关于无穷小的比较问题?
两个数都是无穷小,可以比较相对大小。这部分的内容一般与求极限相联系。
因为lim(x-->0)(x+x^4)/x=1。
所以当x-->0时,x+x^4是关于x的1阶无穷小。
1/2阶无穷小,其实就是看最小的一项是几次它就是x的几阶无穷小。
相关性质:
有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。
无穷小的比较是两个数都是无穷小,可以比较相对大小。无穷小量是数学分析中的一个概念,在经典的微积分或数学分析中,无穷小量通常以函数,序列等形式出现,无穷小量即以数0为极限的变量,无限接近于0。
确切地说,当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时,函数值fx与0无限接近,即fx,0或fx等于0,则称fx为当x,x0或x,∞时的无穷小量,特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷小的性质
无穷小量不是一个数,它是一个变量,零可以作为无穷小量的唯一一个常量,无穷小量与自变量的趋势相关,若函数在某的空心邻域内有界,则称g为当时的有界量。
有限个无穷小量之和仍是无穷小量,有限个无穷小量之积仍是无穷小量,有界函数与无穷小量之积为无穷小量,特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量,恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。
对于这类题,一般的解题思路是:先利用高阶、同阶和等价无穷小等定义将问题转化为极限计算问题或和某个幂函数的等价问题。下面老梁为大家详细介绍无穷小阶的比较问题的解决方法和策略,希望同学们认真体会并掌握。
1. 无穷小比较定义
2. 无穷小比较策略与方法
(1)定义法:利用上述定义将问题转化为(带有参数)的极限为,然后利用相关极限计算方法进行求解;
(2)和幂函数比较法:通过无穷小等价替换,泰勒公式等运算将每个无穷小都等价于某个幂函数,然后通过这些幂函数阶的高低进行比较。
下面通过例题来具体介绍。
3. 示例
【例1】(2011数二、三)
【解法一】定义法,利用无穷小等价的定义转化为极限计算。
【解法二】直接和幂函数比较,利用泰勒公式,
【解法三】和幂函数比较,利用拆凑法,
【评注1】解法一和解法三中用到了下述无穷小等价公式:
【解法四】除了上面常规方法外,对于选择题,还可以采用排除法。
【评注2】技巧提示:在考研题中,有些极限的客观题,不需进行复杂计算,只需利用极限性质(如保号性)和函数性质(如奇偶性,单调性)就可以选出答案。本例的解法四就是把极限计算转化为求导计算,利用无穷小性质和极限的保号性(函数单调性)排除掉错误选项,这种解法真的有点出人意料!
【例2】(2001数二)
【解】转化为等价幂函数,利用等价无穷小,
【例3】(2006数二、四)
【解法一】定义法,利用洛必达法则
利用洛必达法则继续计算极限,
继续计算,
【评注3】用洛必达法则计算比较繁琐,泰勒公式法是一个比较有效的方法。
【解法二】由泰勒公式,
【评注4】在极限计算中,大多数情况下,泰勒公式法比洛必达法则更有效率,因此同学们必须熟记8个泰勒公式。
【解法三】仍然采用泰勒公式法。但先将极限式变形为:
【评注5】技巧提示:在利用洛必达或泰勒公式之前对原式恒等变形,使其更容易利用相关极端方法,本例经过变形后,同样是利用泰勒公式,但计算量明显小得多。大多数同学想不到吧。
通过老梁的介绍,同学们掌握无穷小阶的比较方法了吗?为帮助大家尽快熟悉这类问题的解法,老梁特意准备了几道习题附在后面,希望大家对照练习。
【习题1】
【习题2】
求解这类问题,大家还有什么方法和技巧?欢迎与老梁一起交流,探讨!
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无穷小的阶数怎么比较?
一、x-->0,x是一阶无穷小,x^2是二阶无穷小,则x^3是三阶无穷小。无穷小量,是极限为零的量,即若x→0时,limf(X)=0,则称f(X)是当x→0时的无穷小量,简称无穷小。同阶无穷小量,其主要对于两个无穷小量的比较而言,意思是两种趋近于0的速度相仿。同阶无穷小:如果lim F(x)=0,...
高数问题(无穷小的比较)
((a^x-1)\/x~lna) (e^x)-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1\/n]-1~(1\/n)*x loga(1+x)~x\/lna (1+x)^a-1~ax(a≠0) 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换, 在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换)
高等数学 无穷小的比较
本题考察①同阶无穷小的定义:如果lim F(x)=0,lim G(x)=0,且lim F(x)\/G(x)=c,c为常数并且c≠0,则称F(x)和 G(x)是同阶无穷小。②常用的极限等价无穷小代换,当x趋向于0时,ln(1+x)~x; 1-cosx~x²\/2 注:该题中x的n次方*cosx 用到了有界函数的性质,无穷小*有界...
无穷小的比较是怎么样的?
无穷小的比较是两个数都是无穷小,可以比较相对大小。无穷小量是数学分析中的一个概念,在经典的微积分或数学分析中,无穷小量通常以函数,序列等形式出现,无穷小量即以数0为极限的变量,无限接近于0。确切地说,当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时,函数值fx与0无限接近,即fx,0或fx等于...
高数无穷小比较问题
首先当x趋于0,由等价无穷小的性质有:1-cos²x~x²\/2 但是lim 1-(cosx)^4=lim(1+cos²x)(1-cos²x)=2lim(1-cos²x)=x²这个并非是你认为的x^8\/2,因为1-cos²x~x²\/2这是个整体的,而说不是cosx的幂数变了,你就把cosx看成是x&...
