初二数学

初二数学主要是学什么？~

初二上册为：三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与因式分解、分式。初二下册为二次根式、勾股定理、四边形、一次函数和数据的分析。数学（mathematics、maths）是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。

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1.分式有意义:确定字母的取值范围,使分式有意义的条件是:分式的分母不为0.
例：A： B: (x ≠2或x≠-1) C:
2. 分式无意义:确定字母的取值,使分式无意义的条件是:B=0,再解方程.
A: B: C:
3. 分式值为0.确定字母的取值,使分式值为0的条件是: .
A: B C:
应用性质和符号法则变化解答下列问题:
(1)不改变分式的值,使分式 的分子,分母不含“-”号.
(2)不改变值,使分式 分子,分母最高次项系数为正.
(3)不改变值,使分式 的分子,分母各项系数均为整数.
(4)完成填空: (2) ,(3) .(4) .
例：检查分式概念问题：
（1）当x 时，代数式 是分式；（2）在 中，整式有 ，分式有 .
本节达标反馈练习题:
A:1.在 中,整式有 ,分式有 .
2. 当x 时,分式 值为0;x 时,这个分式值有意义,x 时,这个分式值无意义.
3.把分式 的a,b都扩大3倍,则分式的值 .
4.完成填空: ,
5.不改变分式值,使分式的分子,分母中各项的系数化为整数, .
6.不改变分式值,使分式的分子,分母中最高次项系数为正的. = .
B: 1.判断正误:
(1) ( ) (2) ( )
(3) ( ) (3) ( )
2. 说明下面等号右边是怎样从左边得到的:
(1) ( ) (2) ( )
3.不改变分式的值和它本身的符号,使下列的第二个分式的分母和第一个分式的分母相同:
4..当x 时，分式 的值为负．6.分式 ,当x 时，分式无意义; 当x 时，分式值为0.
四种运算与变形(第二课时)
1.约分变形:约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.
例:
2.通分变形:通分是异分母的几个分式化为相同分母的过程,是与约分运算相反,为了加减法的运算,不惜把自身的简美化繁.其根据还是分式的基本性质.
例 (1). (2). (3) .
3.乘除运算:1)法则:
2)步骤:当分子,分母都是单项式时可直接约分;
当分子,分母是多项式时,先做因式分解,然后按运算法则进行.
例:计算
本节知识反馈(含作业)
A.1,约分① ② ③
2.通分① ② .
3.计算① ② ③ ④ ,
B: 4. 约分:
5. 计算:① ②
4.加减运算(第三节)
1)同分母分式加减法则
2)异分母分式加减法则 (约简)
运算步骤:①先确定最简公分母; ②对每项通分,化为分母相同;
③按同分母分式运算法则进行; ④注意结果可否化简.
例: ① ② ③
④ ⑤
本节达标反馈（含作业）
A：计算 1. 2. 3. 4. 5.
6.
B:7. 8. 9.
11. C.12.已知: 求A,B.
13.
分式四则混合运算(第4节课)
例:1. 2. 3.
本节反馈(含作业)
A:1. 2. 3.
4.
B: 5. 6.
C:7.当 时,求
的值.

两点问题;(第5节)
1.含字母系数的一元一次方程或可看作此问题的公式变形
例;(1)
(2) .
例2:公式变形:在公式
反馈:
A:1.解关于x的方程;(1)a(x-b)=cx,(a≠c)
(2)
2, 在
B:3.解关于x的方程.
①
②
4.(1)已知: 求V.
(2)已知:
(3)在
2解可化为一元一次方程的分式方程.

