要初中数学难题
问题超难，可以说至少是两个超难大题合并而来，
Glitter莆田火老师给出了答案，结果是正确的，没有采纳，遗憾，不过他的解答用了三角函数，甚至三倍角公式，可能初中生不解，
下面这个解答是纯几何的，
解答中的第一部分，关于由三角形两倍角关系求三边关系拓展为三倍角求三边关系，这就是超难度大题(其实两倍角已经有难度了)，这还仅仅是本题解答中的一小部分，曾经在做相似形的课件时，本人把这个推广用作思考题，解答中把 AE 的长度 4 用字母 d 表示，就是要把这个三边关系亮出来，解答中的第二部分，找出线段关系列方程不算太难，但其中的计算太繁杂，以致占了整个解答的一半以上，其中还略去了许多计算步骤，第三部分解方程组，可以说是高次方程组啊，化简到最后还是三次方程，这道题花了我整整两天时间，难啊。
1.直角三角形ABC（C是直角）的直角边被点D、E分为三等份，证明：如果BC=3AC,则∠AEC，∠ADC和∠ABC的和为90°。
2、点K是正方形ABCD中AB边的中点，点L分对角线AC的比为AL:LC=3:1。证明：∠KLD是直角。
3、通过正方形ABCD的顶点A引直线L、M与它的边相交。由点B和D引这两条直线的垂线BB^1,BB^2,DD^1,DD^2。证明：线段B^1B^2和D^1D^2垂直且相等。
2.三角形CEF,三角形ABE和三角形ADF的面积是3,4和5,求三角形AEF的面积
1、在下列性质中，矩形有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行
2、已知：菱形的周长等于它的较短对角线长的4倍，则它的各个角是 （ ）
A、60°或120° B、45°或135°
C、30°或150° D、以上答案都不对
3、同学们都玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。如图，看到的是万花筒的一个图案， 图中所有的小三角形均是完全一样的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心（ ）
A、顺时针旋转60°得到的 B、顺时针旋转120°得到的
C、逆时针旋转60°得到的 D、逆时针旋转120°得到的
4、如图，O是正方形ABCD内的一点，如果△AOB是一个等边三角形，那么∠DCO的度数为________。
5、天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯铺上某种红色的地毯，已知这种地毯每平方米的售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要_________元。
6、如图，在梯形ABCD中，AB=AD=DC，BD⊥CD，则∠C=__________。
7、已知，如图，梯形ABCD中，AD//BE，DM=MC，AF⊥BC，∠B=45°，AF=3，EF=5，则梯形ABCD的面积为________________。
8、有一条长为1000m的路基，它的横截面是一个等腰梯形ABCD，已知路基基顶AB=6m，路基的高为2.3m，路基基底比基顶宽0.5m，则要建造这样的一段路基一共需要的土石方数位________________。
9、下列说法不正确的是（ ）
A、等腰梯形的对角线相等
B、平行四边形的对角线互相平分
C、菱形的对角线相等
D、矩形的对角线相等
OK，我知道的全给你了
答案：
1、利用三角形AED相似于BEA，得∠ABC=∠EAD,又∠CAE=∠CEA=45°，就可证明
2、利用勾股定理证明，求出DL、KL、KD的长度，分别根号十、根号十、根号二十
3、这一题真有难度，我有一个比较烦的方法，利用坐标关系，把直线L、M的交点设出来，就可以用来表示出B^1,B^2,D^1,D^2四点，那就可以解决了
一、1、C 2、A 3、D
4、15° （提示：BC=AB =BO ，所以三角形BOC为等腰三角形，利用等腰三角形底角相等，求出∠BCO，再求∠DCO）
5、420 （提示：地毯的总长度等于楼梯的水平长度和垂直高度的和，所以地毯的面积为（5+2）×2=14m2 ，总价为14×30=420元）
6、60°
7、12 （提示：由条件知道梯形ABCD的面积等于三角形ABE的面积）
8、14375m2
9、C
（1）∠BAD=∠OAC
(2)AH等于△ABC外接圆的半径
（3）MH=NO
1）
延长AO，交圆O于点E，连结CE，则：
∵∠ACE=∠ADB=90°，∠AEC=∠ABC
∴△ACE∽△ADB
∴∠CAE=∠DAB
即，∠BAD=∠OAC
（2）
连结CH并延长，交AB于点F，过点O作OP⊥AC于点P
∵H是垂心
∴CF⊥AB
∴AF=AC*cos∠FAC=AC*cos60°=1/2AC
∵AP=1/2AC
∴AF=AP
由（1）可知
∠FAH=∠PAO
且∠AFH=∠APO=90°
∴△AFH≌△APO
∴AH=AO
即：AH等于△ABC外接圆的半径
（3）
由（2）得：
AH=AO
∴∠AHO=∠AOH
∴180°-∠AHO=180°-∠AOH
即：∠AHM=∠AON
由（1）得：
∠MAH=∠NAO
又∵AH=AO
∴△MAH≌△NAO
∴MH=NO
已知，抛物线 y=ax^2+bx+c 经过点A（1，0），B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）若△ABC的外接圆⊙O'交y轴不同点C的点D，⊙O'的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式.
（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O'的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由.
1).因为X1=1 ，X2=5 ，所以对称轴为x=3 ，所以顶点为(3,4)
设抛物线为y=a(x-3)^2 + 4 ,把x=1 ,y=0 代入其中解得：a=-1
所以抛物线为y=-(x-3)^2 + 4 =-x^2+6x-5 ,C为(0,-5)
(2).由割线定理得：OA*OB=OC*OD
所以 1 * 5 = 5 *OD ,OD=1 , D点为(0，-1)
因为由垂径定理得D、E关于对称轴x=3 对称，所以E为( 6，-1)
由待定系数法得直线CD为：y=2/3 *x –5
(3).因为△CDE为RT△ 且DE/CD= 3/2 ,
所以OF/OC=3/2 或 OC/OF=3/2 ,解得：OF=15/2 或OF=10/3
所以F点为F(-15/2 ,0)或(15/2 ,0) 或(10/3 ,0 )或(-10/3 ,0)
当F点为F(-10/3 ,0) .tan∠FOC=tan∠CED=2/3 ,所以∠FOC=∠CED
又因为CE为⊙O' 的直径，所以CF⊥CE ，所以CF为⊙O'的切线。
由于过⊙O'上一点C有且只有一条直线与⊙O'相切，
所以F点为F(-15/2 ,0)或(15/2 ,0) 或(10/3 ,0 )时，CF与⊙O'相交。
这连个题都没有，这孩子咋答的那么起劲啊，太佩服了。
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