1 1为什么等于二?
什么是 1,什么是 2?
在证明之前,首先我们要明白什么是自然数,什么是加法。类似于几何的公理化理论体系,我们需要提出几个公理,然后据此定义自然数,进而定义加法。
先来定义自然数。根据自然数的意义(也就是人类平时数数时对自然数的运用方法),它应该是从一个数开始,一直往上数,而且想数几个就可以数几个(也就是自然数有无限个)。据此我们得到以下公理:
公理 1. 0 是一个自然数。
公理 2. 如果 n 是自然数,则 S(n) 也是自然数。
在这里, S(n) 就代表 n 的“后继”,也就是 n 往上再数一个。没错,我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ⋯⋯,无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数,用“1”来表示 0 的后继 S(0),而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示,等等。
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统,其中 S(3) = 0(即 3 的后一个数变回 0)。这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制:
公理 3. 0 不是任何一个数的后继。
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2, 3,其中 S(3) = 3。看来,我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条:
公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m,则 S(n) ≠ S(m)。
也就是说,互不相同的两个自然数,它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来,上面说到的反例就可以排除了,因为 3 不可能既是 2 的后继,也是 3 的后继。
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 0.5),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。
公理 5. (数学归纳法)设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确,
且假设 P(n) 正确,则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。
有了这以上的努力,我们就可以这样定义自然数系了:存在一个自然数系 N,称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。
什么是加法?
我们定义,加法是满足以下两种规则的运算:
1. 对于任意自然数 m,0 + m = m;
2. 对于任意自然数 m 和 n,S(n) + m = S(n + m)。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。
如何证明一加一等于二?
至此,我们可以证明 1 + 1 = 2 了:
1 + 1
= S(0) + 1 (根据自然数的公理)
= S(0 + 1) (根据加法定义 2)
= S(1) (根据加法定义 1)
= 2 (根据自然数的公理)
事实上,根据加法的定义,我们不但可以证明每一个加法等式,还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义,还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话,可以看看参考文献[1].
看到这里,不知道你会不会有一种如释重负的感觉。原来,我们所知道的关于数学的一切,关于人类认识世界的一切,都不是建立在直觉之上,而是在接受几个公理的条件下通过理性的方法推导出来的。同时或许你还会有一种自由的感觉:正如你可以不接受欧几里得的公理而构造自己的几何体系一样,你也可以不接受上面的几个公理而建立自己的一套关于数的体系。你可以建立无数种奇奇怪怪的体系。不过如果是为了解释自然的话,至少从目前的角度看,现有的这套还是更好一些。
1+1=2 是初等数学范围内的数值计算等式。
当某个原始人第一个意识到1+1=2,进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时,这一刻是人类文明的伟大时刻,因为他发现了一个非常重要的性质——可加性。这个性质及其推广正是数学的全部根基,它甚至说出数学为什么用途广泛的同时,告诉我们数学的局限性。
人们知道,世界上存在三类不同的事物。一类是完全满足可加性的量。比如质量,容器里的气体总质量总是等于每个气体分子质量之和。对于这些量,1+1=2是完全成立的。
扩展资料:
皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:
①0是自然数;
②每一个确定的自然数 a,都有一个确定的后继数x' ,x' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);
③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b = c;
④0不是任何自然数的后继数;
⑤设S是自然数集的一个子集,且(1)0属于S;(2)如果n属于S,那么n'也属于S。
(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
更正式的定义如下: 一个戴德金-皮亚诺结构是这样的一个三元组(X, x, f),其中X是一个集合,x为X中一个元素,f是X到自身的映射,且符合以下条件:
x不在f的值域内;
f为一个单射;
若x∈A 且 " a∈A 蕴涵 f(a)∈A",则A=X。
参考资料:1+1=2(数学公式)_百度百科
这个问题是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的,所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日,欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的,但他无法证明。从此,这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。“用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”(引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》)
哥德巴赫猜想貌似简单,要证明它却着实不易,成为数学中一个著名的难题。18、19世纪,所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进,直到20世纪才有所突破。直接证明哥德巴赫猜想不行,人们采取了“迂回战术”,就是先考虑把偶数表为两数之和,而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b",那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。
