方程如何解 x^4+x^3—10x^2+x+1=0？
【求解答案】x1=-3.73205，x2=2.61803，x3=0.38197，x4=-0.26795
【求解思路】用待定系数法求解。由于x⁴项的系数为1，所以我们假设x⁴+ x³ -10 x² +x + 1可以用(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)来表示，则
(x+A)(x+B)(x²+Cx+D)
=(x²+Ax+Bx+A·B)(x²+Cx+D)
=x⁴+ Ax³ + Bx³ +A·Bx² + Cx³ + A·Cx² + B·Cx² + A·B·Cx + Dx² + A·Dx + B·Dx + A·B·D
=x⁴+ (A+B+C)x³ + (A·B+A·C+ B·C+D)x² + (A·B·C+A·D+B·D)x+A·B·D
与原方程比较同幂次项系数，得到如下方程
A+B+C=1 ，x³ 项系数
A·B+A·C+ B·C+D=-10，x² 项系数
A·B·C+A·D+B·D=1，x 项系数
A·B·D=1，常数
求解上述方程，即可得到 A、B、C、D的系数值
分别令
(x+A)=0
(x+B)=0
(x²+Cx+D)=0
求解上述三个方程，即可得到方程的全部解。
【求解过程】
【本题知识点】
1、待定系数法。待定系数法是初等数学中的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
2、使用待定系数法解题的一般步骤。
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
例如：“已知x2-5=（2-A）·x2+Bx+C，求A，B，C的值。”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法。
【本题图解法】
令y=x⁴+ x³ -10 x² +x + 1，取特殊点
①当x=0时，y=1；当x=-1时，y=10；当x=1时，y=-6；当x=-2时，y=-33；当x=2时，y=-13；
②对y求一阶导数，则
y'=4x³+3x²-20x+1
令y'=0，有
4x³+3x²-20x+1=0，用卡丹公式求得，x1=-2.6629，x2=1.8625，x3=0.0504
当x=-2.6629时，y=-41.17319
当x=1.8625时，y=-13.33241
当x=0.0504时，y=1.02513
③对y求二阶导数，则
y"=12x²+6x-20
当x=-2.6629时，y"=12×(-2.6629)²+6×(-2.6629)-20=49.11503>0
当x=1.8625时，y"=12×(1.8625)²+6×(1.8625)-20=32.80188>0
当x=0.0504时，y"=12×(0.0504)²+6×(0.0504)-20=-19.66712<0
④所以，
当x=-2.6629时，y=-41.17319，有局部极小值
当x=1.8625时，y=-13.33241，有局部极小值
当x=0.0504时，y=1.02513，有极大值
⑤根据上述的特殊点，通过描点法绘出其基本图形。从图形中，我们判断出该函数有四个解，分别近似为x1≈-3.7，x2≈2.6，x3≈0.38，x4≈-0.27
【卡丹公式】
解方程x^4 + x^3 - 10x^2 + x + 1 = 0 需要使用代数方法，这个方程是一个四次方程，通常使用代数方法来解决。
解这个方程的一种方法是使用数值计算工具或计算器。然而，我也可以提供一个基本的方法来近似求解这个方程。请注意，这种方法可能不会找到所有的精确解。
1. 首先，可以使用有理根定理来找出可能的有理根。有理根定理指出，如果一个多项式方程有有理根p/q（其中p和q互质），则p是常数项的因子，q是首项系数的因子。对于这个方程，常数项是1，首项系数是1，因此可能的有理根是±1。
2. 将可能的有理根代入方程进行验证。首先，试验x = 1：1^4 + 1^3 - 10 * 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 - 10 + 1 + 1 = -6。然后，试验x = -1：(-1)^4 + (-1)^3 - 10 * (-1)^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 10 - 1 + 1 = -10。这两个值都不等于零，因此±1不是这个方程的有理根。
3. 由于这是一个四次方程，可以尝试使用代数方法进行因式分解，但这可能相对复杂。如果要求更精确的解，可以使用数值方法或计算机软件进行求解。
需要注意的是，这个方程的根可能是复数，因此一些根可能不在实数范围内。在某些情况下，方程可能无法用有限的代数方法求解，需要使用数值方法来获得近似解。
首先是个回文多项式，可以考虑(x^2+ax+1)^2-bx^2。
原式=(x^4+x^3+2.25x^2+x+1)-12.25x^2=(x^2+0.5x+1)^2-12.25x^2=(x^2+0.5x+1-3.5x)(x^2+0.5x+1+3.5x)=(x^2-3x+1)(x^2+4x+1)=0
当x^2-3x+1=0时，解得x1=(3+√5)/2，x2=(3-√5)/2。
当x^2+4x+1=0时，解得x3=-2+√3，x4=-2-√3
管韦炎琥： x^4+x^3+x^2+x=0 x(x^3+x^2+x+1)=0 x=0或x^3+x^2+x+1=0,即x^2(x+1)+x+1=0,(x^2+1)(x+1)=0,∵x^2+1>20,∴x+1=0,x=-1 即x=0或x=-1
山海关区19150395208： 解方程:x^4+x^3 - 4x^2+x+1=0 - ？
