高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解

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　　高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解

　　在转化过程中，应遵循三个原则：

　　1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题;

　　2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题;

　　3、直观化原则，即将抽象总是具体化.

　　策略一：正向向逆向转化

　　一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.

　　例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.

　　A、150 B、147 C、144 D、141

　　分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.

　　10个点中任取4个点取法有 种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有 种，同理其余3个面内也有 种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种， 不共面取法有 种，应选(D).

　　策略二：局部向整体的转化

　　从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.

　　例2：一个四面体所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )

　　A、 B、 C、 D、

　　分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为 ，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为 ，应选(A).

　　策略三：未知向已知转化

　　又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.

　　例3：在等差数列 中，若 ，则有等式

　　( 成立，类比上述性质，在等比数列 中， ，则有等式_________成立.

　　分析：等差数列 中， ，必有 ，故有 类比等比数列 ，因为 ，故 成立.

　　二、逻辑划分思想

　　例题1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求实数 a 取值的集合.

　　解 A= ： 分两种情况讨论

　　(1)B=￠，此时a=0;

　　(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论 ：

　　(i) B={-1}，则 =-1，a=-1

　　(ii)B={1}，则 =1， a=1.(二级分类)

　　综合上述 所求集合为 .

　　例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求实数a的取值范围.

　　例题3、已知 ，试比较 的大小.

　　【分析】

　　于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 .

　　小结：分类讨论的一般步骤：

　　(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);

　　(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;

　　(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);

　　(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).

　　十一种数学思想方法总结与详解

　　数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

　　1、函数方程思想

　　函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

　　笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

　　函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

　　函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系;实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

　　2、数形结合思想

　　“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四点的距离，就可以求出它的最小值。

　　3、分类讨论思想

　　当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

　　4、方程思想

　　当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

　　5、整体思想

　　从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

　　6、化归思想

　　在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。

　　转化思想亦可在狭义上称为化归思想。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。

　　7、隐含条件思想

　　没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。例如一个等腰三角形，一条线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

　　8、类比思想

　　把两个(或两类)不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

　　9、建模思想

　　为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描述一个实际现象，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

　　10、归纳推理思想

　　由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理

　　另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

　　我来举例子~~图中有角平分线，可向两边作垂线。

　　也可将图对折看，对称以后关系现。

　　角平分线平行线，等腰三角形来添。

　　角平分线加垂线，三线合一试试看。

　　线段垂直平分线，常向两端把线连。

　　要证线段倍与半，延长缩短可试验。

　　三角形中两中点，连接则成中位线。

　　三角形中有中线，延长中线等中线。

　　平行四边形出现，对称中心等分点。

　　梯形里面作高线，平移一腰试试看。

　　平行移动对角线，补成三角形常见。

　　证相似，比线段，添线平行成习惯。

　　等积式子比例换，寻找线段很关键。

　　直接证明有困难，等量代换少麻烦。

　　斜边上面作高线，比例中项一大片。

　　半径与弦长计算，弦心距来中间站。

　　圆上若有一切线，切点圆心半径连。

　　切线长度的计算，勾股定理最方便。

　　要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

　　是直径，成半圆，想成直角径连弦。

　　弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

　　圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

　　弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

　　要想作个外接圆，各边作出中垂线。

　　还要作个内接圆，内角平分线梦圆

　　如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

　　内外相切的两圆，经过切点公切线。

　　若是添上连心线，切点肯定在上面。

　　要作等角添个圆，证明题目少困难。

　　辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

　　假如图形较分散，对称旋转去实验。

　　基本作图很关键，平时掌握要熟练。

　　解题还要多心眼，经常总结方法显。

　　切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

　　分析综合方法选，困难再多也会减。

　　虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

　　11、极限思想

　　极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

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康马县13361474150： 数学基本思想有哪些? - ？
威辰依舒：[答案] 高中数学基本数学思想 1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化,即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的,这样才能保证转化后所得结果仍为原题...

康马县13361474150： 高中数学中都有哪些数学思想? - ？
威辰依舒：[答案] 第一:函数与方程思想 (1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时,起着重要作用 (2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础 高考把函数与方程思想...

康马县13361474150： 高中全部数学思想方法 50分 - ？
威辰依舒：[答案] 这个是高中的数学思想,是我总结的,当然也经过搜索补充的 1.函数与方程思想 2.数形结合思想 3.分类讨论思想 4.方程思想 5.整体思想 6.转化思想 7.隐含条件思想:没有明文表述出来,但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件,或者是没有明...

康马县13361474150： 高中数学有那些常用思想. - ？
威辰依舒：[答案] 高中数学重点培养学生四个思想:函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的思想. 另外高中数学大纲里还提到了四个能了:逻辑思维能力、计算能力、空间想象能力、综合分析能力.

康马县13361474150： 数学思想方法有哪几种? - ？
威辰依舒：[答案] 中学数学重要数学思想 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想.1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研...

康马县13361474150： 高中数学思想有哪些? - ？
威辰依舒： 分类讨论思想,数形结合思想,两边夹的思想.函数与方程思想,转化与化归思想 ,类比思想,建模思想,化归思想,归纳推理思想

康马县13361474150： 高中阶段应掌握的数学方法和数学思想有哪些,请列举一下,谢谢! - ？
威辰依舒： 高中阶段应掌握的数学思想有:数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类讨论思想;应培养的数学能力有:空间想象能力、计算能力、逻辑思维能力、解决实际问题能力;数学方法就多了:演绎法、归纳法是两大方法、数形结合也是一种方法、反证法、特例法、验证法、换元法、配方法、待定系数法等等.

康马县13361474150： 高中有什么数学思想?？
威辰依舒： 这个是高中的数学思想,是我总结的,当然也经过搜索补充的 1.函数与方程思想 2.数形结合思想 3.分类讨论思想 4.方程思想 5.整体思想 6.转化思想 7.隐含条件思想:没有明文表述出来,但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件,或者是没有明文表述,但是该条件是一个常规或者真理. 8.类比思想 9.建模思想 10.归纳推理思想 11.化归思想:化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段,转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B,通过解决问题B达到解决问题A的方法.化归的原则有化未知为已知、化繁为简、化难为易、降维降次、标准化等.

康马县13361474150： 初高中数学思想有哪些? - ？
威辰依舒： 常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等;数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等;常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等.

康马县13361474150： 有什么数学思想？
威辰依舒： 一、 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系, 从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 二、 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时 可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数) ;或者对于所研究的几何 问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形) ,这种解决问 题的方法称之为数形结合. 三、 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就 需要对研