马丁·加德纳的四个乌龟行进路径的轨迹方程求解，长度是多少？

马丁·加德纳三角形如何解~

你是说的这张图么?其实这是一个感觉的误区你注意看这两张图中的三角形根本就不是三角形,而是四边形,只是人类的感官很难认识到.我们看到红色的三角形底和高的比试8:3但是蓝色的三角形的底和高的比是5:2这两个三角形的斜边的斜率根本就不一样,比实际上我们感官认识的大三角形底和高的比13:5相比,一个要大一点,一个要小一点.这点差别肉眼根本看不出来的所以第一张图事实上是一个内凹的四边形.第二张图如果把空格填上是一个外凸的四边形.这也就解释了为什么第二张图会有一个空陷处.自己在图上画画就会明白的,两个斜边斜率不一样的三角形不可能拼出直角空来这个图利用的就是人类的视觉感官误差 非原创

个人思路：此问题可以先求解乌龟运动轨迹，然后计算出轨迹曲线的长度，即可计算出时间。

看看能不能解决这个问题，嘻嘻.....
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补充1：
以正方形中心为原点建立直角坐标系，假定四个乌龟的初始坐标均处于坐标轴上，距离原点均为 a = 150√2cm

在任意时刻，乌龟的运动方向是其运动轨迹曲线的切线，那么，对于第一象限乌龟的坐标为P(x,y)，则有微分方程：
dy/dx = (y - x)/(y + x).................................(1)

解此方程即可得到轨迹的曲线方程，另外，可以直接求解曲线的弧长为：

ds = [1 + (dy/dx)^2 ]^(1/2)*dx
= [2(x^2 + y^2)/(x + y)^2 ]^(1/2)*dx ........(2)

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补充2：解微分方程——
首先将上述微分方程转换为极坐标表示，则有：
x = r*cosθ
y = r*sinθ

代入方程(1)求解，得到r = a*e^(-θ)，进一步代入(2)并确定积分限，得到：
S = √2*a = 300cm

根据题意可以得到，乌龟所用时间为 300cm/(1cm/s) = 300s
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补充3：噢，初一啊....不知道如何解啊，估计肯定有技巧了，继续研究中。

此题不同于一般的动力学问题，其速度的大小不变而方向确随时变化。

将乌龟看作是质点，那么基本思路如下：

1.全部质点的运动都具有等价性，即运动过程中质点之间的相对几何关系不变。
2.任何一个质点瞬间运动方向是其轨迹曲线的切线方向。

根据题意，采用极坐标描述比较方便，推导过程之中采用直角坐标系辅助说明。以N个质点所

共圆之圆心为坐标原点 O，任意选择一个质点在 OX 轴上，那么有：

标号为 k 的质点 Pk ，其直角坐标为Pk(xk,yk)，极坐标为Pk(r,θ+k*α)，其中，θ为质点

P0的相角，k为质点编号，α=2π/n。由于任何时候，每个质点相对坐标原点的距离相等，所

以r一样。

假定P0点初始坐标为P0(R,0)..................即初始圆半径为 R

现在研究P0质点的运动，假定任意时刻 P0(x,y)，即有

x = r*cosθ....... dx = cosθ*dr - r*sinθ*dθ
y = r*sinθ....... dy = sinθ*dr + r*cosθ*dθ

P0追踪的点为P1，其坐标为
x1 = r*cos(θ+α)
y1 = r*sin(θ+α)

P0运动轨迹的切线斜率为：

(y1 - y)/(x1 - x) = dy/dx ...........................(1)

(y1 - y)*dx
= r*[sin(θ+α) - sinθ]*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(α/2)*cos(θ+α/2)*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(π/n)*[ cos(θ+π/n)*cosθ*dr - r*cos(θ+π/n)*sinθ*dθ]

(x1 - x)*dy
= r*[cos(θ+α) - cosθ]*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*sin(θ+π/n)*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*[ sin(θ+π/n)*sinθ*dr + r*sin(θ+π/n)*cosθ*dθ]

展开(1)得到
(y1 - y)*dx - (x1 - x)*dy = 0

考虑到 r 仅仅在追赶的最后阶段才是无穷小量，所以 r*sin(π/n) 可以约去，得到：

cos(π/n)*dr + r*sin(π/n)*dθ = 0

dr/r = -tg(π/n)*dθ .................................(2)

对(2)积分
ln(r) = -tg(π/n)θ + C

注意到初始条件，P0 坐标为(R,0)，得到
r = R*e^[-tg(π/n)θ] .................................(3)

令 K = tg(π/n) ，简化为

r = R*e(-K*θ)

求解曲线长度，采用标准公式：(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 推导得到

ds = [(dr)^2 + (r*dθ)^2]^(1/2)
= [(dr/dθ)^2 + r^2]^(1/2)*dθ
= [K^2 + 1]^(1/2)*r*dθ

对 ds 积分，注意积分区间为(0,∞)

定义积分符号：S[f(x)dx](a,b) 表示f(x)的定积分，积分区间为(a,b)

曲线长度 L = S[ds](0,∞)

L = R*[1 + (1/K)^2]^(1/2)
代入 K = tg(π/n) 得到

L = R/sin(π/n) .....................................(4)

对于那个著名的马丁·加德纳四个乌龟问题，就是 n = 4 的特例，其总路径长度 L = √2*R

即四边形的边长。

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