如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O，

（2009?杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC~

解答：解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=12DG=12GF，H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=5a．由此可得，半圆的半径为5a，正方形边长为2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是5a：2a=5：2；②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．连接EB、AE，OI、OJ，∵AC、BC是⊙O的切线，∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；在直角三角形AEB中，∵∠AEB=90°，ED⊥AB，∴△ADE∽△BDE∽△ABE，于是得到ED2=AD?BD，即102=x?y②．解①式和②式，得x+y=21，即半圆的直径AB=21．

解：∵正方形DEFG的面积为100，∴正方形DEFG边长为10．连接EB、AE，OI、OJ，∵AC、BC是⊙O的切线，∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，ED⊥AB，∴△ADE∽△BDE∽△ABE，∴ED2=AD?BD，即102=x?y②．解①、②得x+y=21，即半圆的直径AB=21．故答案为：21．

【不好意思看到题目时太晚了】

请问原题是“如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．

①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是________

②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=_______

吗？

答案：①√5：2 ②21

大致思路：①【如图（1）】

此小题与点C，O完全无关，纯粹是半圆中内接一个正方形 的问题

设半圆圆心P，连接PF，PE，  易知Rt△FPG≌Rt△EPD（HL）

∴PG=PD=½GD=½FG，

设GP=a，FG=2a，  Rt△PFG中，  PG²+FG²=PF²，  则PF=√5 a

故半圆的半径与正方形边长的比=√5a：2a=√5：2

②【如图（2）】

（注意，此题与第①题互相独立，所以F不一定在半圆上）

作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N，  连接OA，OB，EA，EB

易知正方形ONCM中，  ON=NC=CM=OM=4

又 Rt△DBO≌Rt△NBO，   Rt△DAO≌Rt△MAO

∴设BD=BN=x，  AD=AM=y，  则直径AB=x+y，BC=x+4，AC=y+4

∵Rt△ABC中，  运用勾股定理，  (x+y)²=(x+4)²+(y+4)²

化简得   8(x+y)+32=2xy，   AB=x+y=¼xy-4

∵∠AEB=90°，   易知△EAD∽△BED

∴ED/BD=AD/ED，   即xy=ED²=100

∴AB=25-4=21

具体过程：

①【如图（1）】

设半圆圆心P，连接PF，PE，

∵⊙O中，FP=EP

又∵正方形DEFG中

∴∠FGP=∠EDP=90°

∴FG=ED

在Rt△FPG与Rt△EPD中

FP=EP

FG=ED

∴Rt△FPG≌Rt△EPD（HL）

∴PG=PD=½GD=½FG，

设GP=a，FG=2a，

∵Rt△PFG中，∠FGP =90°

∴PF²=PG²+FG²=a²+4a²=5a²

∴PF=√5 a

故半圆的半径与正方形边长的比=√5a：2a=√5：2

②【如图（2）】

作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N，  连接OA，OB，EA，EB

∵⊙P中，AB是直径

∴∠ACB=∠AEB=90°（直径对的圆周角90°）

∵OM⊥AC于M，ON⊥BC于N

∴∠OMC=∠ONC=∠MAN=90°

∴四边形ONCM是矩形

又∵O是△ABC内心

∴OD=DN=OM=4

∴矩形ONCM是正方形

∴NC=CM=OM=4

∵Rt△DBO≌Rt△NBO中

BO=BO

OD=ON

∴Rt△DBO≌Rt△NBO（HL）

∴设BD=BN=x

同理，Rt△DAO≌Rt△MAO

∴设AD=AM=y

∴直径AB=x+y，BC=x+4，AC=y+4

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°

∴AB²=BC²+AC²

(x+y)²=(x+4)²+(y+4)²

化简得   2xy=8(x+y)+32=，

AB=x+y=¼xy-4

∵Rt△AED中，∠ADE=90°

∴∠EAD+∠AED=90°

∵∠BED+∠AED=∠ADE=90°

∴∠EAD=∠BED

在△EAD与△BED中

∠EAD=∠BED

∠EDA=∠BDE

∴△EAD∽△BED

∴ED/BD=AD/ED，   

∴AD•BD=ED²

xy=ED²=S正EDFG=100

∴AB=¼xy-4=25-4=21

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求什么？

求什么- -还是画图？

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库尔勒市18554311447： 如图,AB为半圆的直径,C是半圆弧上一点,正方形DEFG的一边DG在直径AB上,另一边DE过△ABC的内切圆圆心O,且点E在半圆弧上.若正方形DEFG的... - ？
寸竹凯力：[答案] ∵正方形DEFG的面积为100,∴正方形DEFG边长为10.连接EB、AE,OI、OJ,∵AC、BC是⊙O的切线,∴CJ=CI,∠OJC=∠OIC=90°,∵∠ACB=90°,∴四边形OICJ是正方形,且边长是4,设BD=x,AD=y,则BD=BI=x,AD=AJ=y,在Rt...

