古希腊三大几何问题详细资料大全
古希腊三大几何问题既引人入胜,又十分困难。问题的妙处在于它们看非常简单,而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺,而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有:过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发,可以通过有限个上述基本图形复合得到。经过2000多年的艰苦探索,数学家们终于弄清楚了这3个难题是“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的,这是数学思想的一大飞跃。
基本介绍
- 中文名 :古希腊三大几何问题
- 外文名 :Three impossible ruler-and-compass constructions from ancient Greek mathematicians
- 学科 :平面几何
- 内容 :立方倍积、化圆为方、三等分角
问题引入
传说大约在公元前400年,古希腊的雅典流行疫病,为了消除灾难,人们向太阳神阿波罗求助,阿波罗提出要求,说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行。人们百思不得其解,不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图,柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是:已知一个立方体,求作一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。 然而,一旦改变了作图的条件,问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度,则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。中国数学家和一位有志气的中学生,先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题,为尺规作图添了精彩的一笔。 或描述如下: 这是三个作图题,只使用圆规和直尺求出下列问题的解,直到十九世纪被证实这是不可能的: 1.立方倍积 即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方 即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角 即分一个给定的任意角为三个相等的部分。具体内容
立方倍积
关于立方倍积的问题有一个神话流传:当年希腊提洛斯(Delos)岛上瘟疫流行,居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗(Apollo)祈祷,神庙里的预言修女告诉他们神的指示:“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍,瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴,立刻动工做了一个新祭坛,使每一棱的长度都是旧祭坛棱长的二倍,但是瘟疫不但没停止,反而更形猖獗,使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误:「棱二倍起来体积就成了八倍,神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对,于是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛,可是瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神,这次神回答说:「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍,但形状却并不是正方体了,我所希望的是体积二倍,而形状仍是正方体。」居民们恍然大悟,就去找当时大学者柏拉图(Plato)请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究,但不曾得到解决,并且耗费了后代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说,立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。化圆为方
方圆的问题与提洛斯问题是同时代的,由希腊人开始研究。有名的阿基米徳把这问题化成下述的形式:已知一圆的半径是r,圆周就是2πr,面积是πr 2 。由此若能作一个直角三角形,其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r,则这三角形的面积就是 (1/2)(2πr)(r)=πr2 与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长,这问题阿基米德可就解不出了。三等分角
三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早,早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的,纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法,正像我们在几何课本或几何画中所学的:以已知角的顶点为圆心,用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点,再分别以这两点为圆心,用一个适当的长作半径画弧,这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下:三等分怎么样呢?这样,这一个问题就这么非常自然地出现了。结果意义
化圆为方,立方倍积和三等分角这三大古希腊几何作图难题的结果又是如何被证明的呢?带着问题让我们来探究一下。 (1)化圆为方问题的结果 我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的,但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。 实际上,这个化圆为方问题中的正方形的边长是圆面积的算术平方根。我们假设圆的半径为单位1,那么正方形的边长就是根号π。 直到1882年,化圆为方的问题才最终有了合理的答案。德国数学家林德曼(Lindemann,1852~1939)在这一年成功地证明了圆周率π=3.1415926......是超越数,并且尺规作图是不可能作出超越数来,所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的。 德国数学家林德曼 (2)倍立方积和三等分角问题的结果 直到1830年,18岁的法国数学家伽罗华首创了后来被命名为“伽罗华理论”,该理论能够证明倍立方积和三等分角问题都是尺规作图不能做到的问题。1837年,法国数学家汪策尔(Wantzel,1814~1848)终于给出三等分角和倍立方积的问题都是尺规作图不可能问题的证明。 (3)三大几何作图难题的意义 虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由尺规作图的方式做到的,但是为了解决这些问题,数学家们进行了前赴后继的探索,最后得到了不少新的成果,发现了许多新的方法。同时,它反映了数学作为一门科学,它是一片浩瀚深邃的海洋,仍有许多未知的谜底等待这我们去发现。
三大几何难题是什么
三等分任意角、立方倍积、圆锥曲线切线。1、三等分任意角:试图用尺规(无刻度的直尺和圆规)将一个任意角度的角等分为三部分,这个问题在古希腊时期就已提出,但直到18世纪,法国数学家卢梭(JeanJacquesRousseau)证明了这个问题在尺规有限制的情况下是无法解决的。2、立方倍积:试图用尺规找到一种方法...
古希腊尺规作图三大问题是什么?
尺规作图三大问题是:化圆为方、三等分任意角、倍立方。1、化圆为方:求作一正方形使其面积等于一已知圆 化圆为方是古希腊尺规作图问题之一,即:求一正方形,其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知,该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。2、三等分任意角;三等分角是古希腊几何尺规作图当中...
