如何用圆规和一把没刻度的尺子，画出一个正十七边形

如何用一支圆规和一把没有刻度的尺子,画出一个正17边形?~

将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；
然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)

最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。
1、先画一个R半径的圆；
2、用圆规支脚支在圆周的一个点上，取d为半径，交圆周于一点，然后把这两点连起来，就是17边形的一条边了；
3、如此类推，把17条边画完就是一个正17边形了
祝福你

1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”
导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”
这位青年就是数学王子高斯。

高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
（这一步，大家会画吧？）
而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了

具体步骤如下：

1、在与圆O的直径AB垂直的半径OC上，作出OC的中点D，在OB上作一点E，使OE等于半径的1/8；

2、以E为圆心，ED长为半径作弧，与OA、OB分别交于F、G；

3、以F为圆心，FD长为半径作弧，交OA延长线于H，以G为圆心，GD长为半径作弧，交OA于I；

4、作OB中点J，以线段IJ为直径作圆，交OC于K；

5、过K作AB的平行线，与以线段OH为直径的圆交于远端L，过L作OC的平行线，与圆O交于M，弧AM就是圆O的1/17；

6、最后，依次连结各点就可得到正十七边形。

扩展资料

正十七边形的起源：

最早的十七边形画法创造人是高斯。1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。但是，高斯本人并没有用尺规做出正十七边形，事实上，完成证明之后正十七边形的做法对数学研究者是显而易见的。

第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出 。

高斯（1777─1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁，就学会了算术，八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。

解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。

参考资料：百度百科-正十七边形

用圆规和一把没刻度的尺子画正十七边形：

1、给一圆O，作两垂直的半径OA、OB。

2、在OB上作C点使OC=1/4OB。

3、在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

4、作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆。

5、过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

6、过G4作OA垂直线交圆O于P4，

7、过G6作OA垂直线交圆O于P6，

8、以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

9、以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.
前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.
他感到非常吃力.时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.
当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.
见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.”
导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.
青年很快做出了一上正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!”
原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.
每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来.”
这位青年就是数学王子高斯.
高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来.
关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：
有一个定理在这里要用到的：
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.
（这一步,大家会画吧?）
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]

用圆规和一把没刻度的尺子画正十七边形：
1、给一圆O，作两垂直的半径OA、OB。
2、在OB上作C点使OC=1/4OB。
3、在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。
4、作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆。
5、过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
6、过G4作OA垂直线交圆O于P4，
7、过G6作OA垂直线交圆O于P6，
8、以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
9、以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

用圆规和一把没刻度的尺子画正十七边形：
1、给一圆O，作两垂直的半径OA、OB。
2、在OB上作C点使OC=1/4OB。
3、在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。
4、作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆。
5、过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
6、过G4作OA垂直线交圆O于P4，
7、过G6作OA垂直线交圆O于P6，
8、以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
9、以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

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古城区13215802395： 如何用圆规和一把没刻度的尺子,画出一个正十七边形?尺子一定要没刻度的 - ？
蛮柏巴氯：[答案] 1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题. 前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上:要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17...

古城区13215802395： 怎么用一把没有刻度的尺子和一把圆规画出一个正一十七边形 - ？
蛮柏巴氯： 步骤一d: 给一w圆O,作两垂直的直径OA、OB, 作C点使OC=7.6OB, 作D点使∠OCD=7.1∠OCA 作AO延长0线上cE点使得∠DCE=56度 步骤二u: 作AE中5点M,并以4M为8圆心8作一e圆过A点, 此圆交OB于rF点,再以3D为5圆心7,...

古城区13215802395： 如何用一把圆规和一把无刻度直尺,画出一个正十七边形? - ？
蛮柏巴氯：[答案] 历史上最早的正十七边形尺规作图创造人为:高斯. 具体作法如下: 步骤一 给一圆O,作两垂直的半径OA、OB,作C点使OC=1/4OB,作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二 作AE中点M,并以M为圆心作一圆过...

古城区13215802395： 如何用圆规和无刻度的尺子 - ？
蛮柏巴氯： 圆规是用来截取长度,画角平分线,垂直平分线等的,无刻度直尺用来连接

古城区13215802395： 如何用圆规和一把没刻度的尺子,画出一个正十七边形? - ？
蛮柏巴氯： 1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题. 前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上:要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出...

古城区13215802395： 如何用一只圆规和一把没有刻度的尺子(就是尺规作图法)画出正8角型(星) - ？
蛮柏巴氯：[答案] 任意作一圆;作这圆的两条互相垂直的直径;作两条直径所夹的直角的平分线与圆相交,得圆的八等分点;相间连结这些分点(注意不是相邻的分点)即可得圆的内接正八角星.

古城区13215802395： 用圆规和一个没有刻度的尺子,怎样能画出正十六边形?十万火急! - ？
蛮柏巴氯：[答案] 先画任意尺寸的圆.通过圆心画一直线.得到圆边两点A.B.分别以这两点为圆心.大于半径尺寸画弧相交.通过圆心连接两交叉点得到圆四等份.用圆规在四等份内再分四等份得到16等份.用尺连接16等份即可.

古城区13215802395： 有谁知道怎么样用一个圆规和一把没有刻度的尺子(没有其他工具了)画一个标准的正五角星?(最好有图解) - ？
蛮柏巴氯：[答案] 觉得写得挺明白的,----------------------------------------------------------五角星 五角星是一个很奇妙的图形,而世界上许多国家的国旗上都有五角星.就像我们的祖国中国,国旗上就有大五角星和小五角星共5颗,美国...

古城区13215802395： 怎么用一个圆规和一个没有刻度的尺子画正17形?注意!是正17形! - ？
蛮柏巴氯：[答案] 画法步骤一:给一圆O,作两垂直的直径OA、OB,作C点使OC=1/4OB,作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度 步骤二:作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 过F点,此圆交...

古城区13215802395： 如何用一个圆规和一把没有刻度的直尺画一个正五边形? - ？
蛮柏巴氯：[答案] 用直尺和圆规做出正五边形的过程:画一条水平线,通过此线上的任意点做一个圆.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上,通过上述圆的圆心画半圆,并与之交两点.连接这两点做垂直线,与先前的水平线相交与(a)点.张开圆规,...