导数公式推导过程是什么？

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导数公式推导过程如下：

y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

常用导数：

y = C(C为常数) , y' = 0。

y=xn, y' = nxn-1。

y = ax, y' = lna*ax。

y = ex, y' = ex。

y = logax , y' = 1 / (x*lna)。

y = lnx , y' = 1/x。

y = sinx , y' = cosx。

y = cosx , y' = -sinx。

y = tanx , y' = 1/cos2x = sec2x。

y = cotx , y' = -1/sin2x= -csc2x。

y = arcsinx , y' = 1 / √(1-x2)。

y = arccosx , y' = - 1 /√(1-x2)。

y = arctanx , y' = 1/(1+x2)。

导数公式推导过程：

1、显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

2、这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

⒊、y=a^x，y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），y/△x=a^x(a^△x-1）／△x。

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）／△x=β／loga（1+β）＝1/loga（1+β）＾1/β。

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）＾1/β＝e，所以limβ→01/loga（1+β）＾1/β＝1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）／△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y=e^x。

4、y=logax，△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga/x，△y/△x=loga/x。

因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有lim△x→0△y/△x=logae/x，可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y=nx^(n-1）的推导了。因为y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx。

所以y'=e^nlnx·（nlnx)=x^n/x=nx^(n-1）。

5、y=sinx。

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）。

△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）／△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）／（△x/2）。

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）lim△x→0sin（△x/2）／（△x/2）＝cosx。

6、类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。

7、y=tanx=sinx/cosx。

y=/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x。

8、y=cotx=cosx/sinx，y=/sin^2x=-1/sin^2x。

9、y=arcsinx，x=siny，x=cosy，y=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2。

10、y=arccosx，x=cosy，x=siny，y=1/x=1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2。

11、y=arctanx，x=tany，x=1/cos^2y，y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2。

12、y=arccotx，x=coty，x=-1/sin^2y。

导数公式的推导过程涉及到微积分的基本概念和运算规则。下面是一些常见的导数公式及其推导过程：
1. 常数函数的导数：对于任意常数c，导数为0。
推导过程：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h。对于常数函数f(x) = c，我们有f(x+h) = c，因此[f(x+h) - f(x)]/h = 0/h = 0。取极限h->0，得到f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：对于指数函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，导数为f'(x) = nx^(n-1)。
推导过程：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h。将f(x) = x^n代入，得到[f(x+h) - f(x)]/h = [(x+h)^n - x^n]/h。我们可以利用二项式展开来展开(x+h)^n，并对其中的高次项进行化简，然后取极限h->0，最终得到f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = e^x，导数为f'(x) = e^x。
推导过程：可以使用极限或泰勒级数展开来推导这个结论。这里使用泰勒级数展开：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...。我们可以看到，每一项的导数都是它本身，所以对于e^x来说，每一项的导数都是它本身。因此，f'(x) = e^x。
这些是一些常见的导数公式及其推导过程。需要注意的是，导数公式的推导过程可能更加复杂，涉及到更多的数学技巧和推理。对于更复杂的函数，可能需要使用更高级的导数规则和技巧来进行推导。希望对您有所帮助！如有其他问题，我将很乐意为您解答。

导数公式推导的过程可以使用极限的定义来进行。下面是推导导数公式的一般步骤：

1. 首先，我们需要给出一个函数 y = f(x)，并定义一个点 x0。

2. 然后，我们计算函数在点 x0 处导数的定义极限，即：
f'(x0) = lim(h->0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

3. 将函数 f(x) 展开成泰勒级数，保留低阶项（h的一次幂）：
f(x0 + h) = f(x0) + f'(x0) * h + O(h^2)

4. 将展开式代入定义极限中：
f'(x0) = lim(h->0) [f(x0) + f'(x0) * h + O(h^2) - f(x0)] / h
= lim(h->0) f'(x0) + O(h) / h
= lim(h->0) f'(x0) + O(1)

