（2009?广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC
解：∵C点(0，-1)是二次函数y=x²+px+q与y轴上的交点。
∴q=-1
∵SΔABC=OC·AB/2=5/4
∴OC·AB=5/2
C点坐标为(0，-1)
∴OC=1
即AB=5/2
∴OA+OB=5/2
A，B为二次函数y=x²+px-1与x轴上的交点。
设A(x₁,0) B（x₂,0）， x₁＜x₂
∴ x₂-x₁=5/2
将y=0代入解析式得
x²+px-1=0
Δ=p²+4
解之得x₁=(-p-√Δ)/2 ，x₂=(-p+√Δ)/2
∴x₂-x₁=(-p-√Δ)/2-(P+√Δ)/2
化解得 √Δ=5/2
P²+4=25/4
P²=9/4
P=±3/2
∵ P＜0
∴P=-3/2
∴解析式为y=x²-3/2x-1
解：（1）由点C的坐标为（0，-1），得OC=1，又∵△ABC的面积为 ，∴ ，即 ，由抛物线与y轴交于（0，-1），得y=x 2 +px+g（p<0）中的q=-1，则当y=0时，0=x 2 +px-1，设它的两个根为x 1 、x 2 ，则x 1 +x 2 =-p，x 1 x 2 =-1，且A、B两点的坐标为（x 1 ，0）、（x 2 ，0），由直角坐标系上两点间的距离公式可得x 2 -x 1 =AB= ，∴ ，∴x 1 2 +x 2 2 -2x 1 x 2 = ，∴x 1 2 +x 2 2 +2x 1 x 2 -4x 1 x 2 = ，∴（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 = ，即p 2 +4= ，解得 ，∵p<0，∴p= ，∴该抛物线的关系式为 ；
（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图由 得x 1 =2， ，∴ ，连接AD，在△ABC的外接圆中，∵ ，∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，∴△AOD∽△COB，∴ ，∴ ，∴DO=1，∴CO=DO=1，又∵AB⊥CD，∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径，∴△ABC外接圆的直径为 ，∴直线 与△ABC的外接圆相切，∴ ； （3）存在∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠ACB=90°，这时抛物线上必有点D，且当AD∥BC或BD∥AC时使四边形ACBD为直角梯形，当AD∥BC时，可求得直线BC的关系式为 ，∴直线AD的关系式为 ，则它与抛物线 的交点坐标为 ，此时点D的坐标为 ，当BD∥AC时，可求直线AC的关系式为y=-2x-1，∴直线BD的关系式为y=-2x+4，则它与抛物线 的交点坐标为 ，此时点D的坐标为 ，∴当点D在 或 的位置时，四边形ACBD为直角梯形。
∴q=-1，
∵△ABC的面积为
| 5 |
| 4 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
解得AB=
| 5 |
| 2 |
设A（a，0），B（b，0），
则a、b是一元二次方程x2+px-1=0两个根，
∴a+b=-p，ab=-1，
∴AB=b-a=
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