三角恒等式有哪些?
三角函数
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
含有与三角形三个内角有关的三角函数的恒等式,叫做三角恒等式
常见的三角恒等式
设A,B,C是三角形的三个内角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
三倍角公式
sin3a=3sina-4(sina)^3
cos3a=4(cosa)^3-3cosa
tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化积
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
含有与三角形三个内角有关的三角函数的恒等式,叫做三角恒等式
常见的三角恒等式
设A,B,C是三角形的三个内角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
三角恒等式的应用
(一)不等式的证明
例一
已知A,B,C是三角形的三个内角
求证cotA+cotB+cotC>=√3
cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0
(cotA+cotB+cotC)^2>=3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3
所以cotA+cotB+cotC>=√3
三角公式
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)�6�1sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(b)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
5.半角公式
sin2(a2)=1-cos(a)2
cos2(a2)=1+cos(a)2
tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
6.万能公式
sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
7.其它公式(推导出来的 )
a�6�6sin(a)+b�6�6cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan�0�8=ba
a�6�6sin(a)+b�6�6cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan�0�8=ab
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2
1.万能公式
令tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
2.辅助角公式
asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)
cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]
sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]
tanr=b/a
3.三倍角公式
sin(3a)=3sina-4(sina)^3
cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa
tan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]
4.积化和差
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
5.积化和差
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
三角公式
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)�6�1sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(b)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
5.半角公式
sin2(a2)=1-cos(a)2
cos2(a2)=1+cos(a)2
tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
6.万能公式
sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
证明:
利用常见的三角恒等式(1)
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotX*tanX=1
tanA*cotAcotBcotC+tanB*cotAcotBcotC+tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC*cotAcotBcotC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
证明:
(cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1
x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0
x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)]
x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2]
x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2]
x=-cosAcosB+-sinAsinB
x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B)
x=cosC或x=-cos(A-B)
所以
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
(4)
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
证明:
cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[cos(B/2-C/2)-cos(B/2+C/2)]
-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)-2[cos(B/2+C/2)]^2
cosB+cosC=2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
证明:
设三角形ABC的外心为O
S△ABO+S△ACO+S△CBO=S△ABC
(1/2)RRsin2C+(1/2)RRsin2B+(1/2)RRsin2A=(1/2)bcsinA=(1/2)2RsinB*2RsinC*sinA
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
证明:
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
=[2cos(C/2)]*[2cos(A/2)cos(B/2)]
=[2sin(A/2+B/2)]*[cos(A/2+B/2)+cos(A/2-B/2)]
=2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)
=sin(A+B)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)
=sinC+2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=sinC+sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=sinC+sinA+sinB
内角和180
三角函数的恒等式有哪些?
三角函数的八个基本恒等式如下:恒等式一:sin^2x+cos^2x=1;恒等式二:sin2x=2\/sinx\/cosx;恒等式三:cos2x=cos2x-\/sin^2x=1-sin^2x;恒等式四:sin3x=3sinx-4sin^3x;恒等式五:cos3x=4cos^3x-3cosx;恒等式六:sin4x=2sin2xcos2x=4sinxcosxcos2x-2sin^22x;恒等式七:cos4x=co...
恒等式公式
恒等式公式如下:一、三角恒等式:sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;tan(kπ+α)=tanα;cot(2kπ+α)=cotα;sec(2kπ+α)=secα;csc(2kπ+α)=cscα;sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=-cosα;tan(π+α)=tanα;二、物质的量恒等式 n=m\/M=V气\/...
三角恒等式常见的三角恒等式及其证明
首先,三角恒等式tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC,其证明如下:利用和角公式tan(A+B) = (tanA + tanB) \/ (1 - tanAtanB),将C替换为π - A - B,得到-tanC(1 - tanAtanB) + tanC,化简后得tanAtanBtanC。其次,cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1,通过tanX * cotX = 1和...
三角恒等公式
tan(2x) = (2tan(x)) \/ (1 - tan^2(x))三倍角公式:sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)tan(3x) = (3tan(x) - tan^3(x)) \/ (1 - 3tan^2(x))这些三角函数恒等式在解决三角函数问题、计算机图形学、物理学、工程学等领域中都非常有用...
三角恒等式公式总结
三角恒等式公式总结如下:两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 、sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ、sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ、tan(α+β)=(tanα+tanβ)\/(1-tanα·tanβ)、tan(α-β)=(...
三角恒等变换公式有那些?
