一道大学数列极限题目，高手进

大一高数 数列极限题一道 请教高手~

证明：∵limUn=a
∴对任意§＞0，存在N。＞0，当n＞N。时，|Un-a|＜§
∴对上述§＞0，存在N=N。，当n＞N时，||Un|-|a||≤|Un-a|＜§
∴lim|Un|=|a|
举例：如Xn=（-1）^n(n-1)/(n+1) 则|Xn|=(n-1)/(n+1)
∴lim|Un|=1,而数列limUn不存在

无限个同阶无穷小的和，不是零。
极限的四则运算说的是有限个表达式，不是无限个表达式。
你得出的结论是错误的，和原题答案没有矛盾。
做题运用法则的时候，切忌只记形式，不记精髓

这其实是比较巧妙地把级数拆成了两个级数.
分母利用自然数平方和公式,可以得到k(k+1)(2k+1)/6,倒数就是6/k(k+1)(2k+1).
看到这里,高中学数列应该培养出一种意识就是裂项,把一个分数拆成若干个分数之差的形式来求和.例如1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)之类的.但注意,这道题如果拆成A/k+B/(k+1)+C/(2k+1),其中A,B,C是待定系数,是做不了的,因为调和级数都发散,不可能用3个发散的级数来相加求和.
所以怎麼办?想到p级数当p>1时收敛,也就是说当分母的次数大於等於2时收敛,那就想办法把它裂项成分母次数为2不就好了吗?而且为了裂项方便,我们需要把分母变成两个相邻的自然数之积.具体思路有了,裂项过程我就不写,最後的结果是:
6/k(k+1)(2k+1)=12*[1/2k(2k+1)-1/(2k+1)(2k+2)]
分别计算两个级数的值.
1/2k(2k+1)=1/2k-1/(2k+1),於是当k从1加到∞时,得1/2-1/3+1/4-1/5+...=1-1+1/2-1/3+1/4-1/5+...=1-(1-1/2+1/3-1/4+1/5-...)=1-ln2
1/(2k+1)(2k+2)=1/(2k+1)-1/(2k+2),於是当k从1加到∞时,得1/3-1/4+1/5-1/6+...=-1+1/2+1-1/2+1/3-1/4+...=-1/2+ln2
所以原式=12*(1-ln2+1/2-ln2)=18-24ln2

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石景山区13085053911： 大一高数 数列极限题一道 若数列Un的极限是a,证明数列|Un|的极限是|a|,并举例说明,数列|Un|收敛时,数列Un未必收敛. - ？
柏洋全达：[答案] 证明:∵limUn=a ∴对任意§>0,存在N.>0,当n>N.时,|Un-a|<§ ∴对上述§>0,存在N=N.,当n>N时,||Un|-|a||≤|Un-a|<§ ∴lim|Un|=|a| 举例:如Xn=(-1)^n(n-1)/(n+1) 则|Xn|=(n-1)/(n+1) ∴lim|Un|=1,而数列limUn不存在

石景山区13085053911： 大学数学求极限,是高手的就进来看看!求当n趋于无穷时[ntan(1/n)]^(n^2)的极限. - ？
柏洋全达：[答案] log{[ntan(1/n)]^(n^2)} =n^2*log[ntan(1/n)] =n^2*log[n*(1/n+1/n^3/3)] (等价无穷小) =n^2*log[1+1/n^2/3] =n^2*1/n^2/3 =1/3 所以lim log...=1/3 lim... = e^(1/3)

石景山区13085053911： 急!数学高手进!求助一道极限题!求极限:lim(x趋向于∞){[a1^(1/x)+a2^(1/x)+……+an^(1/x)]/n}^(nx)(其中a1,a2,……,an>0)怎么做? - ？
柏洋全达：[答案] 你把它写成e的ln(.)次方 括号中间表示你写的那一串 在把nx次方拿下来 再继续算就好算了吧

石景山区13085053911： 数列极限题一道,求(1+2/n)^n 的极限 - ？
柏洋全达：[答案] 是求n→正无穷的极限吧 [1+(2/n)]^n={[1+(2/n)]^(n/2)}² [1+(2/n)]^(n/2)的极限为e 于是[1+(2/n)]^n的极限为e²

石景山区13085053911： 一道高数数列极限题设a>0,x1=a^(1/2),x2=(a+a^(1/2))^(1/2),……,x(n+1)=(a+xn)^(1/2)(n=1,2,……),求极限xn(n趋于无穷)你必须先证明此数列有极限,即证明此... - ？
柏洋全达：[答案] 证明:存在极限 首先,能寻找一个xi,使得xi大于1,否则数列小于1 又显然xi大于a,(否则数列递减,存在极限) 于是xi+a小于2xi 所以x(i+1)小于根号下2xi,即2^(1/2)乘以xi^(1/2) 所以x(i+2)小于根...

石景山区13085053911： 关于大学数学极限~高手来····sos数列Xn的极限时a(a大于0),求证根号下Xn的极限时根a·····我不知道怎么证明根号下Xn存在极限····这个... - ？
柏洋全达：[答案] 任取一个正数ε,取δ=ε√a 则可得 |xn-a|=|√x+√a||√x-√a|>√a|√x-√a| 则,当存在一个正整数N,使得n>N时,|xn-a|

石景山区13085053911： 一道数列极限的证明题,lima(n+1)/an=a,证明liman^(1/n)=a,其中数列每一项均大于0,n - >无穷大 - ？
柏洋全达：[答案] 应该是limA(n+1)/An = c吧. 构造B1=A1,B2=A2/A1,...,Bn = An/A(n-1). 所以: Bn -> c,logBn -> logc. 要用一个结论就是如果limAn存在,则limAn = lim (A1+A2+A3+...+An)/n 对数列logBn利用本结论,有: logc = lim 1/n*log An = lim log An^1/n. 这个结论...

石景山区13085053911： 大一高数 数列极限题一道 请教高手 - ？
柏洋全达： 证明:∵limUn=a∴对任意§>0,存在N.>0,当n>N.时,|Un-a| ∴对上述§>0,存在N=N.,当n>N时,||Un|-|a||≤|Un-a| ∴lim|Un|=|a| 举例:如Xn=(-1)^n(n-1)/(n+1) 则|Xn|=(n-1)/(n+1) ∴lim|Un|=1,而数列limUn不存在

石景山区13085053911： 一道高数数列极限证明题 - ？
柏洋全达： lim(n→∞)x(n) = a <==> 对任一 ε>0,存在 N∈Z+,当n>N时,有 |x(n)-a| <ε <==> 对任一 ε>0,存在 N∈Z+,当n>N时,有 x(n) ∈ (a-ε, a+ε) <==> 对任一 ε>0,存在 N∈Z+,至多只有 n = 1, 2, …, N 不满足 x(n) ∈ (a-ε, a+ε) <==> 对任一 ε>0,区间 (a-ε, a+ε) 外最多只有有限多项 x(n).

石景山区13085053911： 数列极限的一道简单证明题数列{a(2n)},{a(2n - 1)}的极限都为a,求证:{an}的极限也为a.证明:对于任意的ε>0,存在正整数N1,当n>N1时,|a(2n) - a|<ε 对于... - ？
柏洋全达：[答案] 是少了 为了不弄混淆字符 假设有一个数列a(m) 如果令m=2n,a(m)就是a(2n) 如果令m=2n-1,a(m)就是a(2n-1) 原证是: 对于任意的ε>0,存在正整数N1,当n>N1时,|a(2n)-a|<ε 对于上面给出的ε>0,存在正整数N2,当n>N2时,|a(2n-1)-a|<ε 改一下下...