求数学大神。过圆内某一定点的直线截圆所得的弦何时最短，如何证明此弦为最短弦？
（1）见解析（2）当直线 垂直于 时被截得弦长最短，此时 ，最短弦长为 试题分析：（1）证明：直线 的方程 ，经整理得 ， ……1分由 的任意性 ， ……3分 恒过定点 . ……5分（2）解：因为直线 恒经过圆 内一点 ，当直线 垂直于 时被截得弦长最短. ……7分由 、 ，直线 斜率 ，又直线 与直线 垂直， 直线 的斜率为2，于是 ， , ……9分最短弦长为 , ……11分综上所述，当直线 垂直于 时被截得弦长最短，此时 ，最短弦长为 . ……12分点评：当直线与圆相交时，圆心到直线的距离、半弦长和半径组成一个直角三角形，这个直角三角形在解题时经常用到.
设圆半径为R，圆心O、P圆内一定点，于是OP为定值设过P的一条弦为AB，连OA，OB，作OH⊥AB于H，于是由垂径定理有AH=HB。
由勾股定理：
AB²=4AH²=4(R²-OH²)=4R²-4(OP²-PH²)=4R²-4OP²+4PH²要使AB为最小的,而4R²-4OP²为定值。
于是要4PH²最小，为0，此时P与H重合.即过P点最短的的弦是垂直于OP的弦。
扩展资料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等），：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点中更具一般性。
三角形的弦定义：直角三角形的斜边。两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边，长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
参考资料来源：百度百科-弦
参考资料来源：百度百科-勾股定理
设过圆O内一点P且与OP垂直的弦为AB,CD为过P但不垂直于OP的弦
过O向CD作垂线OE,
则在RT三角形OPE中<OEP=90
所以OP最长
由垂径定理得AP^2=R^2-OP^2
所以要使AP最小,则OP最大即可
AP最小,最AB最小
得证
过顶点和圆心的直线，从定点作此直线的垂线，此垂线段为最短
过该点且垂直于直径的弦最短。
垂直于该点和圆心连线的弦最短
高二数学 一道解析几何的难题 求大神指点 具体如下
答案如图所示，友情提示：点击图片可查看大图答题不易，且回且珍惜如有不懂请追问，若明白请及时采纳，祝学业有成O(∩_∩)O~~~
圆数学题求大神解答
回答：x1+x2=4 即圆O1和圆O2半径和=4 ∵两个圆的圆心距=4 ∴两个圆相切
数学大神有哪些?
”你想想，陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员喊三十八号吗？。 2、高斯 高斯最著名的故事莫过于小学时计算1+2+3+...+100的值。当时高斯上小学，老师在班上出了这样一道题，叫大家算。那个老师以为至少要20分钟以后才会有答案，正想休息一下，谁知屁股还没坐稳高斯就说算出来了。老师很...
求助数学大神,这个是什么定理?(就是那两小段相等)怎么证明?垂足在圆...
如图，显然△ABC是直角三角形，那么，可得AC∥ED。又因为AE⊥ED，CD⊥ED，可得一四边形ACDE是矩形。那么AC=ED，AE=CD。显然，矩形在圆形上截取的过点A和点C的两段圆弧相等，那么由勾股定理，所求两段线段相等。
求大神给出圆幂定理的内容和其证明【初三数学】
如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 三角形pac和pda相似 ，易证pa^2=pc*pd图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此 三角形pao、pco全等 。所以PA=PC，所以pa^2=pc^2 ...
高中数学圆求大神!最好写下来
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 x1+x2 = (6k^2+4k+2)\/(k^2+1) ，x1*x2 = (9k^2+12k-12)\/(k^2+1) ，所以 y1*y2 = k^2(x1-3)(x2-3)=k^2*[x1*x2-3(x1+x2)+9] = -9k^2\/(k^2+1) ，由于以 PQ 为直径的圆过原点，因此 OP丄OQ ，所以 x1*x2+y1*...
关于圆的数学题(较难)求大神
作两圆的公共弦AB，则阴影部分面积就可看成是两个弓形的面积之和。先求公共弦AB的长度：r\/√2的圆的方程为：x^2+y^2=r^2\/2 1)r\/2的圆的方程为： (x-r\/2)^2+(y-r\/2)^2=r^2\/4 2)1)-2): rx+ry-r^2\/2=r^2\/4, 得：y=3r\/4-x 3)将3)代入1）得： x^...
求数学大神
也就是说⊙C的圆心C的坐标为：C(1,-2)，而⊙C的半径r=3。假设存在这么一条直线L：y=x+b交⊙C于A、B，AB为直径的圆过原点，那么直线L的垂线y=-x与L的交点就是所求圆的圆心D。而若要满足这个条件，D就是AB的中点，在⊙D中：OD=DA=DB=R。把直线L代入⊙C：x²+y²-2x+...
初三数学圆,求大神解答,第(2)题要怎么做?