古希腊的三大数学难题都是什么?
古希腊三大几何问题既引人入胜,又十分困难。问题的妙处在于它们看非常简单,而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺,而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有:过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆...
世界级的几何难题
古希腊几何作图的三大问题是:1化圆为方,求作一正方形,使其面积等于一已知圆2三等分任意角3倍立方,求作一立方体,使其体积是一已知立方体的两倍。(尺规作图)我从百科上找到的 参考资料:百度百科 几何
古希腊的三大几何作图问题包括倍立方体、___、___。
(1) 化圆为方 (2) 三等分角
古希腊三大几何问题三等分角
成为他们探索的下一个挑战。尽管历史文献中可能没有直接关于三等分角问题的明确记载,但这个思考过程是逻辑清晰且符合人类自然的探索路径。在掌握了二等分技术之后,寻求三等分的方法是数学家们逻辑推理和实践探索的必然结果,它代表了古希腊数学家们对于几何问题解决能力的不断提升。
古希腊三大
古希腊三大悲剧家是 埃斯库罗斯 索福克勒斯 欧里庇得斯 古希腊三大史学家是:希罗多德、修昔底德、色诺芬 古希腊三大几何难题是1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分。2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正 方体体积的二倍。3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它...
什么是古希腊三大几何作图问题?它们与高次方程公式可解性有怎样的联系...
玩过智慧盘吗?你一定知道有些排列没办法变成标准排列;同时你一定也知道 是不可能写成一个分数的。当然我们没有必要把“所有”的方法一一试过才下这种结论,我们另有方法证明这种不可能性。三大难题无解的证明也是一样的。虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的,但许多外行人,或许不知道无解...
初中几何问题
指二千四百多年前,古希腊几何学家提出了尺规作图三大问题:1、三等分任意角问题,即把任意一个已知角三等分。2、立方倍积问题,即求作一个立方体,使它的体积等于已知立方体的体积的2倍。3、化圆为方问题,也称圆积问题,即求作一个正方形,使它的面积等于一个已知圆的面积。
你知道古希腊三大数学难题吗?
古希腊三大数学难题的另两个难题是:“化圆为方”,即用尺规画出一个正方形,它的面积要等于一个已知的圆的面积;以及“三等分任意角”,即用尺规将任意角度的角三等分。这三大数学难题有两个共同点值得我们注意:第一,它们都是几何学问题;第二,人们只能用直尺和圆规来解题。作出这样的特殊规定与...
澄香芪龙:[答案] 1.内容 这三个题目是三分角、倍立方及圆化方,其内容分述如下.三分角:用直尺及圆规把任给的一角三等分.倍立方:给定一立方体(即其一边已知),用直尺及圆规做另一立方体(即做其一边)使其体积为原立方体的两倍.圆化方:用直尺及圆规做...
京口区13550081246: 古希腊的三大几何问题是什么? - ?
澄香芪龙:[答案] 采用尺规作图: 1 三等分一个角,不可能是因为不能作出一般三次方程的根 2 立方倍积,不可能是因为作不出2的立方根 3 化圆为方,不可能是因为作不出圆周率! 其实还有个是作正十七边形,这个由德国高斯解决了,所以三个不肯能问题就指以上...
京口区13550081246: 三大著名几何问题是 - ?
澄香芪龙:[答案] 古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题.用数学语言表达就是:已知一个立方体,求作一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍.另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题.
京口区13550081246: 古希腊三大几何问题是什么? - ?
澄香芪龙: 传说大约在公元前400年,古希腊的雅典流行疫病,为了消除灾难,人们向太阳神阿波罗求助,阿波罗提出要求,说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行.人们百思不得其解,不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图...
京口区13550081246: 古希腊几何三大问题 - ?
澄香芪龙: 这是三个作图题,只使用圆规和直尺求出下列问题的解,直到十九世纪被证实这是不可能的:1.立方倍积,即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍.2.化圆为方,即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等.3.三等分角...
京口区13550081246: 古希腊三大几何难题是什么? - ?
澄香芪龙: 1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分. 2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍. 3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等.
京口区13550081246: 古希腊的三大著名几何尺规作图问题是?①三等分角②立方倍积③正十七边形④化圆为方 - ?
澄香芪龙:[答案] 正多边形问题貌似被高斯解决了的
京口区13550081246: 古希腊三大不可解决问题是那些? - ?
澄香芪龙: 古希腊三大几何难题1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分. 2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍. 3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等.
京口区13550081246: 古希腊三大几何难题的产生发展解决及其意义 - ?
澄香芪龙: 1.立方倍积,即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍. 2.化圆为方,即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等. 3.三等分角,即分一个给定的任意角为三个相等的部分. 化圆为方,立方倍积和三等分角这三大古希腊几何...