周长一样的正方形和长方形哪个面积大

周长相等的正方形和长方形谁的面积大？为什么~

正方形的大。正方形的面积公式为 边长×边长，长方形的面积公式为 长×宽，长方形和正方形的比较：因为两个数的和为定值,只有两个数相同时他们的积最大，
所以正方形的面积要大于长方形。所以周长相等的这四个，正方形的面积最大。

例如：
正方形面积：3×3=9，周长3×4=12
长方形面积：4×2=8，周长（4+2）×2=12
周长相等，正方形面积大于长方形面积。

周长相同时，平行四边形，长方形，正方形，圆的面积哪个大？

谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？
　　首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
　　好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。
　　有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s有最大值。
　　微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。
　　所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形)
　　也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去“=”，s有最大值 　
　因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。
∴正方形的面积大！
再送你一份礼物，周长一样的三角形哪种三角形面积大
现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？ 　　好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。 　　不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x<L-x，于是有：(0<x<L/2) 物理学中在处理问题时，不是常用控制变量法吗！我们何不使用呢？假设x为一个常量，则L-x 也为常量。且x<L-x 总成立，满足解析几何中椭圆的定义：2a= L-x， 2c=x，且有：2a>2c。可以，以2c=x的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/ 。
所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1 函数图像的直观反映
，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b时，s有最大值。 　　即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形） 　　=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 　　=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<x<L/2) 　　现在，我们得到了一个关于s最大值的函数，或者说以最大值s为自变量的函数S=s(x),可以说我们的目标是，函数最大值的最大值！Smax=max[s(x)max]，剩下的就是微积分的技巧了，对S=s(x)max，求导：S`= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2 令S`=0 有：LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ，则LX= L^2-2Lx 解之得：x=L/3，且有，x=L/3<L/2 满足三角形条件。 　　此时的三角形是一个正三角形！Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36，此模型的思想有点类似变分法，函数的函数（泛函），但还是有本质的差别。 　　也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2 。用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。 　　不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！ 　　要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理： 　　 勾股定理的扩展——余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccosA， 　　则有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc 　　所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2 　　={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 　　又因为，三角形面积公式：
s=(1/2)*bcsinA 　
　=(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 　
　=(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (与角度A并无直接关系) 　
　又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)
　　=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4
　　=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4
　　= b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方)
　　=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4
　　= c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4
　　= c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 （分解因式）
　　= c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2] 　
　= [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式）
　　=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2] 　
　=[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2] 　
　=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c) 　
　=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b) 　
　=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
　　∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2
　　=[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2
　　={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2 　
　在令： p=(a+b+c)/2 　　就得到海伦公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 　
　有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。
　　需要知道的一个不等式：(a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均为正数，当a=b=c时，取“=”) 　　∵ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c；
　　∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27 　　则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2
　　所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2 　　即：s≤(3^1/2 /36) p2，当p-a=p-b=p-c,即，a=b=c时，取“=”s有最大值(3^1/2 /36) L^2
　　（2006全国卷l理科第11题）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：㎝）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是…… （ B ） 　　A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20 　
　分析：首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。现在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后找出这些三角形中面积最大的一个。 　　如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！这个时候就需要你会建立，数学模型了，并且能够转化数学。把离散组合，转化为连续的数学。
　　数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形。无论怎么变化，有一条是不变的：它们的和为20；于是要解决的问题就是：当三角形周长固定时：什么样的三角形面积才是最大的？
　　上面研究过，正三角形的面积最大，并且由
　　S=s(x)max （且此时，该三角形为等腰三角形）
　　=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<x<L/2) 　　的函数图像可知，x在区间[0，L/3]]为增函数，在（L/3，L/2] 为减函数。所以，当三角形周长固定时：越接近正三角形形状的三角形面积越大！20/3≈6.6667，显然这里的5个数是组合不成6.6667的，只能退而求其次了，我们发现（猜出来的）：（2+5）、（3+4）、6的组合是最接近正三角形的，所以它的面积最大。经过简单的计算，就知道结果了：B 6*10^1/2 　　我们在来做一件事，比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积：L^2/16与(3^1/2 /36) L2。为了方便比较，把它们换为小数：0.0625L^2与0.048112522L^2 我们发现四边形（正方形）的面积要大一些！根据这中经验，是否可以数学归纳，提出猜想1：在平面内曲线周长固定时，圆的面积最大！猜想2：在平面内曲线周长固定时，围成的n边形中，正n边形的面积最大！ 　　事实上，第一个猜想是正确的，不过需要变分法来处理。同样需要微积分来研究，不过是高等微积分了。

