如何证明 ：任取一段凸函数f(x)，x属于[a，b]，它与x轴围成的面积≤f((a+b)/2)(b

已知f(x)在闭区间[a,b]内严格单增，而且是下凸函数，证明：∫(a,b)f(x)dx≤1/2(b-a)[f(a)+f(b)]~

几何意义上说,曲线f(x)与直线x=a,x=b,x轴围成的曲边梯形的面积,要小於顶点为(a,0),(b,0),(a,f(a)),(b,f(b))的直角梯形的面积.这个自己结合图像就能很清楚看出来我就不多说了.
严格证明的话也很简单.由下凸函数的定义,在区间[a,b]上,对於任意λ∈(0,1),都有f[λa+(1-λ)b]≤λf(a)+(1-λ)f(b)
令x=λa+(1-λ)b,那麼x∈(a,b).设点A(a,f(a)),B(b,f(b)),则直线AB方程为
y-f(a)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)(我设这条直线为g(x)=mx+n)
将x=λa+(1-λ)b代入AB方程,化简得y=λf(a)+(1-λ)f(b)
也就是说在[a,b]上恒有f(x)≤g(x)
根据定积分的性质,∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx
∫[a,b]g(x)dx=∫[a,b](mx+n)dx
=1/m*1/2*(mx+n)²|[a,b]
=1/2*(b-a)*[f(a)+f(b)]
原不等式成立

如果是f(a)=f(b)=0则，可以令F(x)=e^xf(x)，用罗中值定值可得答案。

如果上述条件不满足，则有反例
令f(x)=1,则有，对所有x,f(x)+f'(x)=1+0=1,不可能等于0

手机党没法画图，苦逼了。画一副草图，在x轴过x=a和x=b画出垂线，过((a+b)/2,f((a+b)/2))画凸曲线的切线，切线的斜率是函数改点的求导。不等式后半部分就是斜线与x=a x=b x轴围成的梯形，而凸曲线与。x轴围成的面积在这个梯形里面。

积分的估值定理 应该可以吧

亲，你这个少条件吧？

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石楼县13863545010： 请问怎么证明开区间上的凸函数连续? - ？
鲜狱上生： 凸函数的性质之一为: 定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续,且在除可数个点之外的所有点可微.如果C是闭区间,那么f有可能在C的端点不连续. 固定t和u,令s趋近于t,右边是一个有界常数,可得左边为f(x)在t这一点的左导数, 由于t的任...

石楼县13863545010： 凸函数f(x)连续,g(x)[0,1]上可积分,复合函数f(g(x))[0,1]上可积分,证明:f(∫(0,1)g(x)dx) - ？
鲜狱上生：[答案] 这其实是复合形式的琴生不等式,证明过程跟一般形式的琴生不等式差不多. 由于f(x)凸函数,所以f''(x)>0 设x0=∫(0,1)g(x)dx 把f(x)在x0点展成二阶泰勒级数, f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(α)(x-x0)^2/2 >f(x0)+f'(x0)(x-x0) 即f(x) >f(x0)+f'(x0)(x-x0) 所以f(x0)把x换成g(x...

石楼县13863545010： 怎样证明凸函数 - ？
鲜狱上生： 求二阶导数(就是求导两次), y''则y=f(x)就是凸函数.比如,y=lnx y'=1/x y''=-1/x²y=lnx 是凸函数.

石楼县13863545010： 凸函数的f(x),是否有(f(x1)+f(x2)+f(x3))/3<=f((x1+x2+x3)/3)?怎么证明?？
鲜狱上生： 琴生不等式:(注意前提、等号成立条件) 设f(x)为上凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]&gt;=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式(幂平均). 加权形式为: f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]&gt;=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中 ai&gt;=0(i=1,2,……,...

石楼县13863545010： 高等数学问题函数f(x)在闭区间[a,b]上是凸函数,证明函数f ？
鲜狱上生： 对任意的 x 属于 [a,b] ,存在 t 属于[0,1] 使得 x=t*a+(1-t)*b 所以f(x)=f(t*a+(1-t)*b)=2*f(c)-M 所以f(x)有下界 综上 f(x) 有界

石楼县13863545010： 如何证明一个函数是凹或凸函数?例如:证明f(x)=x²+2/x+alnx是凹函数(当a≤0时)? - ？
鲜狱上生：[答案] 在区间D上f(x)是凹函数 f''(x)>0 f(x)是凸函数 f''(x)

石楼县13863545010： 证明一个函数为凸函数的方法有哪些 - ？
鲜狱上生： 用反证法 设两函数有三个交点 则F(x)=f(x)-g(x) 有三个零点 利用两次罗尔定理得到 存在n使得 F＂(n)=0, 而f(x)g(x)一个为凸函数一个为凹函数 => F(x)的二次导函数要么大于0要么小于0 所以矛盾

石楼县13863545010： 凸函数的证明 - ？
鲜狱上生： 做变量代换 t=xy 即可.

石楼县13863545010： 凸函数怎样证明具体过程,要用凸集的方法证明凸函数 - ？
鲜狱上生： 凸函数即二价导数存在且大于0, 设有凸函数f(x)>0, g(x)>0, 设F(x)=f(x)*g(x), 则有F'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x), F＂(x)=f(x)g＂(x)+f'(x)g'(x)+f＂(x)g(x) f'(x)g'(x)=2f'(x)g'(x)+f(x)g＂(x)+ f＂(x)g(x) 由于f'(x)与g'(x)在凸函数当中并未限定,所以无法判断正负号. 结论是无法断定,原命题是假的.

石楼县13863545010： |ax+b|=f(x)如何证明在所有实数上是凸函数? - ？
鲜狱上生： 先对f(x)求导得出函数f'(x),然后对f'(x)求导得出f''(x),如果f''(x)在所有实数区间为单调增则f(x)在所有实数上就是凸函数(如果我定理没记错的话...)