数字1、2、3.....9共9个数字，填入九宫格中，如何填法

将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入九宫格中。应如何才能使横行，竖行，斜行的数字的和相等？~

幻方是什么呢？如右图就是一个幻方，即将n*n（n>=3）个数字放入n*n的方格内，使方格的各行、各列及对角线上各数字之各相等。

我很早就对此非常感兴趣，也有所收获。

8 1 6
3 5 7
4 9 2

本数学模型于1999年9月26日构造。

奇阶幻方

当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。

偶阶幻方

当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。

在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：

Merzirac法生成奇阶幻方

在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

loubere法生成奇阶幻方

在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的7阶幻方：

30 39 48 1 10 19 28
38 47 7 9 18 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
22 31 40 49 2 11 20

horse法生成奇阶幻方

先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的5阶幻方：

77 58 39 20 1 72 53 34 15
6 68 49 30 11 73 63 44 25
16 78 59 40 21 2 64 54 35
26 7 69 50 31 12 74 55 45
36 17 79 60 41 22 3 65 46
37 27 8 70 51 32 13 75 56
47 28 18 80 61 42 23 4 66
57 38 19 9 71 52 33 14 76
67 48 29 10 81 62 43 24 5

一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。

Hire法生成偶阶幻方

将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：

1 5 4 3 2 6
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 2 1
6 2 4 3 5 1
1 5 4 3 2 6

如下所示为8阶填写方法（转置以后）：

1 8 1 1 8 8 8 1
7 2 2 2 7 7 2 7
6 3 3 3 6 3 6 6
5 4 4 4 4 5 5 5
4 5 5 5 5 4 4 4
3 6 6 6 3 6 3 3
2 7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8

将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）。则AT＋B为目标幻方

（AT为A的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：

1 63 6 5 60 59 58 8
56 10 11 12 53 54 15 49
41 18 19 20 45 22 47 48
33 26 27 28 29 38 39 40
32 39 38 36 37 27 26 25
24 47 43 45 20 46 18 17
16 50 54 53 12 11 55 9
57 7 62 61 4 3 2 64

Strachey法生成单偶幻方

将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A C
D B

A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格,另外m-1个小格任意,其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11

Spring法生成以偶幻方

将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法：

方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）

方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

如下图用Spring法生成的4阶幻方：

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

YinMagic构造偶阶幻方

先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。本方法适用于n>4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：

10 1 34 33 5 28
29 23 22 11 18 8
30 12 17 24 21 7
2 26 19 14 15 35
31 13 16 25 20 6
9 36 3 4 32 27

魔鬼幻方

如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。

用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。

15 10 3 6
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
罗伯法：
1居上行正中央，一次排开右上方。

6.1.8
7.5.3
2.9.4

九宫格数独 是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。 数独的玩法逻辑简单，数字排列方式千变万化。不少教育者认为数独是锻炼脑筋的好方法。 历史 原来 “Sudoku”起源于瑞士，于1970 年代首先由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为 Number Place 。现今流行的数独于1984年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。 后来在日本流行起来。直至 2004 年，曾任香港高等法院法官的高乐德（ Wayne Gould ）在日本旅行的时候，发现杂志的这款游戏，便带回伦敦向《泰晤士报》推介并获得接纳。英国《每日邮报》也于三日后开始连载，使“数独”在英国正式掀起热潮，成为英国当下的流行游戏。其他国家和地区受其影响也开始连载“数独”。现在在几个国家的任何一个书店都可以看到“数独"游戏小册子，还有“ 数独”年历、“数独”游戏机等。 解法举例 先注意其中一个方格，限定该方格内可以填写的数字。 注意其中一列（或者其中一个小九宫格），寻找填写某数字的方格。 学过“资料结构”的人，可以尝试用Backtrack试试。 数独的通解方法及步骤： 根据以下方法可以确保最终得到数独的解，而且通过手工运算的时间基本可以控制在1.5个小时，不论难易程度，所以此方法可以作为取得数独答案的一般解法。 1、根据横列、竖列和方格的限制条件排除各个点不可能的数字，并从1－9将各个可能的数字用小字体逐个写进每个空白的格子。（该步骤大约需要15－20分钟，这是求解的初始，务必确保没有遗漏）。 2、审视第一步骤的结果，如果发现某个空格只有一个数字，即确定该空格为这个数字。并根据该数字审视其相关的横列、竖列和方格，并划除相同的数字。（该情况出现的可能往往不多，除了较简单的数独题，但这是一个必要的过程，而且在随后的过程中要反复使用此方法。） 3、审视各个横列、竖列和方格中罗列出的可能的数字结果，若发现某一个数字在各个横列、竖列或方格中出现的次数仅一次，则可以确定该空格的解为此数字。并根据第二条的方法排除与此空格相关列或方格中相同的数字。 4、审视各个横列、竖列和方格中罗列的各个可能的结果，找出相对称的两个数组合的空格（或3个、4个组合），并确定这两个空格（或3个、4个）的数字只可能为这两个数字，即两个数字在这两个空格的位置可以交换，但不可能到该行、该列或该方格的其他位置。根据此结果可以排除相关列或方格罗列出相关数字的可能，并缩小范围。（该步骤处理的难度相对复杂，需要在积累一定经验的基础上进行，也是最终求解的关键） 5、反复使用2、3、4提到的步骤，逐步得到一个一个空格的解，并将先前罗列的各种可能的结果一个一个排除，使可能的范围越来越小，直至得到最后结果。

