圆的性质，四点同圆的充要条件

四点共圆的判定和性质~

证明四点共圆的方法如下：1、对角互补的四边形，四点共圆。2、外角等于内对角的四边形，四点共圆。3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆。4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

   推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

3、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论：3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

4、定理：  圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

5、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

6、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

7、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

8、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

9、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

10、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

11、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

12、圆的外切四边形的两组对边的和相等

四点共圆证明：初中一般用2种方法去推导其他的方法

（1）一边对二直角的四点共圆。 【这条边是直径】

（2）对角互补的四边形共圆。用它证明你说的相交弦定理逆定理。如图：

AE×EC=DE×BE，可得 AE：BE=DE：CE，再加2对对顶角，用（两组对应边成比且夹角相等的三角形相似，可得△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC，这样∠1=∠2，∠3=∠6

∴∠4+∠5+∠2+∠3=∠4+∠5+∠1+∠6=180°（对角互补，四点共圆）

你好：panbo0128
圆的性质 初中没多少，就相交弦定理，割线定理，切割线定理
再就是可推得一个 a/sinA=b/sinB=c*sinC=2R，R为三角形外接圆圆心
好象还有个圆的内接四边形 ABXCD+ADXBC=ACXBD
（这个不能当定理用，但是经常会碰到要证明这个结论）
关于四点共圆
不是书本上的知识点 要用的时候要先证明
一般用的最多的就是，两个直角三角形共斜边
凸四边形有一组对角 都为直角
以上两训情况最常见 也最好证明
（圆的定义，取斜边中点，依次连接各点，即为半径）
用四点共圆的就用这两种， 很直观
割线定理逆定理都 不要用，了解就行，用相似就够了

图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法。在平面几何中，如果用变换的思想方法来处理平面几何的教学内容，很多定理的证明将变得简洁明了，许多习题的传统证明方法也可以简化。几何命题的条件和结论与对应的图形是相互依存的，若注意对图的形变换、拓宽，研究所得的新情况，探索其变化规律，不但有利于学生对所学知识的理解和记忆，而且有利于学生的发散思维能力的培养，提高学生运用知识的能力。

复习是整个教学过程中重要的一环。通过复习可以使教师查缺补漏，可以使学生遗忘的知识得到唤醒与修补，可以帮助学生将分散的、零碎的知识进行系统的整理，加深对所学知识的记忆和理解，培养学生归纳概括的能力。

初三平面几何《圆》这一章，所学的定理比较多，学生学习和记忆都感困难。教师在复习过程中，如何避免简单的定理重复，出现"炒冷饭"现象，又使学生容易记忆掌握这些定理呢？几年来，我尝试用图形变换的方法与定理的复习有机地结合起来，通过穿线结网，使知识系统网络化，帮助学生记忆，收到了较好的效果。下面供大家参考。

如图1，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即弦AB和CD交于⊙O内一点P，则PAoPB=PCoPD。

下面从这个图形开始进行变换。

1、当两条弦变成相交于圆上一点A时，连结OB和OC（如图1a），则有定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；又连结OA和BC（如图1b），则⊙O是ΔABC的外接圆，点O是ΔABC的外心；再将ΔABC的三条边向外平移分别与⊙O相切（如图1c），则⊙O是ΔABC的内切圆，点O是ΔABC的内心。

2、当两条弦变成相交于圆外一点P时（如图2a），则有割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；将其中一条割线绕着点P旋转变成切线，切点为A（如图2b），又得到切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；连结CA和AD（如图2b），则有弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；再将另一条割线变为切线，切点为C（如图2c），又有切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；连结半径OA和OC，则有切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，反过来得切线的判定定理：经过半径圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3、当两条弦变成不相交（即两条弦平行）时（如图3），则有定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、当一条弦变成直径且与另一条弦垂直时（如图4a），则有垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；连结AC和AD（如图4b），则有定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

5、连结AC和BD（如图5a），则有定理：同弧所对的圆周角相等；又连结AD和CB，并延长CB（如图5b），得到定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；再将四边形的各边向外平移，使它们与圆相切，又有定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。

从上面的变换过程，使学生通过认识图形中某些元素位置的不断变化，找出它们之间的内在联系，特殊与一般的关系，从而达到加深认识，巩固记忆的效果。

图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法。在平面几何中，如果用变换的思想方法来处理平面几何的教学内容，很多定理的证明将变得简洁明了，许多习题的传统证明方法也可以简化。几何命题的条件和结论与对应的图形是相互依存的，若注意对图的形变换、拓宽，研究所得的新情况，探索其变化规律，不但有利于学生对所学知识的理解和记忆，而且有利于学生的发散思维能力的培养，提高学生运用知识的能力。

复习是整个教学过程中重要的一环。通过复习可以使教师查缺补漏，可以使学生遗忘的知识得到唤醒与修补，可以帮助学生将分散的、零碎的知识进行系统的整理，加深对所学知识的记忆和理解，培养学生归纳概括的能力。

初三平面几何《圆》这一章，所学的定理比较多，学生学习和记忆都感困难。教师在复习过程中，如何避免简单的定理重复，出现"炒冷饭"现象，又使学生容易记忆掌握这些定理呢？几年来，我尝试用图形变换的方法与定理的复习有机地结合起来，通过穿线结网，使知识系统网络化，帮助学生记忆，收到了较好的效果。下面供大家参考。