做OE⊥AB于E ∴垂径定理：AE=BE=1\/2AB ∵∠BAC=∠EAO=30° 那么OE=1\/2OA=1，那么AE=√3 ∴AB=2AE=2√3
数学大神来帮忙!!啊,急。
答：1号圆直径2cm，周长πD=2π=6.28cm 2号圆直径3cm，周长πD=3π=9.42cm 3号圆直径4cm，周长πD=4π=12.56cm 1号和3号的周长等于长方形的其中一个边长，因此：问题1.可以选择（ 1 或者 3 ）号制作圆柱形的盒子。问题2.选择其中一种方法，算出圆柱形盒子的体积是多少立方c...
东方怖大蒜：[答案] 连接圆心与此点,再过此点作一条垂直于这条线段的直线,截圆得最短弦. 证明:假设有一条过此点的最短弦b不同于刚才作出的这一条a,画图可知,圆心到b的距离d小于圆心到此点的距离,由圆内的典型三角形,设半径为r,b的弦长等于2倍根号下...
江阴市19429452596： 已知过点 的直线 被圆 所截得的弦长为 ,求直线 的方程 - ？
东方怖大蒜： ,或 将圆的方程写成标准形式,得,所以,圆心的坐标是,半径长. 如图,因为直线被圆所截得的弦长是,所以弦心距为, 即圆心到所求直线的距离为. 因为直线过点,所以可设所求直线的方程为,即. 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线的距离. 因此,,即, 两边平方,并整理得到, 解得,. 所以,所求直线有两条,它们的方程分别为 ,或. 即,或.
江阴市19429452596： 高中数学求直线过定点的方法 - ？
东方怖大蒜： 斜截式:y=kx+b 斜率是k,定点是(0,b)两点式:y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1) 斜率:k=(y2-y1)/(x2-x1),定点(x1,y1),(x2,y2) 一般式:ax+by+c=0 定点(0,-c/b).斜率:k=-a/b 表示一条直线(或曲线的切线)关于(横)坐标轴倾斜程度的量....
江阴市19429452596： 高二数学过圆上一点的切线方程怎么求? - ？
东方怖大蒜： 要根据具体条件来求.如果已知圆方程和圆上的点(x0,y0),则可设切线方程为y-y0=k(x-x0),再由圆方程求出圆的圆心坐标和半径,由圆心到切线的距离等于半径求k,即得切线方程.
江阴市19429452596： 求高二数学高手帮忙!圆锥曲线问题!急!高正确率!1.圆C交X轴于( - 1.0)(3.0)交Y轴于(0.1)求1,圆的方程,2,过点(2.根号3 - 1)的直线截圆的玄长AB... - ？
东方怖大蒜：[答案] 第一个求圆的自己做吧,简单画个图就解决了.第二个说个思路,求出椭圆方程后,求出斜率为1的切线方程,然后m就出来了;联立方程组,用两点距离公式.第三题双曲线方程简单自己套公式算一下,求MP/MQ,实际就是求MP的平方/MQ的平方后...
江阴市19429452596： 已知圆内一点,求过此点直线方程 - ？
东方怖大蒜： 是求直径的方程,把一般式化回标准式,知道半径,又知道圆心点,再用圆心的点和点M联立方程组解解出k和b就行了!愿对您有所帮助!标准时:(x-4)2+(y-1)2=7, 圆心为(4,1),所以得:4k+b=1 2k+b=0,k=0.5b=-1 ,y=1/2x-1,化为一般式:x-2y-2=0.
江阴市19429452596： 数学有关于圆的方程的计算过点P(4, - 4)的直线l被圆C:x2+y2 - 2x - 4y=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程.(x2表示x的平方) - ？
东方怖大蒜：[答案] 圆C:x2+y2-2x-4y=0可化为:(x-1)^2+(y-2)^2=5,可知圆的半径为根号5,直径也就是为2个根号5,才4.5都不到,怎么会有8的弦长,题目应该有问题.
江阴市19429452596： 圆的割线方程求解过一点A的直线L被已知圆截得的弦长为d,求L的方程.此类问题该怎样解 - ？
东方怖大蒜：[答案] 已知弦长的话有勾股定理可求出圆心到L的距离.接下来首先考虑不存在斜率的情况,如果此种情况不成立,将直线设为斜截式,由已知点可用k将b表示出来,再有点到直线距离公式列方程解一下就搞定~
江阴市19429452596： 知道圆的方程.原点(3.4).过点(3.5)的直线所截得圆的最短弦怎么算? - ？
东方怖大蒜： 一般最短弦问题,都是给一定点在圆内(圆外可以切线和相离),最短弦为:与 此定点和圆心的连线 相垂直的弦,通过斜率可求.
江阴市19429452596： 求过某一点圆的切线方程 - ？
东方怖大蒜： 首先判断5^2+(-5)^2=50>25 所以点在圆外,所有应该有两条切线 设切线是y+5=k(x-5) kx-y-5k-5=0 圆心(0,0),半径5 圆心到切线的距离等于半径 所以|0-0-5k-5|/√(k^2+1)=55|k+1|=5√(k^2+1)(k+1)^2+k^2+12k+1=1 k=0 所以一条切线是y+5=0 再考虑斜率不存在的情况 斜率不存在,直线垂直于x轴,即x=a 此处就是x-5=0,经检验,圆心到x+5=0的距离=5 所以切线是x-5=0和y+5=0
