关于无穷小的比较问题？

无穷小的比较是什么？~

两个数都是无穷小，可以比较相对大小。这部分的内容一般与求极限相联系。
因为lim(x-->0)(x+x^4)/x=1。
所以当x-->0时，x+x^4是关于x的1阶无穷小。
1/2阶无穷小，其实就是看最小的一项是几次它就是x的几阶无穷小。
相关性质：
有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷小的性质
无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g为当时的有界量。
有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷小量的阶的比较是考研数学频率较高的考点之一，该题型不但以客观题（选择题和填空题）的形式出现，还常以解答题的形式出现，并且常常和带有参数的极限问题结合在一起考查。除此之外，还以未定式极限的计算，正项级数和反常积分的敛散性判断等方面来考察该知识点。
对于这类题，一般的解题思路是：先利用高阶、同阶和等价无穷小等定义将问题转化为极限计算问题或和某个幂函数的等价问题。下面老梁为大家详细介绍无穷小阶的比较问题的解决方法和策略，希望同学们认真体会并掌握。
1. 无穷小比较定义
2. 无穷小比较策略与方法
（1）定义法：利用上述定义将问题转化为（带有参数）的极限为，然后利用相关极限计算方法进行求解；
（2）和幂函数比较法：通过无穷小等价替换，泰勒公式等运算将每个无穷小都等价于某个幂函数，然后通过这些幂函数阶的高低进行比较。
下面通过例题来具体介绍。
3. 示例
【例1】（2011数二、三）
【解法一】定义法，利用无穷小等价的定义转化为极限计算。
【解法二】直接和幂函数比较，利用泰勒公式，
【解法三】和幂函数比较，利用拆凑法，
【评注1】解法一和解法三中用到了下述无穷小等价公式：
【解法四】除了上面常规方法外，对于选择题，还可以采用排除法。
【评注2】技巧提示：在考研题中，有些极限的客观题，不需进行复杂计算，只需利用极限性质（如保号性）和函数性质（如奇偶性，单调性）就可以选出答案。本例的解法四就是把极限计算转化为求导计算，利用无穷小性质和极限的保号性（函数单调性）排除掉错误选项，这种解法真的有点出人意料！
【例2】（2001数二）
【解】转化为等价幂函数，利用等价无穷小，
【例3】（2006数二、四）
【解法一】定义法，利用洛必达法则
利用洛必达法则继续计算极限，
继续计算，
【评注3】用洛必达法则计算比较繁琐，泰勒公式法是一个比较有效的方法。
【解法二】由泰勒公式，
【评注4】在极限计算中，大多数情况下，泰勒公式法比洛必达法则更有效率，因此同学们必须熟记8个泰勒公式。
【解法三】仍然采用泰勒公式法。但先将极限式变形为：
【评注5】技巧提示：在利用洛必达或泰勒公式之前对原式恒等变形，使其更容易利用相关极端方法，本例经过变形后，同样是利用泰勒公式，但计算量明显小得多。大多数同学想不到吧。
通过老梁的介绍，同学们掌握无穷小阶的比较方法了吗？为帮助大家尽快熟悉这类问题的解法，老梁特意准备了几道习题附在后面，希望大家对照练习。
【习题1】
【习题2】
求解这类问题，大家还有什么方法和技巧？欢迎与老梁一起交流，探讨！
归纳题型 总结方法
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沙河市17290252015： 无穷小量的比较是指什么? - ？
江乐硬脂：[答案] 两个数都是无穷小,可以比较相对大小.这部分的内容一般与求极限相联系.

沙河市17290252015： 关于无穷小的比较 1、 当x趋于1时,(1 - x^3)^2是1 - x 的几阶无穷小?2 x趋于0时,求 lim [(根号下(1+x+x^2)) - 1] /sin2x - ？
江乐硬脂：[答案] 1.(1-x^3)^2=(1-x)^2(1+x+x^2)^2 是1-x的二阶无穷小.2.lim [(√(1+x+x^2))-1]/sin2x=lim{(1+2x)/[2√(1+x+x^2)]/2cos(2x)} 洛必达法则=lim(1+2x)/[4lim√(1+x+x^2)lim(cos(2x)]=1/4

沙河市17290252015： 一个高数题 关于无穷小比较的当x - >0时,2x - x^2与x^2 - x^3相比,哪一个是高阶无穷小?试证明 - ？
江乐硬脂：[答案] lim(x->0)(2x-x²)/(x²-x³) =lim(x->0)(2-x)/(x-x²) 这个趋于无穷 所以x²-x³是高阶无穷小

沙河市17290252015： 无穷小比较【如果lim b/a=0,b是比a高阶的无穷小;如果lim b/a=常数,b是a的同阶无穷小,特殊地,如果这个常数是1,a和b是等价无穷小;如果lim b/a=0,b是... - ？
江乐硬脂：[答案] 呃,同阶无穷小是一个等价关系,即给定一个无穷小量,就确定了一个等价类,包含与这个无穷小同阶的所有无穷小量.那假设 a,b 为同阶无穷小,a 是 c 的高阶无穷小,那就能确定 b 肯定也是 c 的高阶无穷小. 等价无穷小只是一个特殊情况而已,假...

沙河市17290252015： 无穷小的比较ln(1+t)和t是一对等价无穷小吗?为什么 - ？
江乐硬脂：[答案] 是的 当t趋于0的时候 ln1趋于0 还有就是 同济第六版高数书上p120 哪里有个近似公式 f(x)==f(0)+f(0)导*x 所以 ln(1+t)==ln1+t/(1+0)=0+t=t 所以是等价无穷小 其中 ==表示约等于 或者求一下 lim ln(1+t)/ t (t→0)的极限 发现是0/0型 这时候利用洛必达法则 ...

沙河市17290252015： 两个无穷小之间的比较. - ？
江乐硬脂： lim(x→0)[(x^2-x^3)/(3x+x^2)] =lim(x→0)[(x-x^2)/(3+x)] =0 所以,x^2-x^3是高阶无穷小.

沙河市17290252015： 高等数学无穷小的比较M>N>0,当X趋近于0时,证明:o(Xˆm)+o(Xˆn)=o(Xβ)其中,β=min{m、n} - ？
江乐硬脂：[答案] m大于n,还定义一个β干什么呢? O(xˆm)+O(x^n)=O(x^n) 因为:[O(xˆm)+O(x^n)]/x^n=O(xˆm)/x^m*x^(m-n)+O(x^n)/x^n→0*0+0=0(x→0)

沙河市17290252015： 无穷小的比较当x→0时,e∧x - (ax∧2+bx+1)是比x∧2高阶的无穷小,求a,b的值. - ？
江乐硬脂：[答案] 当x~0 时,e^x-(ax^2+bx+1) 是比 x^2高阶的无穷小, lim[e^x-(ax^2+bx+1) ]/x^2=0 =lim(e^x-2ax-b)/2x (1-0-b=0,即b=1) =lim(e^x-2a)/2=0 e^0-2a=0 1-2a=0 a=1/2

沙河市17290252015： 高数无穷小比较求解 - ？
江乐硬脂： 你是问左边到右边是怎么来的还是接下去应该怎么做?左边到右边是用了洛必达法则,对分式上下同时求导即得,接下去可以用洛必达法则,也可以用等价无穷小.附图为用等价无穷小解答:

沙河市17290252015： 无穷小的比较 - ？
江乐硬脂： 能!比较结果有高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 还有等价无穷小~