解题思路：
整 式 加 减

整式的加减是全章的重点，是我们今后学习方程，方程组及分式，根式等知识的基础知识，我们应掌握整式加减的一般步骤，达到能熟练地进行整式加减运算。

一、本讲知识重点

1．同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

例如，在多项式3m2n+6mn2-mn2-m2n中，3m2n与-m2n两项都含字母m,n，并且m的次数都是2，n的次数都是1，所以它们是同类项；6mn2与-mn2两项，都含有字母m,n，且m的次数都是1，n的次数都是2，所以它们也是同类项。

在判断同类项时要抓住“两个相同”的特点，（即所含字母相同，并且相同字母的次数也相同）并且不忘记几个常数也是同类项。

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

例如：合并同类项3m2n+6mn2-mn2-m2n中的同类项：

原式=(3m2n-m2n)+( 6mn2-mn2)
=(3-)m2n+(6-)mn2
=m2n+mn2

合并同类项的依据是：加法交换律，结合律及分配律。要特别注意不要丢掉每一项的符号。

例如，合并下式中的同类项：-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9

解：原式=-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9(用不同记号将同类项标出，不易出错漏项)
=(-3x2y-7x2y)+(5xy2-6xy2)+(4-9)（利用加法交换律，结合律将同类项分别集中）
=(-3-7)x2y+(5-6)xy2-5（逆用分配律）
=-10x2y-xy2-5（运用法则合并同类项）

多项式中，如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结果为0。如：
7x2y-7x2y=0，-4ab+4ab=0，-6+6=0等等。

有时我们可以利用合并同类项的法则来处理一些问题，如，多项式2(a+b)2-3(a+b)2-(a+b)2-0.25(a+b)2中，我们可以把(a+b)2看作一个整体，于是可以利用合并同类项法则将上式化简：原式=(2-3--0.25)(a+b)2
=-(a+b)2，在这里我们将合并同类项的意义进行了扩展。

3．去括号与添括号法则：

我们在合并同类项时，有时要去括号或添括号，一定要弄清法则，尤其是括号前面是负号时要更小心。

去括号法则：括号前面是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里各项都不变符号；括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里各项都改变符号。即a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c。

添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。即a+b+c=a+(b+c), a-b+c=a-(b-c)

我们应注意避免出现如下错误：去括号a2-(3a-6b+c)=a2-3a-6b+c，其错误在于：括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要改变符号，而上述作法只改变了3a的符号，而其它两项末变，因此造成错误。正确做法应是：a2-(3a-6b+c)=a2-3a+6b-c。又如在m+3n-2p+q=m+( )中的括号内应填上3n-2p+q，在
m-3n-2p+q=m-( )中的括号内应填上3n+2p-q。

4．整式加减运算：

（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。如单项式xy2, -3x2y, 4xy2,
-5x2y的和表示xy2+(-3x2y)+4xy2+(-5x2y)，又如：a2+ab+b2与2a2+3ab-b2的差表示为(a2+ab+b2)-(2a2+3ab-
b2)

（2）整式加减的一般步骤：
①如果遇到括号，按去括号法则先去括号；
②合并同类项
③结果写成代数和的形式，并按一定字母的降幂排列。

整式加减的结果仍是整式。
从步骤可看出合并同类项和去括号、添括号法则是整式加减的基础。

二、例题

例1、合并同类项
（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)
（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)]
（3）(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2)

解：（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)
=3x-5y-6x-7y+9x-2y （正确去掉括号）
=(3-6+9)x+(-5-7-2)y （合并同类项）
=6x-14y

（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)] （应按小括号，中括号，大括号的顺序逐层去括号）
=2a-[3b-5a-3a+5b] （先去小括号）
=2a-[-8a+8b] （及时合并同类项）
=2a+8a-8b （去中括号）
=10a-8b

（3）(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2) （注意第二个括号前有因数6）
=6m2n-5mn2-2m2n+3mn2 （去括号与分配律同时进行）
=(6-2)m2n+(-5+3)mn2 （合并同类项）
=4m2n-2mn2

例2．已知：A=3x2-4xy+2y2，B=x2+2xy-5y2
求：（1）A+B （2）A-B （3）若2A-B+C=0，求C。

解：(1）A+B=(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2)
=3x2-4xy+2y2+x2+2xy-5y2（去括号）
=(3+1)x2+(-4+2)xy+(2-5)y2（合并同类项）
=4x2-2xy-3y2（按x的降幂排列）

