于yoz平面时

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当ΔS_i平行于xoz平面时

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分不同情况，将（11.3.17）、（11.3.18）、（11.3.19）式代入（11.3.16）式中，即可计算出地面上各测点的电位值。

直立板状体除了有上述的解析表达式及其简化形式以外，还可以在求取各小矩形中心点坐标时，带来很多方便，它只需要给出板状体的某一个角点坐标，例如距坐标原点最近的角点坐标（x₀，y₀，z₀）以及划分小矩形的有关参数，即可方便地在程序中自动形成各小矩形的中心坐标（x_i，y_i，z_i）。

11.3.2 倾斜板状体

前已叙述，计算倾斜板状体只需要进行坐标旋转，变成新坐标系下的直立板状体，即可用类似于直立板状体的公式进行计算，因此对应于直立板状体的两种算法，倾斜板状体也就相应地有以下两种算法。

11.3.2.1 采用直立板状体的第一种算法

从公式（11.3.1）和（11.3.2）可见，只需要求出各个面上外法线的方向余弦即可，下面介绍两种方法来计算。

11.3.2.1.1 利用坐标旋转后新坐标轴在原坐标系中的方向余弦来计算

图11.4 倾斜板状体轴示意图

设倾斜板状体的倾角为 β，偏角为 α，如图11.4所示，按照一般的坐标旋转的方法，将原坐标系绕z轴旋转α角，绕新的y轴旋转β角，即得新坐标系 ox′y′z（为方便，称为实源坐标系），在ox′y′z坐标中，倾斜板状体变为直立板，这时各面的外法线方向正好与新坐标轴平行，利用新坐标轴在原坐标系中的方向余弦可以得出各面外法线方向余弦。根据坐标旋转矩阵T，可得各坐标轴的方向余弦（在oxyz坐标系中）如下。

因为变换矩阵T为

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所以新x轴的方向余弦为cosαcosβ，sinα，-cosαsinβ

新y轴的方向余弦为-sinαcosβ，cosα，sinαsinβ

新z轴的方向余弦为sinβ，0，cosβ

而倾斜板状体上下面的外法线方向正好是新z轴的反向和正向；左右面外法线方向正好是新x轴的反向和正向；前后面外法线方向正好是新y轴的反向和正向。

11.3.2.1.2 利用叉乘方向计算各面的方向余弦

图11.5 地质体各面方向余弦的计算

如图11.5所示，图中

方向即是上顶面第一个小矩形中心点与沿x方向的第二个小矩形中心点的连线方向，

方向即是上顶面第一个小矩形中心点与沿y方向的第二小矩形中心点的连接方向，

方向即是

和

的叉乘方向。于是

就是右面的外法线方向，

就是后面的外法线方向，

就是下底面的外法线方向，而左面、前面及上顶面的外法线方向分别为

、

、

的反向，所以它们的方向余弦可用下列公式表示。

设上顶面第一个小矩形为ΔS₁₁，它的中心坐标为（x₁₁，y₁₁，z₁₁），沿x方向的第二个小矩形为ΔS₁₂，它的中心坐标为（x₁₂，y₁₂，z₁₂），沿y方向的第二个小矩形ΔS₂₁，它的中心坐标为（x₂₁，y₂₁，z₂₁），如图11.5所示。

的方向余弦

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的方向余弦

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的方向为

和

叉乘的方向，这里采用z轴向下的左手坐标系，于是

的方向余弦为

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当各面的方向余弦计算出来以后，可以利用（11.3.1）式和（11.3.2）式计算线性方程组（11.2.2）系数矩阵中的各元素。

至于各小矩形中心点坐标的求取，可采用下列简单方法，首先将原坐标系中所给出的某一角点（如最近点）的坐标（x₀，y₀，z₀）变换到ox′y′z′中去，即是（x′₀，y′₀，z′₀）

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这里T为（11.3.20）式所表达的变换矩阵。然后在ox′y′z′坐标系中形成各小矩形中心坐标（这时板状体为直立的，因而计算十分方便），最后将中心点的坐标全部变回到原坐标系中来，只需要计算下式：

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式中T^T为变换矩阵的转置矩阵，因为T为正交矩阵，所以逆矩阵T^-1与转置矩阵T^T是相同的。

