设函数f（x）=ex，g（x）=-x24，其中e为自然对数的底数．（1）已知x1，x2∈R，求证：12[f（x1）+f（x2）]
f=√(e^x+x-a)
存在b∈【0,1】，使得f[f(b)]=b
即 f(b)=f^(-1)(b)
即函数f(x)与其反函数f^(-1)(x)在[0,1]内有交点
∵f=√(e^x+x-a) 为增函数
∴原函数与其反函数图像交点在直线y=x上
即原函数与其反函数图像交点就是f(x)与y=x的交点
∴方程√（e^x+x-a)=x
即e^x+x-a=x²
即 a=e^x+x-x²在[0,1]内有解
设g(x)=e^x+x-x²
g'(x)=e^x+1-2x
∵0≤x≤1
∴ 2≤e^x+1≤e+1
-2≤-2x≤0
∴e^x+1-2x≥0
∴g'(x)≥0,g(x)为增函数
∵ g(x)∈[1,e]
∴a的范围是[1,e]
已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)，g(x)=f(x)-f(-x)-(a+1/a)x，x属R，a大于0
1:判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由
2:求函数g(x)的单调递增区间
3证明对任意实数x1和x2，且x1不等于x2，都有不等式
f[(x₁+x₂)/2]<[(f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)]<[f(x₁)+f(x₂)]/2成立
解：(1)g(x)=e^x-e^(-x)-(a+1/a)x，定义域：(-∞，+∞）关于原点对称，且
g(-x)=e^(-x)-e^x+(a+1/a)x=-[e^x-e^(-x)-(a+1/a)x]=-g(x)，∴g(x)是奇函数。
(2).g′(x)=e^x+e^(-x)-(a+1/a)=[e^(2x)+1]/e^x-(a+1/a)=[e^(2x)-(a+1/a)e^x+1]/e^x
=[e^(2x)-(a+1/a)e^x+a(1/a)]/e^x=(e^x-a)(e^x-1/a)]e^x
由于对任何x都有e^x>0，故g′(x)的符号取决于分子(e^x-a)(e^x-1/a)的符号。
当01/a，即xln(1/a)=-lna时，g′(x)>0，即函数g(x)
在区间(-∞，lna)∪(-lna，+∞）内单调增；lna<x<-kna时g′(x)<0，即函数g(x)在区间(lna，-lna)
内单调减；
当a=1时，g′(x)=(e^x-1)²/e^x>0对任何x都成立，故函数g(x)在其全部定义域内单调增；
当a>1时，a>1/a，此时g(x)在(-∞，-lna)∪(lna，+∞）内单调增；在区间(-lna，lna)内单调减。
(3)设-∞<x₂<x₁<+∞，由于f(x)=e^x在区间(-∞，+∞）内连续，可导，故按拉格朗日中值定理，
在(x₂，x₁)内至少存在一点ξ，x₂<ξ<x₁，使得(e^x₁-e^x₂)/(x₁-x₂)=f′(ξ)
即有[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)=f′(ξ).
f(x)=e^x是单增函数，f′(x)=e^x，f′(ξ)=e^ξ， x₂<(x₁+x₂)/2<x₁，
故f(x₂)<f[(x₂+x₁)/2]<f(ξ)<[f(x₁)+f(x₂)]/2<f(x₁)
即有f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)<[f(x₁)+f(x₂)]/2
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| x1 |
| 2 |
| x2 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
（2）解：设直线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，et），
则直线l的方程为y-et=et（x-t），即y=etx+et（1-t），
直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程etx+et(1?t)＝?
| x2 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
∴△=e2t-et（1-t）=0，et+t-1=0，
设φ（t）=et+t-1，则φ（0）=0，且φ′（t）=et+1＞0，
φ（t）在R上递增，φ（t）只有一个零点t=0．
∴存在唯一一条直线l与函函数f（x）与g（x）的图象均相切，其方程为y=x+1．
已知函数f(x)=ex(ax2+x+1)..若a大于0,讨论f(x)的单调性,要步骤
因⊿=(2a+1)^2-8a=(2a-1)^2≥0 则ax^2+(2a+1)x+2=0至少有一个根 即表明f(x)在R上至少有一个极值点 若⊿=0，即a=1\/2 此时1\/2x^2+(2*1\/2+1)x+2=0 即(x+2)^2=0 解得x=-2 显然当x<-2和x>-2时，都有(x+2)^2>0，即f'(x)>0 表明f(x)在R上为增函数 ...
设函数f(x)的若f(x)=ex,则lim△x→0f(1?2△x)?f(1)△x=__
∵f（x）=ex，∴f′（x）=ex，∴lim△x→0f(1?2△x)?f(1)△x=-2lim△x→0f(1?2△x)?f(1)?2△x=-2f′（1）=-2e故答案为：-2e
已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数)的图象为曲线C1,函数g(x)=ax(a...
