高斯画出正17边形时用了三角函数吗?(sin45度之类的也算,虽然一眼就看出来了

高斯 正十七边形到底怎么做?网上的不同做法到底哪个有权威?~

高斯做出来的是所有正N边形，哪些是可以做的，哪些是不可以做的
以及可以做的画法
在这里赞一下天才的高斯！！！
而且一个图形是可以有很多种画法的，高斯也没有证明那种是最简单的……
十七边形的画法是高斯的得意之作，之前他的教授教他不要再学数学了，他自己也在犹豫是数学还是拉丁文，而这做出来之后，他就决定这辈子奉献给数学，在他死前，他还要求在他的墓碑上不用刻其他的东西，只要刻一个正十七边形就好了……

给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

π/4和45度是一回事……

步骤一：

给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，

作C点使OC＝1/4OB，

作D点使∠OCD＝1/4∠OCA

作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度

步骤二：

作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，

此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆

过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三：

过G4作OA垂直线交圆O于P4，

过G6作OA垂直线交圆O于P6，

则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。 他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。 困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。 当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。 见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。” 导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。 青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！” 原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。 每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 这位青年就是数学王子高斯。 高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）： 有一个定理在这里要用到的： 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。 上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。 （这一步，大家会画吧？） 而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。 下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。 设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16p ai/17)]>0 a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos( 14pai/17)]<0 则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。 令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0 c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0 则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1 同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。 再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c 这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根, 显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了 1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。 希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了： 一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一： 1、n = 2k，k = 2, 3,… 2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,… 费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在 2007-12-21 22:14:29 隐藏意见（6） 过客 60.63.73.* 《3800年七大数学死题破解》 《崔荣琰多功能尺》实用指导开讲 旨在，用科学发展观，拓展学生思路，大胆创新的《3800年七大数学死题破解》及《崔荣琰多功能分角尺》实用指导讲座，日前，在上海再次成功举办。 四十位高中年级数学爱好者代表到会认真听讲。 中英文版《3800年七大数学死题破解》一书，自2007年7月出版后，国内外一流大学及中国各大城市图书舘已有收藏、借阅。 该书作者崔荣琰老师，解读了尺规作图：“三等分任意角，化圆为方，作倍立方体，作正七、九、十一、十三边形”，这七大历经3800年的数学‘死题’的来历、现状及演示、讲述、破解的多种方法。 2009-05-11 22:02:27 过客 119.85.244.* 狂晕，这故事是后人乱编的。 高斯是专门花了3个月假期安起心解决的。 不过也是高手，牛顿那些解决了那么久，他三个月就解决了。
--出自百度知道网友http://zhidao.baidu.com/link?url=Uco49tudJhf_PxdPbI7QaGoIPjNxBdEIeJLc3rJDzFJbgsYsM1Gyj1n6VaSqFPIgdB5FeW149JjU2fiq37qqvycrWxu2QnqdwOcfZA4dqtS

三步作出解答

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稷山县14732346356： 高斯是怎样画出正17边形的 - ？
夫庞骨刺： 高斯的正十七边形画法.-作圆O;作相垂直半径OA,OB;作点C,使得OC=OB/4;在OA上取点D,使得角OCD=二倍角OCA;在AO延长线上取点E,使角DCE=45度.-作AE中点M,并以M为圆心作圆过A;圆M交线段OB于F点;以D为圆心作圆过F,交OA于G1,G2(上下G1G2均可).-过G1,G2作OA垂线交圆O于P1,P2(同侧);作弧P1P2中点P3,则P1P3,P2P3为正十七边形的一边边长.

稷山县14732346356： 高斯画正十七边形步骤的原因. - ？
夫庞骨刺： 先计算或作出cos(360°/17) 设正17边形中心角为a,则17a=360°,即16a=360°-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2...

稷山县14732346356： 第一个画出正十七变形的人?？
夫庞骨刺： 神一样的男人 高斯

稷山县14732346356： 高斯是怎样用圆规和尺子画正17边形的 - ？
夫庞骨刺： 将你要画的正17边形的边长为d,它的外接圆的半径为R. 则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R) 正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形; 然后从圆心作出一条垂线...

稷山县14732346356： 谁帮我画出17边形,要求步奏？
夫庞骨刺： 十七边形是几何学中所有有17条边及17只角的多边形. 正十七边形是有17边的正多边形.正十七边形的每个内角约为158.823529411765°. 1796年,高斯成功利用尺规作图作出正十七边形,同时发现了可作图多边形的条件,并定下他要成为数学家的决心. 可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示. 具体作图方法可以参考: http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html

稷山县14732346356： 数学王子高斯如何用没有刻度的直尺和圆规做出正17边形的? - ？
夫庞骨刺： 答1:关于正十七边形的画法(高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^): 有一个定理在这里要用到的: 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的, 其中c是方程x^2+ax+b=0的实根. 上面的定理...

稷山县14732346356： 高斯 正17边形画法 详解 谢谢 - ？
夫庞骨刺： [正17边形的画法] (1)已知边长作正17边形的近似画法如下: ①作线段ab等于定长l,并分别以a,b为圆心,已知长l为半径画弧与ab的中垂线交于k. ②以k为圆心,取ab的2/3长度为半径向外侧取c点,使ck=2/3ab ③以 c为圆心,已知边长 ab为半...

稷山县14732346356： 高斯当年画出17边形是那时候没有算出内角的公式吗?还是什么原因画了一夜 - ？
夫庞骨刺：[答案] 高斯当年的题其实是:如何用尺规作图画一个正17边形.不能用量角器的.

稷山县14732346356： 高斯是怎样画出圆内正十七边形的 - ？
夫庞骨刺： 步骤一: 给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 在OB上作C点使OC=1/4OB, 作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二: 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点...

稷山县14732346356： 高斯是怎么画十七边形的? - ？
夫庞骨刺： 步骤一: 给一圆O,作两垂直的直径OA、OB, 作C点使OC=1/4OB, 作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二: 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点. 步骤三: 过G4作OA垂直线交圆O于P4, 过G6作OA垂直线交圆O于P6, 则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点, P4为第四顶点,P6为第六顶点. 以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点.