初三数学竞赛题

关于初三数学竞赛题~

1、
解：由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
由于m、n都是正整数，所以由上式知：(n-m)≥1，即：n≥m+1，
所以：m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1，
可得：n+1≤0，显然不成立；
所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；

2、
解：同理可得：(m+n+1)(n-m)=(k-1)m，··········①
由于k≥3，所以可得：n-m>0，即：n>m，n/m>1，
则有：n/m=(m+k)/(n+1)>1，
所以：m+k>n+1，
因此：m<n<n+1<m+k，则m<n<m+k；
由上可知，从m到m+k之间的正整数有k-1个，
但当k=3时，则：m<n<m+3，那么有两种情况：n=m+1，n=m+2，分别代入①式，有：
n=m+1时，得到：2m+2=2m，显然这是不成立的；
n=m+2时，得到：2(2m+3)=2m，显然这也是不成立的；
但当k≥4时，由m<n<m+k知，n的取值是从m+1到m+k-1，即：m+1≤n≤m+k-1，不妨设n=m+b，b代表从1到k-1之间的正整数，代入①式，得：
b(2m+b+1)=(k-1)m
解得：m=(b²+b)/(k-1-2b)，
则k-1-2b≥1，得：b≤(k-2)/2，
所以b的取值范围是：1≤b≤(k-2)/2，
如果取k=4，则1≤b≤1，则有
b=1时，m=2/(3-2)=2，此时n=2+1=3，

由于没有确定的k，所以无法求出本题的通解，但只要是k≥4，就一定存在正整数m、n，使得m(m+k)=n(n+1)成立。

一、19a^2+99a+1=0--（1）
b^2+99b+19=0--（2）
（2）可化为1+99/b+19/b^2=0
所以19*(1/b)^2+99*(1/b)+1=0--（3）
所以（1）和（3）为方程19x^2+99x+1=0,其中a,1/b为方程的两根。
所以利用韦达定理可知，a*1/b=a/b=1/19, a+1/b=-99/19
所以（ab+4a+1）/b=(a+1/b)+4*(a/b)=-99/19+4*1/19=-95/19=-5
二、 题目怪怪的，是不是打错了。若题目为1/a+1/b=1/(a-b)
所以（a+b）/ab=1/(a-b)
所以b^2+ab-a^2=0.
所以b=[(根号5-1)/2]a,或b=[(-根号5-1)/2]a（舍去）
所以b/a=(根号5-1)/2.
三、1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)
所以1/a+1/b=1/(a+b+c)-1/c.
所以(a+b)/ab=(c-a-b-c)/[c(a+b+c)].
所以(a+b)/ab=-(a+b)/[c(a+b+c)].
所以a+b=0或ab=-ac-ba-c^2.
当a+b=0时,a=-b不等于0，原方程化为1/c=1/c,c不等于0
所以a=-b不等于0，c不等于0时存在实数a,b,c满足题目。
当ab=-ac-ba-c^2s时,所以ab+ac+bc+c^2=0.
所以（a+c）(b+c)=0.
所以a=-c或b=-c
所以a=-c不等于0，b不等于0时存在实数a,b,c满足题目,
或所以b=-c不等于0，a不等于0时存在实数a,b,c满足题目。
综上所述a=-b不等于0，c不等于0或a=-c不等于0，b不等于0或b=-c不等于
0，a不等于0时存在。
四、假设 根号5是有理数，
设 根号5=p/q,
其中，p,q是正的自然数且互质。
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整
除,则p^2也不能被5整除，得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p与q有公因子5。
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数。
完成！！！

1题： 将原等式化为 b²-ab+1/2a+2=0

因为b是实数，所以根的判别式△≥0

即a²-2a-8≥0 十字相乘得(a-4)(a+2)≥0

所以解得 a≥4 或 a≤-2

3题，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．（图自己画）
由已知可得
BE=AE=根号6 ，CF＝2倍根号2 ，DF＝2倍根号6 ，
于是 EF＝4＋根号6 ．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD ＝ 2+2倍根号6

3题
x1=1 x2=2 x3=3 x4=4
x5=1 x6=2 x7=3 x8=4
所以2010=4*502+2 所以x2010=2

4题
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
10（a-b）=S 15(a-c)=2S x(b-c)=S
由3个式子可得，x=30． 所以t=15 （分）

呵呵 和我去竞赛的题一样耶

好老的题呀。

---

绩溪县17529604760： 初三数学竞赛题 - ？
诸杭美威： 2008年全国初中数学竞赛山东赛区 预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题 一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分):下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内. 1.已知函数y = x2 + 1– x ,...