库尔勒市18554311447： 16.如图,AB为半圆的直径,C是半圆弧上一点,正方形DEFG的一边DG在直径AB上,另一边DE过ΔABC的内切圆圆16.如图,AB为半圆的直径,C是半圆... - ？
寸竹凯力：[答案] 第一个为(根号5):2(这个比较简单,不用说了) 第二个; 设AD=x,BD=y 则xy=100,AC=x+4,BC=y+4 所以 (x+y)²=(x+4)²+(y+4)² 整理得: 8x+8y+32=2xy 8x+8y=200-32 8(x+y)=168 x+y=21 即:AB=21

库尔勒市18554311447： 这道数学题怎么做?如图,AB为半圆的直径,C是半圆弧上一点,正方形DEFG的一边DG在直径AB上,另一边DE过△ABC的内切圆圆心O,且点E在半圆弧... - ？
寸竹凯力：[答案] 1 若点E F 若都在圆上,则圆心到G和到D的距离相等,是对称. 则AB中点P,PQ⊥ AB交弧AB于Q交EF于H 在三角形FHP中 得到FH=a/2,PF=R,PH=a 据此得到半圆的半径与正方形边长的比R:a=√5:2 2:设AD=m,BD=n 四边形OMCN为正方形即边长...

库尔勒市18554311447： 如图AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB.CA交于点F,EF/BF= - ？
寸竹凯力： 解:连接OE,BC,OE与AC交于点M ∵E为弧AC的中点,易证OE⊥AC,且∠C =90°,∠AOE =45° ∴OE ‖BC 设OM=1,则AM=1 ∴AC=BC=2,OA=√2 ∴OE=√2 ∴EM=√2-1 ∵OE‖BC ∴EF/BF=EM/BC=(√2-1)/2

库尔勒市18554311447： 题目: 有一个著名的希波克拉蒂月牙问题.如图:以AB为直径作半圆,C是圆弧上一点,(不与 A、B重合), - ？
寸竹凯力： 以AB为直径作一半圆,取弧AB一点C,分别以AC、CB为直径作半圆,两个半圆与大的半圆的不重合部分即为新月 因为直径所对圆周角为直角,三角形ABC为直角三角形, 由勾股定理AC^2+BC^2=AB^2 S(AC)=(1/2)πAC^2; S(BC)=(1/2)πBC^2...

库尔勒市18554311447： 如图,AB为半圆的直径,C是半圆弧上一点,正方形DEFG的一边DG在直径AB上,另一边DE过ΔABC的内切圆圆心O,且点E在半圆弧上.若正方形DEFG的面积为100,且ΔABC的内切圆半径 =4,则A？
寸竹凯力： 点E F 若都在圆上,则圆心到G和到D的距离相等,是对称得到呀.则大圆心D与DE是1:2的关系.得根5比2.第二问:设AD=m,BD=n 四边形OMCN为正方形即边长均为4. 利用直角三角形(m+n)平方=(m+4)平方+(n+4)平方 ,DE的平方=DA*DB,即 mn=100 利用方程组. 求m+n(即AD+BD)=21.

库尔勒市18554311447： AB是半圆的直径,C是半圆上的一点,D是弧AC的中点,DE垂直于AB于E,求证AM=MN - ？
寸竹凯力： 证明:因为D是弧AC的中点 所以弧AD=弧DC 因为角B=1/2弧AD 角DAC=1/2弧DC 所以角B=角DAC 因为AB是半圆的直径 所以角ADB=角ADE+角BDE=90度 因为DE垂直AB 所以角DEB=90度 因为角DEB+角B+角BDE=180度(三角形内角和等于180度) 所以角DAE=角B 所以角DAM=角MDA 所以AM=DM 因为就BDA=角MDA+角MDN=90度 角DAM+角MND=90度 所以角MDN=角MND 所以DM=MN 所以AM=MN

库尔勒市18554311447： 如图,AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧BC的中点,连结AE、BC交于点F,则EFAF的值为 - __. - ？
寸竹凯力：[答案] 如图,设圆心为O,连接OC,AC,OE交BC于点H,∵点E是弧BC的中点,∴OE⊥BC,∵AB是半圆的直径,∴AC⊥BC∴EH∥AC,∴△ACF∽△EHF,∴EFAF=EHAC,∵点C是弧AB的中点,∴△ABC是等腰直角三角形,设AC=2x,则OE=OB=2x...

库尔勒市18554311447： 如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,D是弧AC的中点,DH⊥AB,H是垂足,AC分别交BD、DH于E、F两点, - ？
寸竹凯力： △DEF是等腰三角形(自己画图哦) 连接AD 因为AB 是半圆O的直径,所以∠ADB=90° 又因为∠DHB=90° 所以∠ADB=∠DHB=90° 又因为D是弧AC的中点 所以∠DBA=∠DAC 所以△DAE∽△BDH 所以∠HDB=∠DEA 所以DF=FE

库尔勒市18554311447： 如图,AB是半圆的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则 =() A. B. C.1﹣ D. - ？
寸竹凯力：[答案] D 连接AE、CE,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点 ∴可设AE=CE=1, 根据平行线的性质得∠ADE=∠E=45°. ∴△ADE是等腰直角三角形, 则AD=,BD=AD=. 所以BE=+1. 再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA, 则EF==﹣1,BF=2. 所以...