5. 注意到 O(1) 是一个与 h 无关的常数，所以可以去掉 O(1)：
f'(x0) = lim(h->0) f'(x0) + O(1)
= f'(x0)

通过以上步骤，我们推导出了函数 f(x) 在点 x0 处的导数应该等于 f'(x0)。根据这个方法，我们可以推导出各种导数公式，包括常见函数的导数公式以及导数的运算法则。

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乳山市18047745944： 有关导数公式的推导 - ？
麻凤缬克： y'= lim (Δy/Δx)Δx->0记住导数的定义,自己推导出来的记得最牢固 该公式推导时注意指数式与对数式之间的联系

乳山市18047745944： 指数函数的导数公式是如何推导出来的? - ？
麻凤缬克： 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax(a为底数,x为真数) y'=1/x*lna y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x ...

乳山市18047745944： 请问基本初等函数的导数公式怎么推导? - ？
麻凤缬克：[答案] 根据定义用极限进行推导 例如x^2的导数,根据定义 lim(dx-->0)[(x+dx)^2-x^2]/dx =lim(dx-->0)[2x*dx+dx^2]/dx =lim(dx-->0)2x+dx =2x 其它的类似,自己试着推一推

乳山市18047745944： 一个简单导数公式应该怎么样推导,如f(x)/g(x) - ？
麻凤缬克：[答案] 楼上都答非所问,问的是「推导过程」,可从定义出发.导数的商公式证明:设有函数u = f(x)及v = g(x)(u/v)' = d/dx [f(x)/g(x)] = lim(Δx→0) Δy/Δx= lim(Δx→0) [f(x + Δx)/g(x + Δx) - f(x)/g(x)]/Δx= lim(Δx...

乳山市18047745944： 高数里的幂函数的导数是怎么推导的 - ？
麻凤缬克：[答案] 1、楼上网友的回答,纯属误导.2、下面提供十个导数公式的推导过程,其中包括楼主所需要的推导过程.3、这些推导过程都是一样的方法,是现在全世界认定的用定义推导的标准方法.这个方法是由莱布尼兹发明的.4、每张图片均可点击放大.

乳山市18047745944： 导数公式推导这几个公式是怎么推导出来的?[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)[af(x)]'=af'(x) a为常数/f(x)\'=f'(x)g(x) - f(x)g(x)'\g(x)/ {g(x)}2 - ？
麻凤缬克：[答案] 根据导数的定义和极限运算法则: 1.[f(x)+g(x)]' =lim(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x)+g(x+Δx)-g(x))/Δx) =(lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx)+(lim(Δx→0)(g(x+Δx)-g(x))/Δx) =f'(x)+g'(x). 2.[af(x)]' =lim(Δx→0)(af(x+Δx)-af(x))/Δx) =a*lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx) =af'(x). 3.[f(x)/g(x)]' =lim(Δx→...

乳山市18047745944： 基本初等函数的导数公式推导 - ？
麻凤缬克：[答案] C'=0(C为常数函数 (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2(secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2(arccosx)'=-1/(...

乳山市18047745944： 基本初等函数导数运算法则怎么推导? - ？
麻凤缬克：[答案] 教材上都有的,翻翻书吧!为你推导一个:对指数函数f(x) = e^x, 则f'(x) = (e^x)' = = lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h = lim(h→0)[e^(x+h)-e^x]/h = (e^x)*lim(h→0)(e^h - 1]/h = (e^x)*1 = e^x.

乳山市18047745944： 常用导数运算公式的推理过程 - ？
麻凤缬克： f(x)=lnx----f'(x)=1/x............f(x)=sinx----f'(x)=cosx.................................... 等公... 全文 (lnx)'=1/x 从定义出发 y'=lim(dy/dx) =lim[ln(x+dx)-lnx]/dx =lim [ln(1-dx/x)]/dx =lim ln(1-dx/x)^(-dx) =1/x 而那个sinx看同理可得,其实看看图像也知道了