两个无穷小不一定可以比较的原因是什么
解:无穷小都是在某个极限过程下趋于0的数列或函数,但并不是每个无穷小趋于0的速度都一样的,所以将“归零速度”不同的无穷小称之为不同阶的无穷小。类比成速度的话也许有人会想到把函数求导再比较导数大小,想法很好,但是现在不急着用,不信可以比一下x->0时的x与x^2……如果没比出来也不...
无穷小的比较问题,如图,要思考过程
√a×1\/(2a)是非零常数,对无穷小的阶数没有影响。再看分子,分子中剩下x³,这是x的几阶无穷小呢?显然是,3阶。所以,k=3
无穷小的比较
第一步用的是牛顿二项式展开:(1+x)^a=1+a\/1!*x+a(a-1)\/2!*x^2+a(a-1)(a-2)\/3!*x^3+...
大一数学“无穷小的比较”小问题
如果limb\/a=0,就说b是比a高阶的无穷小,记作b=o(a)这个就是高阶无穷小的定义了。比如b=1\/x^2, a=1\/x。x->无穷时,通俗的说,b时刻都比a更快地趋于0,所以称做是b高阶。假如有c=1\/x^10,那么c比a b都要高阶,因为c更快地趋于0了。如果limb\/a^n=常数,就说b是a的n阶的...
高数无穷小比较求解
你是问左边到右边是怎么来的还是接下去应该怎么做?左边到右边是用了洛必达法则,对分式上下同时求导即得,接下去可以用洛必达法则,也可以用等价无穷校附图为用等价无穷小解答:
江乐硬脂:[答案] 两个数都是无穷小,可以比较相对大小.这部分的内容一般与求极限相联系.
沙河市17290252015: 关于无穷小的比较 1、 当x趋于1时,(1 - x^3)^2是1 - x 的几阶无穷小?2 x趋于0时,求 lim [(根号下(1+x+x^2)) - 1] /sin2x - ?
江乐硬脂:[答案] 1.(1-x^3)^2=(1-x)^2(1+x+x^2)^2 是1-x的二阶无穷小.2.lim [(√(1+x+x^2))-1]/sin2x=lim{(1+2x)/[2√(1+x+x^2)]/2cos(2x)} 洛必达法则=lim(1+2x)/[4lim√(1+x+x^2)lim(cos(2x)]=1/4
沙河市17290252015: 一个高数题 关于无穷小比较的当x - >0时,2x - x^2与x^2 - x^3相比,哪一个是高阶无穷小?试证明 - ?
江乐硬脂:[答案] lim(x->0)(2x-x²)/(x²-x³) =lim(x->0)(2-x)/(x-x²) 这个趋于无穷 所以x²-x³是高阶无穷小
沙河市17290252015: 无穷小比较【如果lim b/a=0,b是比a高阶的无穷小;如果lim b/a=常数,b是a的同阶无穷小,特殊地,如果这个常数是1,a和b是等价无穷小;如果lim b/a=0,b是... - ?
江乐硬脂:[答案] 呃,同阶无穷小是一个等价关系,即给定一个无穷小量,就确定了一个等价类,包含与这个无穷小同阶的所有无穷小量.那假设 a,b 为同阶无穷小,a 是 c 的高阶无穷小,那就能确定 b 肯定也是 c 的高阶无穷小. 等价无穷小只是一个特殊情况而已,假...
沙河市17290252015: 无穷小的比较ln(1+t)和t是一对等价无穷小吗?为什么 - ?
江乐硬脂:[答案] 是的 当t趋于0的时候 ln1趋于0 还有就是 同济第六版高数书上p120 哪里有个近似公式 f(x)==f(0)+f(0)导*x 所以 ln(1+t)==ln1+t/(1+0)=0+t=t 所以是等价无穷小 其中 ==表示约等于 或者求一下 lim ln(1+t)/ t (t→0)的极限 发现是0/0型 这时候利用洛必达法则 ...
沙河市17290252015: 两个无穷小之间的比较. - ?
江乐硬脂: lim(x→0)[(x^2-x^3)/(3x+x^2)] =lim(x→0)[(x-x^2)/(3+x)] =0 所以,x^2-x^3是高阶无穷小.
沙河市17290252015: 高等数学无穷小的比较M>N>0,当X趋近于0时,证明:o(Xˆm)+o(Xˆn)=o(Xβ)其中,β=min{m、n} - ?
江乐硬脂:[答案] m大于n,还定义一个β干什么呢? O(xˆm)+O(x^n)=O(x^n) 因为:[O(xˆm)+O(x^n)]/x^n=O(xˆm)/x^m*x^(m-n)+O(x^n)/x^n→0*0+0=0(x→0)
沙河市17290252015: 无穷小的比较当x→0时,e∧x - (ax∧2+bx+1)是比x∧2高阶的无穷小,求a,b的值. - ?
江乐硬脂:[答案] 当x~0 时,e^x-(ax^2+bx+1) 是比 x^2高阶的无穷小, lim[e^x-(ax^2+bx+1) ]/x^2=0 =lim(e^x-2ax-b)/2x (1-0-b=0,即b=1) =lim(e^x-2a)/2=0 e^0-2a=0 1-2a=0 a=1/2
沙河市17290252015: 高数无穷小比较求解 - ?
江乐硬脂: 你是问左边到右边是怎么来的还是接下去应该怎么做?左边到右边是用了洛必达法则,对分式上下同时求导即得,接下去可以用洛必达法则,也可以用等价无穷小.附图为用等价无穷小解答:
沙河市17290252015: 无穷小的比较 - ?
江乐硬脂: 能!比较结果有高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 还有等价无穷小~