管韦炎琥： 分别代入0,-1,1,可知x=1是一个解,所以x-1是一个因式等式两边分别除以x-1得:(强行给每一项凑x-1,比如 x^4=x^3*(x-1)+x^3 )x^3+2x^2-2x+1=0再代入1,可知还有一个解也是x=1,两边同时除以x-1得:x^2+3x+1=0剩下的用一元二次方程求根公式自己解吧~
山海关区19150395208： x^4+10x^3+35x^2+50x+24=0 算出过程和结果 - ？
管韦炎琥： 楼上答案是错误的: x^4+10x^3+35x^2+50x+24=0 (x^4+4x^3)+(6x^3+24x^2)+(11x^2+44x)+(6x+24)=0 (x+4)(x^3+6x^2+11x+6)=0 (x+4)[(x^3+x^2)+(5x^2+5x)+(6x+6)]=0 (x+4)(x+1)(x^2+5x+6)=0 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=0最后解得:x1=-1 x2=-2 x3=-3 x4=-4
山海关区19150395208： x^4+10x^3+36x^2+54x+27=0 怎么把它化为一元二次方程然后在进行求解,麻烦详细点,在线等,谢谢. - ？
管韦炎琥： 观察x^4+10x^3+36x^2+54x+27猜测分解因数的结果中应含有因式x+3通过短除法验证得:x^4+10x^3+36x^2+54x+27=(x+3)(x³+7x²+15x+9)再对x³+7x²+15x+9进行验证,发现其含有因式x²+4x+3即x^4+10x^3+36x^2+54x+27=(x+3)(x³+7x²+15x+9)=(x+3)(x+3)(x²+4x+3)所以 x^4+10x^3+36x^2+54x+27=(x+3)(x+3)(x+1)(x+3)=(x+1)(x+3)³ 因此 所求方程的解是 x=-1或x=-3
山海关区19150395208： 解方程:x^4+2x^3 - 18x^2 - 10x+25=0 - ？
管韦炎琥：[答案] x^4+2x^3-18x^2-10x+25=0 x^4-x^3+3x^3-3x^2-15x^2+15x-25x+25=0 (x-1)(x^3+3x^2-15x-25)=0 (x-1)(x^3+5x^2-2x^2-10x-5x-25)=0 (x-1)(x+5)(x^2-2x-5)=0 x-1=0或x+5=0或x^2-2x-5 解得 x=1或-5或1±√6
山海关区19150395208： 解方程:x^4+x^3+x^2+x+1=0. - ？
管韦炎琥：[答案] 该方程可以变化为(x+1)(x^3+1)+x^2=0(x+1)和(x^3+1)同正负号,而当x=0时,x^4+x^3+x^2+x+1=1>0,所以此方程没有实根,有四个虚跟:5^(1/2)/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*i)/4 - 1/45^(1/2)/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) +...
山海关区19150395208： 怎样解x^4 - 4x^3 - 2x^2+10x=9 - ？
管韦炎琥： x^4-4x^3-2x^2+10x=9 (1)只能用近似解法,如迭代法.为此:由(1)得到:x1 = (4x0^3+2x0^2-10x0+9)^(1/4)取初始值:x0=4 精度=0.001解出:x1=3.9683 x1=3.9794,3.9880,3.9946,3.9997,4.0036,4.0066,4.0089,4.0108, =4.0122 4.0133, x1=4.0141,4.0146,小数点后第三位不再变化,方程的第一个根x近似为:x=4.014;用类似的方法,可以求出其它的根来.
山海关区19150395208： 四次方程求解？
管韦炎琥： x^4+2x³-13x²-14x+24=0 这种高阶方程还是要先观察其一根. 明显,x=1为其一解,故(x-1)必为其因式. 用原方程除x-1得: x^4+2x³-13x²-14x+24=(x-1)(x³+3x²-10x-24) 再观察x³+3x²-10x-24=0,易知x=-2为其一解,故(x+2)必为其因式. 得x³+3x²-10x-24=(x+2)(x²+x-12)=(x+2)(x-3)(x+4) 综上所述,可知x^4+2x³-13x²-14x=-24 即(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=0 故方程有四解,分别为1、-2、3和-4.
山海关区19150395208： 一元三次方程怎么解,如x^3+3x - 4=0貌似可以用因式分解,可是又怎么分呢?能不能给个通常解法,比如x^3+px+q=0怎么解? - ？
管韦炎琥：[答案] x^3+3x-4=x^3 + (x^2 - x^2) + (4 x - x) - 4=x^3 + x^2 + 4 x - x^2 - x - 4= (x^2 + x + 4) x - (x^2 + x + 4)= (x^2 + x + 4)(x -1)=0x^2+x+4={(x+0.5)^2+3.75}不能等于o 所以x=1
山海关区19150395208： 如何证明方程f(x)=x^4+2x^3 - 12x^2 - 8x+17有4个解为什么f(x)/x - 1=x^3+4x^2 - 10x - 17 - ？
管韦炎琥：[答案] 1.如果方程有整数解,那么肯定是17的约数,我们试一下1,-1 发现f(1)=0,所以x=1是原方程的解,这样 令g(x)=f(x)/(x-1)=x^3+4x^2-10x-17 容易得到: g(-10)=-517g(-2)=11>0 g(0)=-17g(4)=16>0 所以在 (-10,-2),(-2,0),(0,4)这三个区间的每一个...
