方向导数怎么求（计算公式直接代）

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探寻方向导数的奥秘：精准计算实例解析

方向导数，这一概念在多元函数分析中扮演着关键角色，让我们一起深入理解两种常见情况下的求解方法:

二元函数的世界

当面对的是二元函数f(x, y)时，我们关注的是在特定点(a, b)沿着指定方向的方向导数。计算公式如下:

∂f/∂t = lim(h→0) [f(a+hx, b+hy) - f(a, b)] / h

其中，向量(h, 0)代表沿x轴的方向，而(cosθ, sinθ)是方向余弦，它们共同决定了方向导数的方向。

三元函数的新维度

在三维空间中，三元函数f(x, y, z)的方向导数则需考虑三个坐标轴。公式同样适用:

∂f/∂t = lim(h→0) [f(a+hx, b+hy, c+hz) - f(a, b, c)] / h

单位向量(h, k, l)和方向余弦描述了方向，它们为计算提供了必要的工具。

实例演示：解析函数f(x, y) = x^2 + 2y

让我们以具体问题为例，求函数f(x, y)在点(1, 1)沿x轴负方向的方向导数。根据公式：

∂f/∂x = lim(h→0) [(1-h)^2 + 2(1+h)] / h

当沿x轴负方向时，h取负值。现在，我们代入数值计算:

∂f/∂x = lim(h→0) [1 - 2h + h^2 + 2 - 2h] / h

简化后，我们得到:

∂f/∂x = lim(h→0) [3 - 4h + h^2] / h

因为h趋向于0，我们可以忽略h^2项，得到:

∂f/∂x = 3 - 4(0) = 3

因此，函数f(x, y)在点(1, 1)沿x轴负方向的方向导数为3。

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睢阳区13827248654： 方向导数最大值求法 ？
蛮炭扶欣： 方向导数最大值根据公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα,sinα)=|gradf(x,y)|cosθ求.导数也叫导函数值.又名微商,是微积分中的重要基础概念.当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx.

睢阳区13827248654： 函数z=arcsinxy在点(1,13)沿x轴正向的方向导数是122122. - ？
蛮炭扶欣：[答案] ∵z=arcsinxy ∴z′x|(1, 1 3)=( y 1−x2y2)|(1, 1 3)= 1 22,z′y|(1, 1 3)=( x 1−x2y2)|(1, 1 3)= 3 22 而x轴正向的方向余弦为(1,0) ∴z沿x轴正向的方向导数是( 1 22, 3 22)•(1,0)= 1 2首先将函数在点处的各个一阶偏导数求出来,然后将x轴正方向的方...

睢阳区13827248654： 如何在球坐标下求解方向导数?注意是在球坐标(r、θ、ρ)下求解某一方向的方向导数,不是笛卡尔坐标系(X、Y、Z), - ？
蛮炭扶欣：[答案] 你把球坐标转化成直角坐标再算就行了(“把未知的转化成已知的”数学思想啊)x=rsinθcosρ,y=rsinθsinρ,z=rcosθ,再用方向导数的公式,设P(x0,y0,z0),方向l,方向导数=fx'(x0)cosα+fy'(y0)cosβ+fz'(z0)cosγ其中c...

睢阳区13827248654： 高等数学求方向导数题怎么求法 - ？
蛮炭扶欣： 这个得用方向导数的定义来求,αz/αl=lim(t→0+) [f(t,0)-f(0,0)]/t=lim(t→0+) |t|/t=lim(t→0+) t/t=1偏导数:f(x,0)=|x|,在x=0处不可导,所以z对x的偏导数不存在.根据偏导数以及方向导数的定义可知:f(x,y)在(x0,y0)点沿x轴正向也就是向量i=(1,0)方向的方向导数是f(x,y)在(x0,y0)点对x偏导数的右导数(就是求偏导数的那个极限的右极限),沿x轴负向也就是向量-i=(-1,0)方向的方向导数是f(x,y)在(x0,y0)点对x偏导数的左导数的相反数,所以“如果沿x轴正向与负向的方向导数不是互为相反数的关系,则f(x,y)对x的偏导数不存在”

睢阳区13827248654： 左导数和右导数怎么求啊? - ？
蛮炭扶欣： 用定义公式去做,不用求左右导数d,直接求导数: f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0) =lim(x→0)[xsin(1/x)-0]/x =lim(x→0)sin(1/x) 而sin(1/x)在x→0的过程中,在±1之间无限震荡,没有极限 所以f(x)在x=0点不可导. 导数是函数的局部性质.一个函数在...

睢阳区13827248654： 如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系 - ？
蛮炭扶欣： 方向导数的计算公式:∂f/∂n=<▽f(x,y),n>,(*) 其中<>表示内积,即对应分量乘积之和.现在是等值线的法向量n=(∂f/∂x,∂f/∂y)/||(∂f/∂x,∂f/∂y)||=▽f(x,y)/||▽f(x,y)||,(*2) 因此代入(*)知道∂f/∂n=||▽f(x,y)||,故(*2)式就是▽f(x,y)=(∂f/∂n)*n

睢阳区13827248654： 求函数u=x+y+z在球面x^2+y^2+z^2=1上点(x0,y0,z0)处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数 - ？
蛮炭扶欣：[答案] 先求出球面外法线方向的方向矢量(法矢量): f'x=2x,f'y=2y,f'z=2z.得法矢量为(x0,y0,z0)单位化:1/√(x0^2+y0^2+z0^2)(x0,y0,z0)=(x0,y0,z0)[即本身已经是单位向量] 得到法矢量后,直接用公式求方向导数:p=1*x0+1*y0+1*z0=x0+y0+z0.

睢阳区13827248654： 方向导数求解？
蛮炭扶欣： 先求抛物线y^2=4x上点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向方向的切线向量r: y^2=4x, 2ydy=4dx, dy/dx=2/y, 在点(1,2)处的这个切线的斜率=k=dy/dx|(1,2)=2/y|(1,2)=1, 该切线与x轴正向方向的夹角θ=arctg1=π/4, 函数Z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数: 设δ代表偏微分运算中的偏导符号,函数Z=ln(x+y),则 (δz/δr)(1,2)=(δz/δx)conθ+(δz/δy)sinθ =√2[1/(x+y)]/2+√2[1/(x+y)]/2= =√2/(x+y)|(1,2)= =√2/3.

睢阳区13827248654： 高等数学求方向导数题怎么求法求z=(x^2+y^2)^(1/2)在(0,0)处沿(1,0)方向的方向导数,该怎么求啊为什么说在(0,0)处z对x的偏导数不存在,而这个方向导... - ？
蛮炭扶欣：[答案] 这个得用方向导数的定义来求,αz/αl=lim(t→0+) [f(t,0)-f(0,0)]/t=lim(t→0+) |t|/t=lim(t→0+) t/t=1偏导数:f(x,0)=|x|,在x=0处不可导,所以z对x的偏导数不存在.根据偏导数以及方向导数的定义可知:f(x,y)在(x0,y...