棣莫弗定理的简介
设n个复数则: 如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式(参见《泰勒公式》,严格的证明需要复分析)放在一起看,则可以用来理解欧拉公式的意义。利用棣莫弗定理有:如果可以把所有的复数改写成指数的形式,即则这和指数的可加性一致.
棣莫弗定理
设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:
Z1Z2=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.
证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.
因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2【(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)】
=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.
其实该定理可以推广为一般形式:
棣莫弗定理 -
棣莫弗定理的推广
设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……,Zn=rn(cosθn+isinθn),
则:
Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.
证:用初等数学的知识已经不好来证明这个定理推广,需要运用欧拉公式“e^iθ=cosθ+isinθ”(详见我的词条《泰勒公式》)给予证明.把所有的复数改写成幂指数的形式,即:Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……,Zn=rne^iθn,
所以有:
Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn).再把这个指数形式改写成三角形式就可得到:
Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.
棣莫弗,A.(De Moivre,Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦;1754年11月27日卒于英国伦敦.数学. 棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家,其父一生勤俭,以行医所得勉强维持家人温饱.棣莫弗自幼接受父亲的教育,稍大后进入当地一所天主教学校念书,这所学校宗教气氛不浓,学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习,这对他的性格产生了重大影响.随后,他离开农村,进入色拉的一所清教徒学院继续求学,这里却戒律森严,令人窒息,学校要求学生宣誓效忠教会,棣莫弗拒绝服从,于是受到了严厉制裁,被罚背诵各种宗教教义.那时,学校不重视数学教育,但棣莫弗常常偷偷地学习数学.在早期所学的数学著作中,他最感兴趣的是C.惠更斯(Huygens)关于赌博的著作,特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》(Deratiociniis in ludo aleae)一书,启发了他的灵感. 1685年,棣莫弗与许多信仰新教的教友一道,参加了震惊欧洲的宗教骚乱,在这场骚乱中,他与许多人一起被监禁起来.正是在这一年,保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销.随后,包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国.据教会的材料记载,棣莫弗一直被监禁至1688年才获释,并于当年移居伦敦.但据20世纪60年代发现的一份当时的材料,1686年时棣莫弗已经到了英国.随后,棣莫弗一直生活在英国,他对数学的所有贡献全是在英国做出的.
抵达伦敦后,棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作,于是如饥似渴地学习.一个偶然的机会,他读到I.牛顿(Newton)刚刚出版的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy),深深地被这部著作吸引了.后来,他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的:他靠做家庭教师糊口,必须给许多家庭的孩子上课,因此时间很紧,于是就将这部巨著拆开,当他教完一家的孩子后去另一家的路上,赶紧阅读几页,不久便把这部书学完了.这样,棣莫弗很快就有了充实的学术基础,并开始进行学术研究. 1692年,棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E.哈雷(Halley),哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英国皇家学会上宣读,引起了学术界的注意.1697年,由于哈雷的努力,棣莫弗当选为英国皇家学会会员.
棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重.哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》(The doctrine of chances)呈送牛顿,牛顿对棣莫弗十分欣赏.据说,后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时,他就说:“这样的问题应该去找棣莫弗,他对这些问题的研究比我深入得多”.1710年,棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会,可见他很受学术界的尊重.1735年,棣莫弗被选为柏林科学院院士.1754年,又被法国的巴黎科学院接纳为会员.
棣莫弗终生未婚.尽管他在学术研究方面颇有成就,但却贫困潦倒.自到英国伦敦直至晚年,他一直做数学方面的家庭教师.他不时撰写文章,还参与研究确定保险年金的实际问题,但获得的收入却极其微薄,只能勉强糊口.他经常抱怨说,周而复始从一家到另一家给孩子们讲课,单调乏味地奔波于雇主之间,纯粹是浪费时间.为此,他曾做了许多努力,试图改变自己的处境,但无济于事.
隶莫弗拉普拉斯定理如何使用?
莫弗拉普拉斯定理(Moivre's Theorem)是复数分析中的一个重要定理,它描述了复数的幂与三角函数之间的关系。这个定理在电气工程、信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。下面将详细介绍莫弗拉普拉斯定理的使用方法。首先,我们需要了解莫弗拉普拉斯定理的数学表达式。对于任意复数z和正整数n,莫弗拉普拉斯定理...
已知|z|=1,求|z^2+z+4|的最小值
因为|z|=1,设z=cos θ + i * sin θ (0≤θ<2π),由隶莫弗定理,z^2=cos 2θ + i * sin 2θ。设t=|z^2+z+4|,则t=|cos 2θ + i * sin 2θ+cos θ + i * sin θ+4| =|(4+cos 2θ+cos θ ) + i * (sin 2θ + sin θ)| t^2=(4+cos 2θ+cos ...
复数相关的问题?
两者相除,商的模为两者模的商,商的辐角为两者辐角的差,即:Z=(1+i)\/(1-i)=Z₁\/Z₂,其模r=r₁\/r₂=1,其辐角θ=θ₁-θ₂=π\/2。即:Z=(1+i)\/(1-i)=i
|z|=1,求|z^2+z+4|的最小值。
解法一:因为|z|=1,设z=cos θ + i * sin θ (0≤θ<2π),由隶莫弗定理,z^2=cos 2θ + i * sin 2θ。设t=|z^2+z+4|,则t=|cos 2θ + i * sin 2θ+cos θ + i * sin θ+4| =|(4+cos 2θ+cos θ ) + i * (sin 2θ + sin θ)| t^2=(4+cos 2...
∑sinkx 和∑coskx 的求和公式的证明
求和公式有如下的结果:证明:方法一:表达式同时乘以并除以 ,有: 方法二:根据欧拉公式,有: 方法三:根据棣 莫弗定理,有: 方法四:使用数学归纳法证明。
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