（2）A-B=(3x2-4xy+2y2)-(x2+2xy-5y2)
=3x2-4xy+2y2-x2-2xy+5y2 （去括号）
=(3-1)x2+(-4-2)xy+(2+5)y2 （合并同类项）
=2x2-6xy+7y2 （按x的降幂排列）

（3）∵2A-B+C=0

∴C=-2A+B
=-2(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2)
=-6x2+8xy-4y2+x2+2xy-5y2 （去括号，注意使用分配律）
=(-6+1)x2+(8+2)xy+(-4-5)y2 （合并同类项）
=-5x2+10xy-9y2 （按x的降幂排列）

例3．计算：
（1）m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2)

（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an)

（3）化简：(x-y)2-(x-y)2-[(x-y)2-(x-y)2]

解：（1）m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2)
=m2-mn-n2-m2+n2 （去括号）
=(-)m2-mn+(-+)n2 （合并同类项）
=-m2-mn-n2 （按m的降幂排列）

（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an)
=8an+2-2an-3an-an+1-8an+2-3an （去括号）
=0+(-2-3-3)an-an+1 （合并同类项）
=-an+1-8an

（3）(x-y)2-(x-y)2-[(x-y)2-(x-y)2] [把(x-y)2看作一个整体]
=(x-y)2-(x-y)2-(x-y)2+(x-y)2 （去掉中括号）
=(1--+)(x-y)2 （“合并同类项”）
=(x-y)2

例4求3x2-2{x-5[x-3(x-2x2)-3(x2-2x)]-(x-1)}的值，其中x=2。

分析：由于已知所给的式子比较复杂，一般情况都应先化简整式，然后再代入所给数值x=-2，去括号时要注意符号，并且及时合并同类项，使运算简便。

解：原式=3x2-2{x-5[x-3x+6x2-3x2+6x]-x+1} （去小括号）
=3x2-2{x-5[3x2+4x]-x+1} （及时合并同类项）
=3x2-2{x-15x2-20x-x+1} （去中括号）
=3x2-2{-15x2-20x+1} （化简大括号里的式子）
=3x2+30x2+40x-2 （去掉大括号）
=33x2+40x-2

当x=-2时，原式=33×(-2)2+40×(-2)-2=132-80-2=50

例5．若16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项，求3m+2n的值。

解：∵16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项

∴对应x,y的次数应分别相等

∴3m-1=5且2n+1=5

∴m=2且n=2

∴3m+2n=6+4=10

本题考察我们对同类项的概念的理解。

例6．已知x+y=6，xy=-4，求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值。

解：(5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)
=5x-4y-3xy-8x+y-2xy
=-3x-3y-5xy
=-3(x+y)-5xy

∵x+y=6，xy=-4

∴原式=-3×6-5×(-4)=-18+20=2

说明：本题化简后，发现结果可以写成-3(x+y)-5xy的形式，因而可以把x+y，xy的值代入原式即可求得最后结果，而没有必要求出x,y的值，这种思考问题的思想方法叫做整体代换，希望同学们在学习过程中，注意使用。

三、练习

（一）计算：

（1）a-(a-3b+4c)+3(-c+2b)

（2）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)

（3）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]}

（二）化简

（1）a>0，b<0，|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1|

（2）1<a<3，|1-a|+|3-a|+|a-5|

（三）当a=1，b=-3，c=1时，求代数式a2b-[a2b-(5abc-a2c)]-5abc的值。

（四）当代数式-(3x+6)2+2取得最大值时，求代数式5x-[-x2-(x+2)]的值。

（五）x2-3xy=-5，xy+y2=3，求x2-2xy+y2的值。

练习参考答案：

（一）计算：

（1）-a+9b-7c （2）7x2-7xy+1 （3）-4

（二）化简

（1）∵a>0, b<0

∴|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1|
=6-5b-(3a-2b)-(1-6b)
=6-5b-3a+2b-1+6b=-3a+3b+5

（2）∵1<a<3

∴|1-a|+|3-a|+|a-5|=a-1+3-a+5-a=-a+7

（三）原式=-a2b-a2c= 2

（四）根据题意，x=-2,当x=-2时，原式=-

（五）-2（用整体代换）

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