高等数学常微分方程设特解为什么不按结构设，而是ax²+bx+c

微分方程的特解怎么求~

二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1，C2是任意常数。
拓展资料：
微分方程
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。
高数常用微分表

唯一性
存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

k的取值由λ决定。如果λ不是齐次方程的特征方程的根，k=0；如果λ是齐次方程的特征方程的单根，k=1；如果λ是齐次方程的特征方程的重根，k=2。当k的值确定了之后，特解的形式自然确定了。
对于y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x，特解可设为x^k(ax^2+bx+c)，因为λ=1不是齐次方程的特征方程r^2+4r+4=0的根，所以k=0，所以特解设为(ax^2+bx+c)e^x。
把特解代入的过程一般可省略，有个可直接得最终结果的式子，教材上的推导过程会有：对于y''+py'+qy=P(x)e^(λx)，特解设为Q(x)e^(λx)，代入后会得到Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(x)=P(x)。熟记这个式子对于简化计算很有帮助。
对于本题，P(x)=2x^2，Q(x)=ax^2+bx+c，所以2a+6(2ax+b)+9(ax^2+bx+c)=2x^2，所以a=2/9，b=-8/27，c=4/27。

他就是按结构设的 特解设为y*＝(x∧k)Q(x)(e∧ax)因为它是x² ＝ x²e^0 所以k＝0 其中 Q(x)是原等式右边的m次多项式 m为原等式最高次 即Q(x)＝Ax^m＋Bx^(m-1)……

z=ax+by+c dz/dx=a+bdy/dx 而dy/dx=f(z) 所以dz/dx=a+bf(z)

高中的我还会 这个我好像还没学过 大学的吗？？

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元阳县17639903694： 高等数学微分方程中,为什么线性相关的两个特解就不能是齐次方程的特解?(一般情况) - ？
商顾力得：[答案] 线性相关啦,任一个特解都用另外一个特解表示,两个特解实际上是一个特解,所以要求特解之间线性无关.

元阳县17639903694： 关于高等数学微分方程中的一条题目,特解求出来不是axe的x次方吗?为什么还要加个b? - ？
商顾力得： 特解中的axe^x, 是对应方程右端的e^x项 特解中的b, 是对应方程右端的+1常数项.

元阳县17639903694： 高等数学 常微分方程,划线的特解怎么求.求步骤.谢谢 - ？
商顾力得： 1、下面的图片,是本人对二阶常系数非齐次线性常微分方程的特解 所做的一个总结的一部分,仅供供楼主参考; . 2、楼主的问题,我在下面的图片上,特别highlighted,请参看红色标示的部分; . 3、一共有 A、B、C、D 四个系数 ...

元阳县17639903694： 高等数学微分方程齐次微分方程特解通解问题……课本上写的是,两个特解的线性组合是齐次方程的通解,为什 - ？
商顾力得： 对于常微分方程来说,其导数项为多项式形式,系数为常数,其解空间是线性空间,线性空间的特点是满足可加性和齐次性,就是叠加原理,因此y1=e^(2x),y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何线性组合a1y1+a2y2都是原方程的解,其中a1,a2是常数.事实上,特别是e^(2x),e^(-x)是解空间的基.

元阳县17639903694： 高等数学微分方程,如何求二阶非齐次线性方程的特解?同济六版貌似没有说,求详细解答 - ？
商顾力得： 需要掌握的就两种特解,一种是f(x)=Qm(x)e^入x,这种就设特解y*=x^k Pm(x)e^入x,通过入来确定k,k=0,入不是特征根,k=1,入是单根,k=2,入是重根 另一种f(x)=e^入x(Qm(x)coswx+Pn(x)sinwx)【这里如果只有一个sinwx或coswx,设特解也要sinwx coswx都设出来】(当m>n) y*=x^k e^入x(Lm(x)coswx+Um(x)sinwx),如果入±wi不是特征根,k=0,如果是k=1

元阳县17639903694： 高阶微分方程的通解,齐次式的解,特殊解,各有什么含义 - ？
商顾力得： sinx=1 非齐次设sinx=0 齐次解得x=2kπ 2kπ就是齐次解sinx=1 我们不能确定x等于多少 因为有无数多个解但是我们随便找出一个 就可以 比如x=π/2...

元阳县17639903694： 高等数学,求微分方程通解的计算.第六题那里,特解代回原方程计算化简得: - 3bx^2+6ax+2b= - ？
商顾力得： 要么特解假设错了,要么求导过程出错了.因为λ=3是特征方程的重根,所以特解设为x^2(ax+b)e^(3x)=(ax^3+bx^2)e^(3x). y'=[3ax^3+(3a+3b)x^2+2bx]e^(3x). y'=[9ax^3+(18a+9b)x^2+(6a+12b)x+2b]e^(3x). 代入,(9a-18a+9a)x^3+(18a+9b-18a-18b+9b)x^2+(6a+12b-12b)x+2b=x+1,即6ax+2b=x+1,所以6a=1,2b=1. a=1/6,b=1/2. 所以特解是x^2(x/6+1/2)e^(3x).

元阳县17639903694： 高数上中 关于微分方程解的结构 - ？
商顾力得： 按题目的意思是该微分方程为二阶微分方程 通解的一个条件就是独立的任意常数C的个数与阶数相等 即该方程的通解需要含有2个独立的任意常数,但y=Cy1只含1个,所以不是通解

元阳县17639903694： 常系数非齐次线性微分方程的特解设法? - ？
商顾力得：[答案] 同济第六版《高等数学》上册p343-344.有很清晰的推导过程. 简单说就是把f(x)变成负数的形式后,是e的指数形式,然后设特解是e的指数形式,最后还原到实数域后就成了现在的形式.

元阳县17639903694： 高数微分方程,3个根的情况,这个通解有什么依据吗?书上没写啊.. - ？
商顾力得： ^随便一本高数教材上都有介绍的,每一个特征方程的根都对应常系数线性齐次微分方程的一个线性无zhidao关的特解,特性方程的单根r1=0对应的特解是e^(0*x)=1,共轭复数根r2与r3对应的二个特解是e^(αx)*cos(βx)与e^(αx)*sin(βx),其中专的αβ分别是共轭复数根的实部属-3与虚部a.最后把这些特解线性组合起来即是常系数线性齐次微分方程的通解.