1900年,20世纪最伟大的数学家希尔伯特,在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后,20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒,终于取得了辉煌的成果。
到了20世纪20年代,有人开始向它靠近。1920年,挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比6大的偶数都可以表示为(9+9)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫猜想”。
1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9+9 ”。
1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7 ”。
1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6+6 ”。
1937年,意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。
1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5 ”。
1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4+4 ”。
1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c ”,其中c是一很大的自然数。
1956年,中国的王元证明了 “3+4 ”。
1957年,中国的王元先后证明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1+5 ”, 中国的王元证明了“1+4 ”。
1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3 ”。
1966年,中国的陈景润证明了 “1+2 ”[用通俗的话说,就是大偶数=素数+素数*素数或大偶数=素数+素数(注:组成大偶数的素数不可能是偶素数,只能是奇素数。因为在素数中只有一个偶素数,那就是2。)]。
其中“s + t ”问题是指: s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法,是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路,就像“缩小包围圈”一样,逐步逼近最后的结果。
由于陈景润的贡献,人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步,也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为,要想证明“1+1”,必须通过创造新的数学方法,以往的路很可能都是走不通的。
还有种说法是:
1+1=2是可以证明的,当然这不是所谓的歌德巴赫猜想,
证明1+1=2要用到皮亚诺公理
【皮亚诺公理】
皮亚诺(Peano,1858—1932)系意大利数学家,他提出五条自然数的性质,通常把这五条性质叫做自然数的皮亚诺公理。
(1)“1”是自然数;
(2)每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a′,a′也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);
(3)如果b、c都是自然数a的后继数,那么b=c;
(4)1不是任何自然数的后继数;
(5)任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n′也真,那么,命题对所有自然数都真。
证明:
1+1的后继数是1的后继数的后继数,既是3
2的后继数是3
根据皮亚诺公理(4)
可得:1+1=2
车曲老鹳:[答案] 1+1为什么=2,是老祖宗规定等于2的.看你怎样理解;1、 手中拿一件东西向胳膊底下一加手中就没有了.2、 1+1=02、两个人结婚组成一个新家庭.1+1=13、 儿童计算数学.1+1=24、 两个人结婚,生出一个爱情的结晶变成三口之家...
宣威市15210626094: 1 1为什么等于2 - ?
车曲老鹳: 1.因为2-1=1啊, 呵呵 2.因为1742年6月7日,德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中,提出了两个大胆的猜想: 一、任何不小于6的偶数,都是两个奇质数之和; 二、任何不小于9的奇数,都是三个奇质数之和. 这就是数学史上...
宣威市15210626094: 1+1=2?靠,别逗我了,谁能告诉我为什么等于2? - ?
车曲老鹳:[答案] 老师和大人告诉你的 1加1为什么等于2.这个问题以前爱迪生也问过老师,结果被老师当成神经不正常,还被辍学在家 1加1可以等于你认为的任何一个数,但在大多数人的认知里,都等于2,这是深埋在人心底的根深蒂固的想法
宣威市15210626094: 1 1为什么等于2 - ?
车曲老鹳: 2为需要两个1
宣威市15210626094: 1 1为什么等于二 - ?
车曲老鹳: 在现代的精密科学中,特别在数学和数理逻辑中,广泛地运用着公理法.什么叫公理法呢?从某一科学的许多原理中,分出一部分最基本的概念和命题,对这些基本概念不下定义,而这一学科的所有其它概念都必须直接或间接由它们下定义;...
宣威市15210626094: 1加1为什么等于2?为什么不等于3或者是其他的数字? - ?
车曲老鹳:[答案] 你思考的很深入!1加1为什么等于2?为什么不等于3或者是其他的数字? 其实这是外国人规定的,1、2、3……这些都是人为规定的符号,如果最初规定的是3表达2的意思,那么1加1就等于3而不是2了. 就像咱们中国,传统的说法是:一个加一个,...
宣威市15210626094: 1+1为啥等于2啊? - ?
车曲老鹳:[答案] 在数学上等于2那是人定的 在物理上等于几都可以.+1=2不能证明,他只能说是一个定率.最原始的定律.1+1=2 目前还没有人证明出来他为什么=2 小陈 也只证明出1+2.就很了不得了.假设有一天有人证明出来1+1不等于2 这个世界不知道会变成什么样....
宣威市15210626094: 1+1为什么等于2?
车曲老鹳: 因为2-1=1
宣威市15210626094: 1加1为什么等于2?
车曲老鹳: 哥德巴赫猜想 是不是所有的大于2的偶数,都可以表示为两个素数的和? (注意,本文下部如有所谓“中国最新进展,已经证明1+1”的,属于无聊人士添加的恶意伪科学范畴,读者不必理会.“还有待解决.”为最后一句.) 这个问题是德国...
宣威市15210626094: 1+1为什么等于2为什么一定会等于2 - ?
车曲老鹳:[答案] 定义1的后续为1'(X'为X的后续).规定1的后续(后面的数)为2;2的后续(后面的数)为3等等. 1+1=1';而1的后续为2.所以1+1=1'=2 同理1+2=1+1'=2'=3 1+3=1+2'=3'=4 例:1+7=? 1+1=1'=2 1+2=1+1'=2'=3 1+3=1+2'=3'=4 ……...