我们可以利用二倍角公式 sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x),将 sin(2x) 代入恒等式中,得到:sin(x) * cos(x) = (2 * sin(x) * cos(x)) \/ 2 = sin(2x) \/ 2 因此,恒等式成立。例题2:求证恒等式 tan(x) + cot(x) = sec(x) * csc(x).解析:我们可以利用正切和余切...
三角恒等变换公式有哪些?
恒等式:sin²α+cos²α=1 倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos²α-sin²α,tan2α=(2tanα)\/(1-tan²α)辅助角公式:sinx+cosx=√2sin(x+π\/4),sinx-cosx=√2cos(x-π\/4),sinxcosx=(sinx+cosx)\/2 和差化积公式:sinα+sinβ=2sin((α...
三角恒等式?
指的是三角这部分的一些等式变换,多为一些公式。在研究三角函数里,无论自变量(就是通常说的角),是何数,这个等式都成立。所谓的《成立》,不附加任何条件。《三角恒等式》有很多。它也包括《基本变形等式》,(如 :sin²α+cos²α=1.)一般说来,题目说的,有54个。常常称为诱导...
三角恒等式有哪些?
sin0°=0,sin90°=1,sin180°=0,sin270°=﹣1,sin360°=0 ;cos0°=1,cos90°=0,cos180°=﹣1,cos270°=0,cos360°=1 ;tan0°=0,tan90°不存在,tan180°=0,tan270°不存在,tan360°=0
三角恒等式有哪些
tana=2t\/(1-t^2)2.辅助角公式 asint+bcost=(a^2+b^2)^(1\/2)sin(t+r)cosr=a\/[(a^2+b^2)^(1\/2)]sinr=b\/[(a^2+b^2)^(1\/2)]tanr=b\/a 3.三倍角公式 sin(3a)=3sina-4(sina)^3 cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa tan(3a)=[3tana-(tana)^3]\/[1-3(tana^2)]4.积...
水疤结石: 三角公式 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin...
柳河县18791848530: 三角恒等式具体有哪些? - ?
水疤结石: 三角函数 sinx cosx tanx cotx secx cscx 含有与三角形三个内角有关的三角函数的恒等式,叫做三角恒等式 常见的三角恒等式 设A,B,C是三角形的三个内角 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 (cosA)^2+(cosB)^2+(...
柳河县18791848530: 常用三角恒等式 - ?
水疤结石: 二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a) 半角公式 sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan...
柳河县18791848530: 三角恒等式 - 搜狗百科?
水疤结石: 平方关系: SIN方A+COS方B=1 1+TAN方A=SEC方A 1+COT方A=CSC方A 倒数关系:SIN A*CSC A=1 COS A*SEC A=1 TAN A*COT A=1 商的关系:TAN A=SIN A/COS A 两角和差公式:sin(A+/-B)=sinAcosB+/-cosA sinBcos(A+/-B)=...
柳河县18791848530: 三角恒等式我需要背下来哪些啊 求详解谢谢 - ?
水疤结石: 解析: (1) sec²α=1+tan²α (2) 能记住的全记住,能帮助解题. (3) 记不住的话,用笨办法慢慢推导吧.
柳河县18791848530: 求所有三角恒等变换公式,包括各种变式、万能公式! - ?
水疤结石:[答案] 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(...
柳河县18791848530: 三角恒等式公式有什么? - ?
水疤结石:[答案] 1.万能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 2.辅助角公式 asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)] sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)] tanr=b/a 3.三倍角公式 si...
柳河县18791848530: 证明三角恒等式的方法有哪些 - ?
水疤结石: 简单的恒等式一般是从等式一边证到等式另一边 复杂的恒等式一般是“两面夹击,中间会师”.方法上要用到和差角公式、倍角公式、简单恒等式等多次. 有三角形背景的恒等式要考虑正弦定理、余弦定理、正切定理等.如果从角度关系入手较难,可以考虑把角度变量代换成边长、内切圆半径、外切圆半径或多个变量整体用面积表示.还可以考虑在恒等式两侧同时乘上一个量,找几何意义
柳河县18791848530: 求所有三角恒等变换公式.包括sin,cos,tan,cot,sec,csc.大学,不定积分要用. - ?
水疤结石:[答案] sinx^2+xos^2=1,sinx*cotx=cosx,cosx*tanx=sinx,(secx)^2=1+(tanx)^2,(cscx)^2=1+(cotx)^2