8 1 6
3 5 7
4 9 2

2 9 4
7 5 3
6 1 8

1 2 3
4 5 6
7 8 9

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平顶山市15660562228： 排列组合 有1、2、3,...,9九个数字,可组成多少个没有重复数字,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字的5位数?答案是A(9,5)/A(3,3)为什么后面... - ？
牢雨复方：[答案] 简单地说,随便任取三个数,例如:7,5,2 这任取的三个数位置是确定的,只有这一种,所以后三个不要排了

平顶山市15660562228： 有1、2、3,...,9九个数字,可组成多少个没有重复数字,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字的5位数? - ？
牢雨复方：[答案] A(9,2)*C(7,3)=2520

平顶山市15660562228： 数字1、2、3.....9共9个数字,填入九宫格中,如何填法 - ？
牢雨复方： 九宫格数独 是一种源自18世纪末的瑞士,后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏.拼图是九宫格(即3格宽*3格高)的正方形状,每一格又细分为一个九宫格.在每一个小九宫格中,分别填上1至9的数字,让整个大九宫格每...

平顶山市15660562228： 从1,2,3,…9共9个数字中任取一个数字,取出数字为奇数的概率是5959. - ？
牢雨复方：[答案] ∵1,2,3,…9共9个数字中奇数有1,3,5,7,9共5个数, ∴取出数字为奇数的概率是 5 9. 故答案为: 5 9.

平顶山市15660562228： 从1,2,3,.9这9个数中任取3个不同的数字求和,结果是偶数的概率是? - ？
牢雨复方：[答案] 先求出是奇数的概率,和为奇数一定是一个奇数和一个偶数的和. (5*4)/(9*8)=5/18 是偶数的概率为1-5/18=13/18

平顶山市15660562228： 把1,2,3...9九个数字分别填入表中,使每一横行.竖行.斜行的三个数的和相等. - ？
牢雨复方： 8 1 6 3 5 7 4 9 2单数阶幻方 如3*3 5*5 7*7 等 方法口诀: 1居上行正中央,依次斜排右上方.上出格来下边写,右出格来左边填.

平顶山市15660562228： 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有 - -----种(用数字作答) - ？
牢雨复方： 9个数中,有5个奇数4个偶数 同时取4个不同的数,和为奇数分下面几种情况 1个奇数3个偶数,共有5 C 3 4=20种取法; 3个奇数1个偶数,共有=40种取法. ∴不同的取法共有60种. 故答案为60.

平顶山市15660562228： 把数字“1,2,3…9”,九个数用“+ - */=”符号列成三组等式,问该如何列?？
牢雨复方： 1+7=8,2*3=6,4+5=9

平顶山市15660562228： 将1,2,3,…,9这九个数字平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率是 - ----- - ？
牢雨复方： 9个数分成三组,共有组C 39C 36C 33A 33 =8*7*5 组,其中每组的三个数均成等差数列,有 {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}、{(1,2,3),(4,6,8),(5,7,9)}、 {(1,3,5),(2,4,6),(7,8,9)}、{(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)}、 {(1,5,9),(2,3,4),(6,7,8)},共5组. ∴所求概率为58*7*5 =156 . 故答案为:156 .

平顶山市15660562228： 从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个数字,2个数字之和为偶数的概率为 - _ - . - ？
牢雨复方：[答案] 从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个数字,所有的取法共有 C29=36种, 2个数字之和为偶数,说明这两个数都是偶数或都是奇数,故2个数字之和为偶数的取法有 C24+ C25=16, 故2个数字之和为偶数的概率等于 16 36= 4 9, 故答案为 4 9.