二阶常系数线性微分方程（基础知识篇）
（1）如 ''+ '+ 的微分方程称为 二阶线性微分方程
又叫 二阶非齐次线性微分方程
（2） ''+ ‘+ = 0 二阶齐次线性微分方程
（3）如果上述P(x)和Q(x)化为 p 和 q，
那么（1）为 二阶常系数 非齐次 线性微分方程
（2）为二阶常系数 齐次线 性微分方程
二，二阶线性微分方程解的结构
（1）二阶齐次线性微分方程解的结构
如果函数 y1 和 y2 是方程（2）的解，则函数y=C1 y1 + C2 y2（c1,c2为任意常数）也是方程（2）的解
如果函数 y1 和 y2 是方程（2）的两个线性无关的特解解，则函数y=C1 y1 + C2 y2（c1,c2为任意常数）是方程（2）的通解
例题：
证明y=C1 * cos x + c2 * sinx是方程y'' + y = 0的通解
y1=cos y2=sinx 是方程y'' + y = 0的两个解 而且 = = tan x不是常数
所以y''+y=0的两个解y1=cos x和 y2=sin x是线性无关的,
所以：y=c1cos x+c2sinx 是方程y''+y=0的通解
（2）二阶非齐次线性微分方程解的结构
一阶常系数线性微分方程
其中一阶微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x);二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y”+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。分类：当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。
高阶常系数线性微分方程解法
解 = 通解 + 特解例如，解微分方程y'' + 2y' + y = e^{-x}的步骤如下：特征方程λ^2 + 2λ + 1 = 0，得根λ_1 = λ_2 = -1。通解为C_1e^{-x} + C_2e^{-x}。特解设为p(x) = kxe^{-x}，代入方程求得k。总结来说，解决高阶常系数线性微分方程的关键在于理解特征...
请问四阶常系数齐次线性微分方程怎么解?
四阶常系数齐次线性微分方程：y^(4)-2y^(3)+5y^(2)-8y^(1)+4y=0 通解：(C1+C2t)e^t+C3cos2t+C4sin2t=0 解题思路：特征根的表得知 由te^t知两个一样的解 知(C1+C2t)e^t 另外一个知C3cos2t+C4sin2t 知(r-1)^2(r^2+4)所以，该四阶常系数齐次线性微分方程为y^(4)-2y...
二阶常系数线性微分方程怎么解
1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+...
线性常系数微分方程
线性常系数微分方程介绍如下：常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex 故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1 故 a=-2，b=1 对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x 设其特解为 y*=Ax+B 代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x...
三阶常系数齐次线性微分方程通解
1、三个线性无关的解：三阶常系数齐次线性微分方程可以分解为三个一阶常系数线性微分方程，因此其通解可以表示为三个线性无关的解的线性组合。2、形式唯一：三阶常系数齐次线性微分方程的通解形式是唯一的，即不同的三阶常系数齐次线性微分方程的通解形式是一样的。3、包含三个任意常数：三阶常系数...
如何解一阶常系数齐次线性微分方程?
解题过程如下图：
n阶线性常微分方程的常 指的是什么
常 -- 指的是：方程中只含未知函数的常微商，不含未知函数的偏微商。意思是说未知函数只是一个一元函数，它只有常微商。比如： y=y(x)： y''+2y'+y =0 此即：2阶线性常微分方程。又比如：u=u(x,y)：∂²u\/∂x² + ∂²u\/∂y&#...
二阶常系数线性微分方程
1、二阶常系数线性微分方程 标准形式： y″+py′+qy=f(x)当 f(x)=0，即 y″+py′+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程 当 f(x)≠0，即 y″+py′+qy=f(x)为二阶常系数非齐次线性微分方程 2、特征方程：一元二次方程 r2+pr+q=0 微分方程： y″+py′+qy=0 特征方程： r2+pr+...
一阶常系数微分方程求解公式
一阶常系数微分方程求解公式y=Ce^(-2x)+x-1\/2。若式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解。若式子可变形为y'=f(y\/x)的形式，设y\/x=u利用公式du\/(f(u)-u)=dx\/x求解。若式子可整理为dy\/f(y)=dx\/g(x)的形式，用...
类杨君瑞： 第一种:两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x).第二种:两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x).第三种:一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx).拓展:二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.
邵阳市13357794977： 什么是二阶常系数齐次微分方程 - ？
类杨君瑞： 就是左边最高次是二次倒数 右边是0的方程 楼上的y''+p(t)y'+q(t)y=0 如果 p(t) q(t)是常数的话 那么方程的解肯定是y=e^(kt) 所以y'=ke^(kt) y''=(k^2)e^(kt) 左右消去e^(kt) 就得到了k^2+pk+q=0 就是个一元二次方程 如果判别式小于0 就得到一对儿共轭虚根 需要用到复数i来表示k 最后再把解实数化
邵阳市13357794977： 二阶常系数齐次线性微分方程中的二阶,常系数,齐次,线性分别是什么意思 - ？
类杨君瑞： 二阶是指最高阶只有二阶即y＂ 常系数是指y＂, y',y前面的系数是常数 齐次是指微分方程等是右边为0 线性是指微分方程的形式y＂+P(x)y'+Q(x)y=0
邵阳市13357794977： 二阶非齐次微分方程的通解公式 ？
类杨君瑞： 二阶非齐次微分方程的通解公式:y''+py'+qy=f(x).其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.
邵阳市13357794977： 常系数二阶齐次线性微分方程怎么求解 - ？
类杨君瑞： r²+pr+q=0 1)△>0 y=c1e^r1x+c2e^r2x 2)△=0 y=(c1+c2x)e^rx 3)△<0 y=e^αx(c1cosβx+c2sinβx)
邵阳市13357794977： 什么叫二阶线性方程的特征根 - ？
类杨君瑞： 常系数线性微分方程:y″′-2y″+y′-2y=0,① ①对应的特征方程为: λ3-2λ2+λ-2=0,② 将②化简得: (λ2+1)(λ-2)=0, 求得方程②的特征根分别为:λ1=2,λ2=±i, 于是方程①的基本解组为:e2x,cosx,sinx, 从而方程①的通解为: y(x)=C1e2x+C2cosx+C3sinx,其中C1,C2,C3为任意常量.
邵阳市13357794977： 理论力学振动 什么叫二阶常系数线性齐次微分方程 - ？
类杨君瑞： 比如y'' py' qy=f(x),二就是y导数最高为二阶,线性就是关于y的各阶导数和y的方程是线性的,常系数就是p,q为常数,齐次就是f(x)为零.详细请参考《常微分方程》
邵阳市13357794977： 二阶常系数齐次线性微分方程通解 - ？
类杨君瑞： y'' - 2y' + 5y = 0, 设y = e^[f(x)],则 y' = e^[f(x)]*f'(x), y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x). 0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)], 0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5, 当f(x) = ax + b,a,b是常数时. f''(x) = 0, f'(x) = a. 0 = a^2 - 2a + 5. ...
邵阳市13357794977： 二阶常系数线性齐次微分方程???!!!什么玩应?？
类杨君瑞：ay＂+by'+cy=0 称为二阶常系数线性齐次微分方程; 首先,它是一个微分方程 最高阶为y'',所以是二阶 所有系数都是常数,所以是常系数 右边等于0,所以是线形 所有项都是一次的,所以是齐次 最后,称呼为“二阶常系数线形齐次微分方程”