如图1，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即弦AB和CD交于⊙O内一点P，则PAoPB=PCoPD。

下面从这个图形开始进行变换。

1、当两条弦变成相交于圆上一点A时，连结OB和OC（如图1a），则有定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；又连结OA和BC（如图1b），则⊙O是ΔABC的外接圆，点O是ΔABC的外心；再将ΔABC的三条边向外平移分别与⊙O相切（如图1c），则⊙O是ΔABC的内切圆，点O是ΔABC的内心。

2、当两条弦变成相交于圆外一点P时（如图2a），则有割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；将其中一条割线绕着点P旋转变成切线，切点为A（如图2b），又得到切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；连结CA和AD（如图2b），则有弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；再将另一条割线变为切线，切点为C（如图2c），又有切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；连结半径OA和OC，则有切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，反过来得切线的判定定理：经过半径圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3、当两条弦变成不相交（即两条弦平行）时（如图3），则有定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、当一条弦变成直径且与另一条弦垂直时（如图4a），则有垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；连结AC和AD（如图4b），则有定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

5、连结AC和BD（如图5a），则有定理：同弧所对的圆周角相等；又连结AD和CB，并延长CB（如图5b），得到定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；再将四边形的各边向外平移，使它们与圆相切，又有定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等。

从上面的变换过程，使学生通过认识图形中某些元素位置的不断变化，找出它们之间的内在联系，特殊与一般的关系，从而达到加深认识，巩固记忆的效果。

1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。2一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半3直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。4切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

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郾城区15234493131： 四点共圆的充要条件是什么 - ？
楚露倍恩： 四点共圆:首先这四个点是在同一平面上,你在平面上只要能找到一个圆,使这个圆通过这四个点,就可以称为这四点共圆.专业点就是:同一平面上的四个点,如果存在一个圆通过这四个点,那么就称四点共圆.你试想,圆上任意两点相连...

郾城区15234493131： 同一平面内四边行的四点共圆的充要条件是什么? - ？
楚露倍恩：[答案] 有很多,对于四边形ABCD,设AC与BD交于点P,CA,DB交于点Q, 则ABCD四点共圆的充要条件为: 1.AP*CP=BP*DP 2.QA*QA=QB*QC 3.角CAD=角CBD 4.角CAB+角CDB=180度 5.AC*BD+AB*CD=AD*BC(托勒密定理) 6.空间中某点到四点等...

郾城区15234493131： 四点共圆的条件是什么啊 - ？
楚露倍恩： 圆的方程用矩阵是|x^2+y^2 x y 1| |x1^2+y1^2 x1 y1 1|=0 |x2^2+y2^2 x2 y2 1| |x3^2+y3^2 x3 y3 1| 所以四点共圆条件是|x1^2+y1^2 x1 y1 1| |x2^2+y2^2 x2 y2 1|=0 |x3^2+y3^2 x3 y3 1| |x4^2+y4^2 x4 y4 1| 可以加点分吗?

郾城区15234493131： 四点共圆,需要满足哪些条件 - ？
楚露倍恩： 对角之和为180度

郾城区15234493131： 几何中四点共圆的条件是什么? - ？
楚露倍恩：[答案] 这个可以有2个情况 第一:选任意两点 做中垂线 其余两点 也做中垂线 两中垂线交点 如果到4点距离相等 那么4点共圆 第二:存在两个直角三角形 4点分别为这2个直角三角形的斜边定点 那么4点共圆

郾城区15234493131： 4点共圆的充要条件是两斜率和为0么为什么 求过程 ？
楚露倍恩： 4点共圆的充要条件是对角两斜率和为0,不是两斜率和为0. 4点共圆的充要条件是对角和为180o cosα cosβ=0 α β=180o,∴4点共圆

郾城区15234493131： 四点共圆的判定条件是什么? - ？
楚露倍恩： 8月4日 15:44 四点共圆:首先这四个点是在同一平面上,你在平面上只要能找到一个圆,使这个圆通过这四个点,就可以称为这四点共圆. 专业点就是:同一平面上的四个点,如果存在一个圆通过这四个点,那么就称四点共圆. 你试想,圆上...

郾城区15234493131： 请问四点共圆需要什么条件以及四点共圆有哪些性质? - ？
楚露倍恩：[答案] 四点共圆的定义:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”证明四点共圆有下述一些基本方法:方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一...

郾城区15234493131： 复平面上四点共圆的充要条件证明:复平面上z1,z2,z3,z4四点共圆的充要条件是:(z3 - z1)/(z4 - z1)=a(z3 - z2)/(z4 - z2) - ？
楚露倍恩：[答案] 设复数z1到z4的末端对应的点为A到D.(z3-z1)/(z4-z1) 的辐角表示的是AD到AC旋转的角度.即(z3-z1)/(z4-z1) 表示辐角为角DAC的一个复数.(逆时针为正,顺时针为负)同理(z3-z2)/(z4-z2) 表示辐角为角DBC的一个复数.它们...

郾城区15234493131： 同一平面内四边行的四点共圆的充要条件是什么? - ？
楚露倍恩： 有很多,对于四边形ABCD,设AC与BD交于点P,CA,DB交于点Q,则ABCD四点共圆的充要条件为:1.AP*CP=BP*DP 2.QA*QA=QB*QC 3.角CAD=角CBD 4.角CAB+角CDB=180度 5.AC*BD+AB*CD=AD*BC(托勒密定理) 6.空间中某点到四点等距