(2015·上海)已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°.将△ABC绕点A旋转，使点B落在
（1）证明：如图1，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，∴∠BEP=∠FPC，∴△BPE∽△CFP．（2）①△BPE∽△CFP．证明：如图2，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，∴∠BEP=∠FPC，∴△BPE∽△CFP．②△BPE∽△PFE．证明：∵△BPE∽△CFP，∴BECP=PEFP．∵BP=CP，∴BEBP=PEFP．∵∠B=∠EPF=30°，∴△BPE∽△PFE．（3）连接AP，过点P作PD⊥AB于D，如图3，∵AB=AC，P为BC中点，∴AP⊥BC．∵∠B=30°，∴AP=12AB=4，∴BP=AB2?AP2=43．∴PD=12BP=23，∴BD=BP2?PD2=6，∴DE=|BD-BE|=|6-（8-x）|=|x-2|，∴PE2=PD2+DE2=（23）2+（x-2）2=x2-4x+16．∵△BPE∽△PFE（已证），∴BE
(1)60°；（2） ；（3）线段EP 1 长度的最大值为8，EP 1 长度的最小值1． 试题分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A 1 C 1 B=∠ACB=30°，BC=BC 1 ，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1 A 1 的度数；（2）由△ABC≌△A 1 BC 1 ，易证得△ABA 1 ∽△CBC 1 ，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA 1 的面积；（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB上时，EP 1 最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB的延长线上时，EP 1 最大，即可求得线段EP 1 长度的最大值与最小值．（1）如图1，依题意得：△A 1 C 1 B≌△ACB．∴BC 1 =BC，∠A 1 C 1 B=∠C=30°．∴∠BC 1 C=∠C=30°．∴∠CC 1 A 1 =60°；（2）如图2，由（1）知：△A 1 C 1 B≌△ACB．∴A 1 B=AB，BC 1 =BC，∠A 1 BC 1 =∠ABC．∴∠ABA 1 =∠CBC 1 ， ∴△A 1 BA∽△C 1 BC ∴ ∵S △C1BC ＝3，∴S △A1BA ＝ ；（3）线段EP 1 长度的最大值为8，EP 1 长度的最小值1． 解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6× =3，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB上时，EP 1 最小，最小值为：EP 1 =BP 1 -BE=BD-BE=3-2=1；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB的延长线上时，EP 1 最大，最大值为：EP 1 =BC+BE=6+2=8．综上所述，线段EP 1 长度的最大值为8，EP 1 长度的最小值1．
考点： 解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．
分析：
作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=1/2（180°－∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30。则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=1/2AC=4，AH=根号3CH=4根号3，所以DH=AD﹣AH=8﹣4根号3，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH－DH=4根号3﹣4．
解答：
解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=1/2（180°﹣∠BAC）=1/2（180°﹣30°）=75°，
∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，
∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°﹣30°=45°，
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=1/2AC=4，
AH=根号3CH=4根号3，
∴DH=AD﹣AH=8﹣4根号3，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=4，
∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4根号3）=4根号3﹣4．
故答案为4根号3﹣4．
点评：
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直
角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°,
∴∠B=75°，
△ACD≌△ABC,
∴∠BAE=60°，∠E=45°，
由正弦定理，AE=ABsin∠E/sin∠E=8(√6+√2)/4*√2=4√3+4，
∴DE=AE-AD=4√3-4.
如未学正弦定理，可作BH⊥AE于H,易知EH=BH=ABsin60°=4√3，AH=AB/2=4.
此题如果是“将△abc绕点c按逆时针旋转至△a'b'c'”，则解答如下：
答：1）则bb'与ab互相垂直。理由如下，
由旋转知，ac=a′c，bc=b′c，∠acb=∠a′cb′=90°，因为∠abc=30°，则∠a=60°，
所以∠cbb′=60°，又因∠abc=30°，所以∠abb′=90°，所以bb'与ab互相垂直。
2），由1）知∠cbb′=60°，bc=b′c，所以bc=b′c=bb′，
又由在rt△abc中,∠acb=90,∠abc=30,ac=1，所以bc=bb′=√3
。
8因为A C等于ad啊，这麽简单的题目都不会
（4倍根号3）-4
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