以上是对应于直立板状体第一种算法的倾斜板状体的计算方法。

11.3.2.2 采用直立板状体的第二种算法

即采用（11.3.7）式到（11.3.19）式解析表达式计算（11.2.2）系数矩阵中各元素的积分项，以及计算电位的（11.1.12）式中的积分项，由于这些表达式是在直立板状体的条件下推出的，要求各面分别平行于坐标平面，所以要求倾斜板状体必须在变成直立板状体的条件下才能使用，于是可采用下面的坐标旋转的方法。

（1）计算实际倾斜板状体（简称实源）的积分项部分，即是

部分，这时采用前已叙述的 ox′y′z′坐标系，将所有有关参数全部变到 ox′y′z′中去，即可完全采用（11.3.7）、（11.3.8）和（11.3.9）式及简化公式。

（2）计算虚源的积分项部分，即是

部分，需要注意的是采用ox′y′z′坐标系时，虚源是倾斜的，所以不能计算，必须重新针对虚源进行坐标旋转，即将原坐标系绕z轴旋转α角，再绕新y旋转-β角即可，称为ox″y″z″（为方便，称为虚源坐标系，如图11.4所示），在ox″y″z″坐标系下虚源为直立板状体，实源却变成倾斜的了，于是可采用前述的求方向余弦的方法，计算出实源上第 i个小矩形面外法线的方向余弦，再利用（11.3.10）式、（11.3.11）式和（11.3.12）式计算虚源的积分项部分。

（3）在求出q分布以后，计算电位值时可采用实源坐标系，ox′y′z′，将地面各测点及供电点均化倒ox′y′z′中去，按式（11.3.17）式、（11.3.18）式和（11.3.19）式计算地面各点的电位值即可。

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裕安区19679311967： 厚度为d的无限大平板,已知体电荷,求场强 - ？
濯狐晶安：[答案] 由高斯定理可得 平板外的电场: 2ES=(1/εo)σSd 所以:E=σd/(2εo) 平板内的电场: 设在平板内一点P与平板中点的距离为x, 则P点的电场为:E=σx/εo

裕安区19679311967： 厚度为d的无限大平板,已知体电荷,求场强 - ？
濯狐晶安： 由高斯定理可得 平板外的电场: 2ES=(1/εo)σSd 所以:E=σd/(2εo) 平板内的电场: 设在平板内一点P与平板中点的距离为x, 则P点的电场为:E=σx/εo

裕安区19679311967： 电场力怎么求 - ？
濯狐晶安： 电场力是电学中的一个重要物理量,高中阶段一定要熟练掌握. 电场力的基本求解方法是结合点电荷的电量q与所在位置的电场强度E来求,公式为F=qE. 两个点电荷之间的电场力可以根据库仑定律求出,公式为F=KQ1Q2/r^2. 一般的问题中也可以结合带电体的运动状态与受力情况,根据力的平衡条件、牛顿运动定律、功能关系等规律求解.

裕安区19679311967： 大学物理有导体存在时静电场的分析与计算(金属板问题),请详细解释,越详细越好 - ？
濯狐晶安： 第一个式子,由于板一所带电荷为Q,所以板一两个面的面电荷数之和应该为Q. 第二个式子,板二原本不带电,所以两个面的面电荷数之和应该为0,电荷守恒. 之后,取图中怠罚糙核孬姑茬太长咖矩形实线那个闭合的高斯面,由于高斯定律,高斯面上总的电通量等于高斯面内电荷代数和除以真空磁导率.可得2和3面的电荷面密度之和为零.此外,在两个板内部任取一点P,可以得到P点的场强为四个面在P点场强的叠加,等于零.四式联立,可得各个面的电荷分布.

裕安区19679311967： 有关电场和磁场的公式总结 - ？
濯狐晶安：[答案] 十、电场 1.两种电荷、电荷守恒定律、元电荷:(e=1.60*10-19C);带电体电荷量等于元电荷的整数倍 2.库仑定律:F=kQ1Q2/r2(在真空中){F:点电荷间的作用力(N),k:静电力常量k=9.0*109N•m2/C2,Q1、Q2:两点电荷的电量(C),r:两...