拓扑学|笔记整理（1）——集合，函数，关系
探索拓扑学的奥秘：集合、函数与关系的入门之旅
欢迎踏上拓扑学的探索之旅，这是一场超越形状和具体细节，关注不变性质的数学盛宴。我们将基于经典的Munkres《拓扑学》第一章节，以批判性的思维来理解这个深邃的领域。
拓扑学的核心是研究在连续变换下保持不变的性质，比如开放集定义的拓扑空间，以及连通性和紧性等核心概念。想象一下，带把的凉水杯与不带把的保温杯在拓扑世界中，虽然外形不同，但其作为容器的基本功能是相同的，这就是只关注不变性质的体现，即使封闭正方体和球体形状各异，它们在拓扑学中也有其共通之处。
拓扑学的根基在于集合论和逻辑。我们从集合的定义开始，集合的并（∪）是对多个集合中元素的统一，"或"的数学含义在这里表示"至少包含一个"。空集（∅），这个看似简单却富含深意的概念，代表无元素的集合，对理解数学逻辑至关重要。
为了清晰表达，数学家为集合的概念制定了严谨的规则。空集作为子集的特殊情况，逻辑学中的"如果……则……"规则定义了空集作为前提的假并不会影响命题的真假。接下来，我们将深入探讨集合的差、补和运算，这些都是高中数学中的基础知识。
集合的集合（幂集）即包含所有子集的集合，用花体大写字母来表示这个概念。在理解并集和交集时，我们需要关注元素在嵌套集合中的位置，空集在某些上下文中作为并集元素时，需确保无歧义。
让我们转向集合论，笛卡尔积的定义就像在平面直角坐标系中绘制有序数对，清晰地定义了第一和第二分量。函数的严谨定义，作为集合之间关系的桥梁，其元素由对应法则、域、象集和值域构成。值与像的概念，如 ，则定义 为 的值，体现了函数的本质。
接下来，我们将深入讨论函数的限制、单射、满射、双射以及它们的反函数。像与原象的概念同样重要，映射的性质揭示了像和原象在保持集合性质上的差异。最后，我们将关系的概念引入，它是函数的扩展，如血缘关系等日常生活中的现象。
等价关系和次序关系的定义是拓扑学中的重要分支，等价关系如原点距离相等的关系，会形成等价类，如圆和原点。等价关系的性质与划分有着密切的联系，它们是划分理论的自然对应。
总结来说，本节带你初步领略了拓扑学的基石，强调了定义的严谨性。下一篇文章将深入探讨顺序关系，连接拓扑学与实分析的桥梁。感谢阅读，期待你在我的个人笔记专栏中发现更多知识的宝藏。尊重知识，让我们共同探索数学世界的无穷奥秘。
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丹涛盐酸： 集合与函数知识点归纳 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为 ; ②空集是任何集合的子集,记为 ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果 ,同时 ,那么A = B. 如果 那么 . [注] Z= {...
东安县17310684125： 高一数学第一章总结 - ？
丹涛盐酸： 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集...
东安县17310684125： 集合与映射的关系,什么是数集,什么是集合?? - ？
丹涛盐酸： 简单来说,所谓的一个集合'就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体. 一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集.构成集合的事物或对象称作元素或是成员.集合的元素可以是任何事物,可...
东安县17310684125： 如何学好集合,函数(本人刚升入高中),用描述法表示集合有什么要注意的? - ？
丹涛盐酸： 描述法: 常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字、符号或式子等描述出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做描述法.{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0
东安县17310684125： 拓扑空间 线性空间 有哪些区别 - ？
丹涛盐酸： 拓扑空间和线性空间的区别:拓扑空间是一个点的集合;线性空间是向量的集合.拓扑空间的定义仅依赖于集合论,是带有连续,连通,收敛等概念的最基本的数学空间.其定义为:设X是一个集合,O是一些X的子集构成的族,则(X,O)被...
东安县17310684125： 简介拓扑知识 - ？
丹涛盐酸： 拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支.起初它是几何学的一支,研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形,形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形,但不许割断和粘合);现在已发展成为研究连续性现象的数学分支.由于连...
东安县17310684125： 如何学习点集拓扑 - ？
丹涛盐酸： 拓扑是几何学,把它和图形联系起来吧,如果单单用集合的语言来学习拓扑会很枯燥,当然用集合论的语言,来描述拓扑,也包括几乎其它所有门类的数学,这是现代数学的习惯,所以也是很重要的.另外把拓扑跟实用性更明显的一些,微积分,方程,图论等等联系起来的话,或许会让初学者感到更踏实一些吧.还有数学这种东西数学这种东西也是分流派,用不同的方法来学习数学,所形成的“气场”也是完全不同的,如果你被动的陷入无尽的题海中,除非你是专业学习数学,而且工作之后,也和数学相关,否则,毕业不了几年,大部分的数学知识都会遗忘,并且会被你定义为一无是处,毫无用途.
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丹涛盐酸： 设X是一个非空集合,X的幂集的子集(即是X的某些子集组成的集族)T称为X的一个拓扑.当且仅当:1.X和空集{}都属于T;2.T中任意多个成员的并集仍在T中;3.T中有限多个成员的交集仍在T中.结合上题,你把空集、{a}、{a,b}代入就可以验证了.其它拓扑有{空,{a,b}}, {空,{b},{a,b}}, {空,{a},{b},{a,b}}
东安县17310684125： 闭包的拓扑概念 - ？
丹涛盐酸： 集合A的闭包定义为所有包含A的闭集之交.A的闭包是包含A的最小闭集. 集合 S 是闭集当且仅当 Cl(S)=S(这里的cl即closure,闭包).特别的,空集的闭包是空集,X 的闭包是 X.集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集(不一定是真...
东安县17310684125： 拓扑学是什么?干什么用的?在计算机领域又有什么功能? - ？
丹涛盐酸： 拓扑学2113(topology)是研究几何图形或空间在5261连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学4102科.它只考虑物体间的位置关系1653而不考虑它们的形状和大小.在拓扑学里,重要的拓扑性质包括连通性与紧致性. 拓扑学的用途:体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用.拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用. 在计算机领域的功能:拓扑的特点是从表面现象抽象出其背后的数学结构.一个最简单的例子是计算机中常用的图论.拓扑学中有一条定理:任何一个群G都有一个图,使得这个图的基本群为G.还有就是你可以把图看成胞腔复形的一维骨架,这样的话代数拓扑的工具就可以使用了.