设长方形的长宽是a，b。正方形边长是c.
那么2(a+b)=4c,
a+b=2c
长方形面积=ab
正方形面积=c^2
均值不等式：√ab
≤
(a+b)/2=2c/2=c
ab≤c^2，当a=b时等号成立，此时也是正方形。
所以正方形面积大。

设长方形的长宽是a，b。正方形边长是c.
那么2(a+b)=4c,
a+b=2c
长方形面积=ab
正方形面积=c^2
均值不等式：√ab
≤
(a+b)/2=2c/2=c
ab≤c^2，当a=b时等号成立，此时也是正方形。
所以正方形面积大。

正方形面积大。 假设周长为a，正方形边长为a/4；长方形长为x，宽=a/2-x；
正方形的面积：(a/4)*(a/4)=a*a/16
长方形的面积：x*(a/2-x)=a*x/2-x*x
因为
a*x/2-x*x-a*a/16=-(x*x-a*X/2+a*a/16)
=-(x-a/4)*(x-a/4)小于等于0
所以
正方形的面积大于长方形

正方形，这种周长一定的问题越是接近园面积越大。

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沾益县19788765550： 一个长方形和一个正方形周长相等,它们的面积谁的大?()A.长方形大B.正方形大C.一样大 - ？
展唯五味：[答案] 假设周长都是16厘米,则正方形的边长:16÷4=4(厘米),面积:4*4=16(平方厘米); 假设长方形的长为2厘米,宽为6厘米,则面积:2*6=12(平方厘米); 长方形的面积<正方形的面积; 故选:B.

沾益县19788765550： 周长相同的正方形和长方形,哪个面积大? - ？
展唯五味：[答案] 正方形的面积大 老师说过 假设周长为8cm 正方形:8÷4=2cm 2*2=4cm² 8÷2=4 则长加宽=4 假设长=1 宽等于3 1*3=3cm² 3cm²<4cm² 还有很多例子可以举

沾益县19788765550： 正方形和长方形的周长相等,,面积谁大? - ？
展唯五味： 由均值不等式 ab≤(a+b)^2/2 当且仅当a=b时,等号成立 可知:当正方形和长方形的周长相等时,面积正方形的大

沾益县19788765550： 周长相等的长方形和正方形哪个面积大 - ？
展唯五味： 解答:设长方形与正方形的周长为L,长方形的边长分别为a,b,正方形边长为c 则:2(a+b)=L,4c=L,解得:a+b=L/4,c=L/4 长方形面积为ab,正方形面积为c^2=L^2/16 因为:L/4=a+b>=2根号下(ab),所以:ab<=L^2/32 所以:正方形面积大于长方形面积

沾益县19788765550： 周长相等的正方形和长方形,二者的面积相比() - ？
展唯五味：[选项] A. 正方形大 B. 长方形大 C. 一样大 D. 不能判断

沾益县19788765550： 一个长方形与一个正方形周长相等,面积谁大? - ？
展唯五味：[答案] 假设正方形边长为a 长方形的两条边长分别为a+b,a-b(b为不为0的实数) 这样两个图形的周长都是4a 他们的面积: 正方形:a^2 长方形:(a+b)(a-b)=a^2-b^2 因为b是不为0的实数,所以它的平方一定大于0 长方形的面积是a^2减去一个大于0的数...

沾益县19788765550： 长方形和正方形的周长相等面积哪个大 - ？
展唯五味： 周长相等,两条边越接近,面积越大,所以正方形面积大

沾益县19788765550： 周长相等的长方形和正方形,正方形面积较大.______.(判断对错) - ？
展唯五味：[答案] 如它们的周长都是24厘米,长方形的长是8厘米,宽是4厘米;正方形的边长是6厘米; 长方形的面积:8*4=32(平方厘米); 正方形的面积:6*6=36(平方厘米); 答:周长相等的正方形和长方形,正方形的面积大. 故答案为:√.

沾益县19788765550： 在相同的周长中,是正方形的面积大还是长方形的面积大 - ？
展唯五味：[答案] 正方形的大: 设两边为a, b, a+b=L/2 ab

沾益县19788765550： 一个正方形和一个长方形的周长相等,______的面积大. - ？
展唯五味：[答案] 假设正方形和长方形的周长相等都是8厘米; 正方形的边长为:8÷4=2(厘米); 正方形的面积为:2*2=4(平方厘米); 长方形的长为3厘米,宽为1厘米; 长方形的面积为:3*1=3(平方厘米); 因为4>3,所以正方形的面积大; 故答案为:正方...