高数 求定积分

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例如：抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算

• 主要内容：

本文通过定积分知识，介绍抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算步骤。

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• 主要步骤：

∵y^2=0.2x，求导有

∴2ydy/dx=0.2，即dy/dx=0.2/2y,

在点A(0.2,0.2)处，有该点的切线的斜率k为：

k=dy/dx=0.2/(2*0.2)=1/2,

则该点处法线的斜率k1=-2,

此时法线的方程为:

y-0.2=-2 (x-0.2)，

化简得y1=-2x+0.6,则x=(0.6-y)/ 2。

由法线和抛物线构成的方程组，求出二者的交点B,C.

y^2=0.2 (0.6-y)/ 2，即：

2y^2+0.2y-0.12=0，因式分解为：

(y-0.2)(y+0.3)=0.

所以y1=0.2，y2=-0.3.



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此时抛物线方程变形为x=1y^2/0.2,所围成的区域以dy为计算单位，则所求的面积S为：

S=∫[y2:y1][( 0.6-y)/ 2-y^2/0.2]dy

=∫[y2:y1]( 0.6/2-y/2-y^2/0.2)dy，积分有：

=(0.6y/2-y^2/2*2-y^3/0.6) [y2:y1]

=0.6/2*(0.2+0.3)- (0.2^2- 0.3^2)/4-1/0.6*(0.2^3+ 0.3^3)

=0.66+0.012-0.0583

=0.613.



令u=π/4-t，则du=-dt
原式=A=∫(π/4,0) ln[1+tan(π/4-u)](-du)
=∫(0,π/4) ln[1+(1-tanu)/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln[2/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) [ln2-ln(1+tanu)]du
=ln2*(π/4)-∫(0,π/4) ln(1+tanu)du
=ln2*(π/4)-A
2A=ln2*(π/4)
A=ln2*(π/8)

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侯马市15022468225： 高等数学,求定积分: - ？
称爬白奇： 求定积分【3/4,1】∫dx/[√(1-x)-15] 解:令√(1-x)=u,则x=1-u²,dx=-2udu;x=3/4时u=1/2;x=1时u=0;故原式=【1/2,0】-2∫udu/(u-15)=【1/2,0】-2∫[1+15/(u-15)]du=【1/2,0】-2[u+15∫du/(u-15)]=-2[u+15ln∣u-15∣]【1/2,0】=-30ln15+[1+30ln(29/2)]=30ln(29/30)+1.

侯马市15022468225： 高数求定积分 - ？
称爬白奇： let x=√3siny dx =√3cosy dy x=0, y=0 x=√3, y=π/2 ∫(0->√3) √(3-x^2) dx=3∫(0->π/2) (cosy)^2 dy=(3/2)∫(0->π/2) (1+cos2y) dy=(3/2)[y+(1/2)sin2y]|(0->π/2)=(3/4)π

侯马市15022468225： 高数定积分,求详细步骤 - ？
称爬白奇： 先算不定积分, 原式等于∫x^4dx-∫x⁶dx =x⁵/5-x⁷/7+C.然后计算定积分,算上二分之一 得到(1/5-1/7)/2=(7-5)/70=2/70=1/35=0.028571... . 不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉.. 数字帝国 GG泛滥但是是一个计算器网页..

侯马市15022468225： 大一高数,求定积分详细过程 - ？
称爬白奇： 令lnx=t x=e^t ∫cos(π度lnx)dx= ∫e^内tcos(πt)dt= ∫cos(πt)d(e^t)=e^tcos(πt)- ∫e^t(-πsin(πt))dt=e^tcos(πt)+ ∫πsin(πt)d(e^t)=e^tcos(πt)+ πe^tsin(πt)-π^2 ∫e^tcos(πt)dt ∫e^tcos(πt)dt=1/(1+π^2)[e^tcos(πt)+ πe^tsin(πt)] 定积分=1/(1+π^2)[e^tcos(πt)+ πe^tsin(πt)]|容(0,1/2)=1/(1+π^2)[0+πe^0.5-1-0]=1/(1+π^2)(π√e-1)

侯马市15022468225： 求高手告诉我高数的定积分及不定积分的详细求解方法(配上题目),因为是新手没有太多的分啊,原谅!快! - ？
称爬白奇： 一、 关于X复合幂函数与幂函数的比值的积分法问题的方法 方法:分子变量比分母变量高阶,分母为幂函数(即:x^a) 分子变量比分母变量低阶,分母为幂函数 例1:∫(x-3)^3/(x^2)dx 由例可知x^3比x^2高阶,而且分母为单一的变量,又因为被积...

侯马市15022468225： 高数!求定积分(0到π),根号下(sinx - (sinx)^3) dx - ？
称爬白奇：[答案] ∫(0,π)√[sinx-(sinx)^3]dx =∫(0,π)√[sinx(cosx)^2] =∫(0,π/2)cosx√sinxdx-∫(π/2,π)cosx√sinxdx =∫(0,π/2)√sinxdsinx-∫(π/2,π)√sinxdsinx =(2/3)(sinx)^(3/2)-(2/3)(sinx)^(3/2) =(2/3)(sinπ/2)^(3/2)-(2/3)(sin0)^(3/2)-(2/3)(sinπ)^(3/2)+(2/3)(sinπ/2)^(3/2) =2/3-0-0+2/3...

侯马市15022468225： 大一高数求定积分,麻烦大神详细写下过程,谢谢! - ？
称爬白奇： ∫(-2→2)x*ln(1+e^x)dx =∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx +∫(0→2)x*ln(1+e^x)dx ∫(-2→0)x*ln(1+e^x)dx 设y=-x,x=-y 原式=∫(2→0)(-y)*ln[1+e^(-y)]d(-y) =∫(2→0)y*ln[1+e^(-y)]dy =∫(2→0)y*ln[(e^y+1)/e^y]dy =∫(2→0)y*ln(e^y+1)dy -∫(2→0)y*ln(e^y)dy =-∫(0→2)y*ln(1+e...

侯马市15022468225： 高等数学,定积分怎么求 - ？
称爬白奇： O(∩_∩)O,希望对你有帮助,望采纳...

侯马市15022468225： 高数定积分求解 - ？
称爬白奇： ∫ tanx/√cosx dx=∫ sinx /(cosx)^3/2 dx= -∫ (cosx)^(-3/2) d(cosx)= 2 *(cosx)^(-1/2) +C= 2/√cosx +C,C为常数

侯马市15022468225： 高数定积分!求过程求思路 - ？
称爬白奇： 直接对F(x)求导,再用积分中值定理可得结果,最后得到 f(x)-f(ζ) 而ζ大于a,小于等于x,又f(x)单调不增,所以f(x)-f(ζ)小于等于0,故F(x)的导数小于等于0.