绩溪县17529604760： 初三一个数学竞赛题某班参加学校举行的竞赛,有a,b,c三道题,每 ？
诸杭美威： 设答对a的有x人,答对b的有y人,c的有z人,则x y=45x z=35y z=40得出答对a的有20人,b 的有25,c的有15人得出总分20*20 25*40 15*40=2000分因为三个都答对的有3个人,两个答对的有14个人,总人数x y z中肯定多算了答对3个的和答对两个的,所以用x y z=60人减去多算的(答对三个的多算了两次,答对两个的多算了一次)得出60-2*3-14=40人得出平均分=2000/40=50分晕,好久没做题了

绩溪县17529604760： 初三数学竞赛题 - ？
诸杭美威： P-Q = (2^1999+1)(2^2001+1)-(2^2000+1)^2 /(2^2000+1)(2^2001+1) =(2^2001+2^1999-2^200...

绩溪县17529604760： 初三数学竞赛题3？
诸杭美威： 答案是B,首先,面积最大的情况是a,b互为直角边,此时面积为ab/2.最小面积趋于0∵(a-b)²≥0,即a²+b²-2ab≥0;∴a²+b²即B的(a ^2+b^2)/2可以转化为a ^2+b^2)≥2ab/2≥ab; 所有B错.

绩溪县17529604760： 九年级数学竞赛题？
诸杭美威： 如果有两个正整数解,设其为u.v 由韦达定理可得u+v=ab,uv=0.5(a+b) 因为uv都是正整数,所以(u-1)(v-1)≥0 即uv-(u+v)+1≥0,所以0.5(a+b)-ab+1≥0,4ab-2a-2b-4≤0,(2a-1)(2b-1)≤5 因为ab都是正整数,而且2a-1,2b-1都是奇数,所以2a-1=5,2b-1=1或者2a-1=1,2b-1=5 解得(a,b)=(1,3) or (3,1),所以u,v分别等于1和2 因此当且仅当a=1,b=3 or a=3,b=1时,原方程有两个正整数根,分别为1,2.

绩溪县17529604760： 找数学初三竞赛题?？
诸杭美威： 第十六届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 一、选择题(4选1型,每小题选对得5分,否则得0分,本大题满分50分) 1.方程 的解是 ( ) A. B. C. D.1 2.设 ,则 = ( ) A.7 B. C.- D.0 3.绝对值方程 的不同实数解共有( )个. A.2 B.4 C.1 D.0 4.设 ...

绩溪县17529604760： 几道初三的数学竞赛题？
诸杭美威： 2 、解: 先对1/a-a的绝对值=1 ,两边平方,算出a平方分之一加上a平方等于3;再对1/a+a平方 ,得出5 ,再进行开平方取绝对值 .根号5. 2、由题意可知 a>0 去掉绝对值 解出a=√5 -1/2 代进去就可以啦 答案还是根号5

绩溪县17529604760： 初三数学题 竞赛题？
诸杭美威： 解:连结BO并延长交AD于H ∵AB=BD,O为圆心 ∴BH⊥AD ∵∠ADC=Rt∠ ∴BH∥CD ∴△OPB∽△CPD ∴CD:BO=CP:OP ∵BO=1.5,CP=0.6 ∴PO=0.9 ∴CD=1 于是AD=√(AC^2-CD^2)=2√2 又∵OH=1/2CD=1/2 ∴BH=2 ∴AB=√(AH^2+BH^2)=√6 BC=√(AC^2-AB^2)=√3 ∴四边形ABCD的周长为1+2√2+√3+√6希望帮到你o(∩_∩)o不懂追问哦

绩溪县17529604760： 初三数学竞赛练习题~!!急求解答!谢谢 - ？
诸杭美威： 过程不好打,我语言描述下,如有不明白可问我1.由三角形三边关系可知BC小于100大于20,由于角BAC是钝角可推出BC大于10倍根号下52,即可知BC大于70,由BD,DC为正整数知BC,DC也均为正整数.易知AC^2-AB^2=BC*DC,而BC小于...

绩溪县17529604760： 初三数学竞赛题？
诸杭美威： 解:|x-2|+|x-4|=|x-2|+|4-x|≥|x-2+4-x|=2 所以|x-2|+|x-4|的最小值为:2, 因为对于任何实数x,y,都有|x+2|+|x+4|>=m(-y²+2y)成立, 所以m(-y^2+2y)≤2恒成立, 当m=0时,, 则0<=2,成立 当m≠0时,m(-y²+2y)=m[-(y^2-2y)]=m[-(y-1)^2+1], 因为-y^2+2y=-(y-1)^2+1≤1, 所以m(-y²+2y)≤m≤2, 很显然,当m=2时,m可取最大值.