棣莫弗定理的简介
设n个复数则： 如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。利用棣莫弗定理有：如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即则这和指数的可加性一致.
棣莫弗定理
设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:
Z1Z2=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.
证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.
因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2【(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)】
=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.
其实该定理可以推广为一般形式:
棣莫弗定理 -
棣莫弗定理的推广
设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn),
则：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.
证：用初等数学的知识已经不好来证明这个定理推广，需要运用欧拉公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（详见我的词条《泰勒公式》）给予证明.把所有的复数改写成幂指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,
所以有：
Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn).再把这个指数形式改写成三角形式就可得到：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.
棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham)1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学． 棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱．棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响．随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义．那时，学校不重视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是C．惠更斯（Huygens）关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》（Deratiociniis in ludo aleae）一书，启发了他的灵感． 1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，参加了震惊欧洲的宗教骚乱，在这场骚乱中，他与许多人一起被监禁起来．正是在这一年，保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销．随后，包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记载，棣莫弗一直被监禁至1688年才获释，并于当年移居伦敦．但据20世纪60年代发现的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经到了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全是在英国做出的．
抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到I．牛顿（Newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（Mathematical principles of natural philosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何学习牛顿的这部巨著的：他靠做家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子上课，因此时间很紧，于是就将这部巨著拆开，当他教完一家的孩子后去另一家的路上，赶紧阅读几页，不久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就有了充实的学术基础，并开始进行学术研究． 1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷（Halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（On New-ton’s doctrine of fluxions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．
棣莫弗的天才及成就逐新受到了人们广泛的关注和尊重．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（The doctrine of chances）呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏．据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派参与英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可见他很受学术界的尊重．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院接纳为会员．
棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．
隶莫弗拉普拉斯定理如何使用?
莫弗拉普拉斯定理（Moivre's Theorem）是复数分析中的一个重要定理，它描述了复数的幂与三角函数之间的关系。这个定理在电气工程、信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。下面将详细介绍莫弗拉普拉斯定理的使用方法。首先，我们需要了解莫弗拉普拉斯定理的数学表达式。对于任意复数z和正整数n，莫弗拉普拉斯定理...
已知|z|=1,求|z^2+z+4|的最小值
因为|z|=1，设z=cos θ + i * sin θ （0≤θ<2π），由隶莫弗定理，z^2=cos 2θ + i * sin 2θ。设t=|z^2+z+4|，则t=|cos 2θ + i * sin 2θ+cos θ + i * sin θ+4| =|(4+cos 2θ+cos θ ) + i * (sin 2θ + sin θ)| t^2=(4+cos 2θ+cos ...
复数相关的问题?
两者相除，商的模为两者模的商，商的辐角为两者辐角的差，即：Z=(1+i)\/(1-i)=Z₁\/Z₂，其模r=r₁\/r₂=1，其辐角θ=θ₁-θ₂=π\/2。即：Z=(1+i)\/(1-i)=i
|z|=1,求|z^2+z+4|的最小值。
解法一：因为|z|=1，设z=cos θ + i * sin θ （0≤θ<2π），由隶莫弗定理，z^2=cos 2θ + i * sin 2θ。设t=|z^2+z+4|，则t=|cos 2θ + i * sin 2θ+cos θ + i * sin θ+4| =|(4+cos 2θ+cos θ ) + i * (sin 2θ + sin θ)| t^2=(4+cos 2...
∑sinkx 和∑coskx 的求和公式的证明
求和公式有如下的结果：证明：方法一：表达式同时乘以并除以 ，有： 方法二：根据欧拉公式，有： 方法三：根据棣 莫弗定理，有： 方法四：使用数学归纳法证明。
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