急！线性代数题 求解 设含m个方程和n个未知向量的非齐次线性方程组AX=b关于任意一个m维常熟向量b都有解则
【分析】 非齐次线性方程组Ax=b的通解形式 ξ（非齐次线性方程组特解）+k1a1+k2a2+…+knan（齐次线性方程组基础解系） 【解答】 由于矩阵A=（a1，a2，a3，a4）其中a2，a3，a4线性无关 则r（A）=3 齐次线性方程组Ax=0的基础解系解向量的个数为n-r（...
我来试试吧。。
1、解：
（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征
设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx
上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x
∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。
即(A^3)x=(λ^3)x
又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0 ∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0
即三阶方阵A的3个特征值全为0.
（2）这题我觉得不能。
∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.
下面用反证法证明。
假设三阶方阵A能与对角阵相似。
则A存在3个线性无关的特征向量。
则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3
设Ax=0的解集为S，则R(A) R(S)=n=3
∵R(S)=3,∴R(A)=0
即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O
又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾
∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似
2、证明：
设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r
设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组
∵向量组β1，β2，...，βn线性无关 ∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n
又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价
∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n 即n=r
向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr
且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示
即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1 ki2*α2 ... kir*αr
∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量
又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r
∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组
即向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的一个基础解系，命题得证
不懂写的对不对。我也刚学的。错了请指教。。
请采纳。
此题有误: 常数向量b的维数应该是n
答案: A的秩必为列满秩, 即 r(A) = n
详解: AX=b 对任意常数向量b都有解, 则任一n维向量都可由A的列向量组线性表示, 所以A的列向量组是n维向量空间的一个基, 即极大无关组. 所以A的秩必为n.
2. 答案 B
详解: (知识点) r(A) = n, AX=0 有唯一解, 即只有零解. r(A) < n, AX=0 有无穷多解,即有非零解.
A.方程组解的情况与r(A)有关, 但只与A的列数(也就是未知量的个数)有关
B. 这个结论与知识点吻合
C. 基础解系所含向量的个数应该是 n-r
3.齐次线性方程组AX=0只有零解, 说明r(A)=列数n. 此时它没有基础解系. 其解只有一个零向量
4.按题意, 题目中已知条件应该是α1，α2 是非齐次方程组AX=b的两个不同的解向量
此时答案应该是B.
注: 非齐次方程组的两个解的差, 是其导出组的解(知识点)
1 r(A)=R(A,b)<=n
2 选B
A r=m<=n ,零解或无穷多解
B r=n 只有零解
C 若方程组有无穷多解，r<n
D若r=r 则其基础解系恰好有n-r 个向量，有n-r+1个无关的解向量
3.若某个齐次线性方程组只有零解，则
r(A)=n 基础解系响铃的个数为0
4 B k（α1-α2），k为常数
基础解系向量个数：n-(n-1) =1
A*(a1-a2)=(A*a1-A*a2)=b-b=0
a1-a2是AX=0的基础解系，k（α1-α2）是AX=0的通解
1 r(A)=R(A,b)<=n
2 选B
3.若某个齐次线性方程组只有零解，则
r(A)=n 基础解系响铃的个数为0
4 B k（α1-α2），k为常数
基础解系向量个数：n-(n-1) =1
A*(a1-a2)=(A*a1-A*a2)=b-b=0
a1-a2是AX=0的基础解系，k（α1-α2）是AX=0的通解
第二个问题：
设A是M*N阶矩阵，则对于齐次线性方程组AX=0有：
A若r=m则方程组只有零解
B若A的列项组的秩为n则方程组只有零解
C若方程组有无穷多解，r<m
D若r=r 则其基础解系恰好有n-r+1个向量
3.若某个齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组解得情况？
4.设A是n阶矩阵且r（A）=n-1 α1，α2 是AX=0的两个不同的解向量，则AX=0的通解是：
A k（α1+α2），k为常数
B k（α1-α2），k为常数
毕常奥扎： 1 r(A)=R(A,b)<=n2 选B3.若某个齐次线性方程组只有零解,则 r(A)=n 基础解系响铃的个数为04 B k(α1-α2),k为常数 基础解系向量个数:n-(n-1) =1 A*(a1-a2)=(A*a1-A*a2)=b-b=0 a1-a2是AX=0的基础解系,k(α1-α2)是AX=0的通解
平安县15051466896： 线性代数题 设含m个方程和n个未知向量的非齐次线性方程组AX=b关于任意一个m维常熟向量b都有解则第二个问题:设A是M*N阶矩阵,则对于齐次线性方... - ？
毕常奥扎：[答案] 1 r(A)=R(A,b)
平安县15051466896： 线性代数设n元m个方程的齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为n - 1,如果矩阵A的每行元素之和均为零,则线性方程组AX=0的通解是? - ？
毕常奥扎：[答案] 因为矩阵A的每行元素之和均为零,那么[1,1,……1]是其中一个解 又因为矩阵A的秩是n-1,所以只有一个基础解系 那么通解是k[1,1,……1],其中k为任意常数
平安县15051466896： 线性代数:设n元m个方程的齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为n - 1,如果矩阵A的每行的元素之和均为0,则线性方程组AX=0的通解是? - ？
毕常奥扎：[答案] 系数矩阵A的秩为n-1,则AX=0的基础解系有 n-r(A) = 1 个向量. 再由A的每行的元素之和均为0 知 (1,1,...,1)' 是 AX = 0的一个非零解. 所以 AX=0 的通解是 c(1,1,...,1)',c为任意常数.
平安县15051466896： 线性代数:设n元m个方程的齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为n - 1 - ？
毕常奥扎： A的秩为n-1,那么方程组的基础解系是1维的,所以只要找到一个非零解即可.而题目给出每行元素和为0,显然(1,1,……1)就是它的一个解.那么方程组的解为k(1,1,……1).
平安县15051466896： 求证:设n个未知数m个方程的其次线性方程组的系数矩阵的秩为r,齐次线性方程组有非零解的充要条件是r<n? - ？
毕常奥扎： 反设r>=n,则m>=r>=n,因此m个方程系数向量中至少有n个独立向量,方程唯一解或者无解,故只能有零解,原命题得证.
平安县15051466896： 含有m个方程、n个未知量的线性方程组,当m<n时,必有解. - 上学吧普...？
毕常奥扎：[答案] 线性无关解的个数=n-r(A) 解集S的秩Rs也就是解集S的极大无关组所含向量个数,也就是线性无关解的个数,所以 Rs=n-r(A)
平安县15051466896： 齐次方程组AX=O(A为m*n矩阵)只有零解的充分必要条件是? - ？
毕常奥扎：[答案] 首先,方程个数必须大于等于未知数个数,m>=n.否则根据线性代数理论,若mn,则必须r(A)=n,此时m个方程中有n个是独立的,其他m-n个不是独立的.删去那m-n个方程,就是(1)的情况. 总结上面讨论: 齐次方程组AX=O(A为m*n矩阵)只有零解...
