求函数f(x)= arctanx在区间[0,1]上的最小值。

~ 解:
设arctanx=t,
则tant=x,且x→0时,t→0.
∴lim<x→0>[(arctanx)/x]
=lim<t→0>[t/(tant)]
=lim<t→0>[(cost)/((sint)/t)]
=[lim<t→0>(cost)]/[lim<t→0>((sint)/t]
=1/1
=1.

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江干区15111394176： 函数f(x)=arctanx在x=0的幂级数展开式为? - ？
钟发美抒：[答案] 思路是先求导,利用导数的幂级数展开式,然后对导数的展开式进行积分即可 (arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n(x)^(2n) 然后再对上式积分 arctanx=(-1)^n[x+x^3/3+...+x^(2n+1)/(2n+1)+...]

江干区15111394176： 验证函数f(x)=arctanx在闭区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件,并求出ξ的值.要详细的过程 - ？
钟发美抒：[答案] 显然f(x)=arctanx在[0,1]上连续且可导 f'(x)=(arctanx)'=1/(1+x^2) 根据拉格朗日中值定理,存在ξ,0<ξ<1,使得 f'(ξ)=[(f(1)-f(0)]/(1-0) =arctan1-arctan0 =π/4 1/(1+ξ^2)=π/4 ξ=√[(4-π)/π]=0.52...

江干区15111394176： 函数f(x)=arctanx在【 - 1,1】上满足拉格朗日中值定理的点是——.我求出来是正负根,答案却是正根,Why? - ？
钟发美抒：[答案] 我觉得你是对的,答案错了.因为f(x)=arctanx是奇函数,而【-1,1】又是对称区间,所以一定有两解.这可以从拉格朗日中值定理的几何意义上得出:平移过点(-1,F(-1)),(1,F(1))的直线一定会与f(x)=arctanx在【-1,1】上相切于两点.嗯,就这样.呼呼.

江干区15111394176： 极限反三角函数函数F(x)=arctanx,当x趋进与正无穷时(+∞),所得的值是什么?(符号不好打..) 怎么算的阿.. - ？
钟发美抒：[答案] 答案是π/2 因为正切函数在x趋近于π/2时,函数值是无穷大,因此反正切函数在x趋近于正无穷时的极限就是π/2

江干区15111394176： f(x)=arctanx在定义域内是单调收敛的吗?另外一个问题,函数f(x)在负无穷到正无穷定义域内单调有界,那他就是收敛的对吗?还有一个问题,数列单调不一... - ？
钟发美抒：[答案] 1.f(x)=arctanx在定义域内是单调收敛函数 2.f(x)在负无穷到正无穷定义域内单调有界,那他就是收敛(不一定如f(x)=sgn(x)) 3.数列单调不一定收敛(如x(n)=n不收敛),收敛不一定单调(如 x(n)=(-1)^n*1/n))

江干区15111394176： 求f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值? - ？
钟发美抒：[答案] 求高阶导数是泰勒公式,或者幂级数的一个主要应用. 主要是利用表达式的唯一性. 一方面,由定义,f(x)=arctanx 的麦克老林公式中,x^n的系数是:f(n)(0) / n!,f(n)(0)表示在x=0处的n阶导数. 另一方面,f ' (x)=1/(1+x^2)=∑(-1)^n*x^(2n),所以,f(x)=∑(-...

江干区15111394176： 利用间接展开法将函数f(x)=arctanx展开成x的幂函数,并指出其收敛区间 - ？
钟发美抒：[答案] f(x)=arctanx f'(x)=1/(1+x²)=Σ(n从0到+∞)(-1)^n(x²)^n=Σ(n从0到+∞)(-1)^nx^2n |x|

江干区15111394176： 验证函数f(x)=arctanx在区间[0,1]上满足拉格朗日定理的条件,并求出满足定理条件的ξ值,要详细过程 - ？
钟发美抒： f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)上可导,即满足拉格朗日中值定理:存在一个ξ使得:f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)=(f(1)-f(0))/(1-0)=π/4 f'(ξ)=1/(1+ξ^2)=π/4 ∴ξ=(4/π-1)^1/2 希腊字母打得累死了,希望能帮到你!

江干区15111394176： 函数f(x)=arctanx在r上是什么函数的答案 - ？
钟发美抒： 奇函数

江干区15111394176： 函数y=sinx在闭区间π和2π上满足罗尔定理的§= 2、 函数f(x)=arctanX在闭区间0到1上满足拉格朗日定理§=函数f(x)=arctanX在闭区间0到1上满足拉格朗日定理... - ？
钟发美抒：[答案] 1 y=sinx f(π)=f(2π)=0 y'=cosx cos§=0 (π§=3π/2 2 f(x)=arctanx f'(x)=1/(1+x^2) f(1)-f(0)=f'(§)(1-0) π/4-0=1/(1+§^2) §=根号(4/π-1)