（1）曲线C1与C2没有公共点，即：ex-ax=0无解．设F（x）=ex-ax，∴F′（x）=ex-a，显然要使曲线C1与C2没有公共点，所以a＞0，由F′（x）=0，∴x=lna，且F（x）=ex-ax的减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞），当x=lna时，F（x）min=F（lna）=a-alna，由a-alna...
已知函数f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x...
解（1）证：令h（x）=ex-x-1，h'（x）=ex-1，令h'（x）＞0?ex-1＞0?x＞0时f'（x）＞0；x＜0时，f'（x）＜0．∴f（x）min=f（0）=0∴h（x）≥h（0）=0即ex≥x+1．（2）∵g（x）是R上的奇函数∴g（0）=0∴g（0）=ln（e0+a）=0∴ln（1+a）=0∴a=0故g（...
设函数f(x)=ex
设函数f(x)=ex-1-x-ax的平方,若a=0,求f(x)的单调区间 对原函数求导得 f'(x)=e^x-1 当x<0时f'(x)0时,原函数单调递增.
e的x次方泰勒展开式是什么?
e的x次方泰勒展开式是f（x）=e^x= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x \/ 2!+……+ f（0）x^n\/n!+Rn(x）=1+x+x^2\/2!+x^3\/3!+……+x^n\/n!+Rn(x）。幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的...
已知函数f(x)=ex-1,则f(x)=0处的切线方程为__
由题意得：f′（x）=ex，把x=0代入得：f′（0）=1，即切线方程的斜率k=1，且把x=0代入函数解析式得：y=0，即切点坐标为（0，0），则所求切线方程为：y=x．故答案为：y=x．
把函数f(x)=e^x展开成x的幂函数。求帮忙解决
泰勒中值定理:若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和: f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)\/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)\/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)\/n!•(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1...
设函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数g(x)=f(x)-ex的单 ...
（Ⅰ）由已知g（x）=ex-ex，所以g'（x）=ex-e，…（1分）由g'（x）=ex-e=0，得x=1，所以，在区间（-∞，1）上，g'（x）＜0，函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减；在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增； …（4分）即函数g（x...
已知函数①f(x)=lnx;②f(x)=ecosx;③f(x)=ex;④f(x)=cosx.其中对于f(x...
f(x2)＝1成立的函数一定是单调函数，对于①f（x）=lnx；不妨取x1=1，在定义域内不存在一个自变量x2，使得f(x1)?f(x2)＝1成立，故①不满足；对于②，当cosx=0时，有无数个x使得cosx=0成立，故②不满足；对于③f（x）=ex，满足对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1，都存在定义域内的...
运沈复方： (Ⅰ)g(x)=ex-(a+1)x,g′(x)=ex-(a+1). 当x>0时,ex>1,故有: 当a+1≤1,即a≤0时,∵x>0,∴g′(x)≥0; 当a+1>1,即a>0时,由ex=a+1,解得x=ln(1=a+1). 令g′(x)>0,得x>ln(a+1);令g′(x)综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上是增函数; 当a>0时,g(x)在(0,...
石嘴山市18785602356： 设函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(1)求函数g(x)=f(x) - 3x的零点个数.(2)记曲线y=f(x) - ？
运沈复方： (1)函数g(x)=f(x)-3x=ex-3x,则函数的导数g′(x)=ex-3,由g′(x)=ex-3=0,解得x=ln3,当x>ln3时,g′(x)=ex-3>0,函数单调递增,当x即当x=ln3时,函数g(x)取得极小值,无极大值,此时f(ln3)=3-3ln3即函数g(x)=f(x)-3x的零点个数为2个. (2)...
石嘴山市18785602356： 已知函数f(x)=ex - 1,g(x)= - x2+4x - 4,若存在实数a使f(a)=g(b),则b的取值范围为() - ？
运沈复方：[选项] A. [1,+∞) B. (2- 2,2+ 2) C. [1,3] D. (1,3)
石嘴山市18785602356： 设函数f(x)=ex,g(x)=lnx+m,下列五个命题:①对于任意x∈[1,2],不等式f(x)>g(x)恒成立,则m - ？
运沈复方： 函数f(x)=ex,g(x)=lnx+m,∴f(x)-g(x)=ex-(lnx+m),设F(x)=ex-(lnx+m),则F′(x)=ex-1 x ,当x∈[1,2]时,F′(x)>0,故F(x)在x∈[1,2]上是增函数,①对于任意x∈[1,2],不等式f(x)>g(x)恒成立,则F(x)>0恒成立,即F(1)>0,e-(ln+m)>0,∴m②存在x0∈[1,2],...
石嘴山市18785602356： 已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,(a,b∈R)(1)讨论函数y=f(x)+g(x)的单调区间;(2)如果0≤a≤12,b=1,求证:当x≥0时,1f(x)+xg(x)≥1. - ？
运沈复方：[答案] (l)y=f(x)+g(x)=ex+ax+b,x∈R,y'=ex+a, 若a≥0,则y'>0所以函数y=f(x)+g(x)的单调增区间为(-∞,+∞), 若a<0,令y'>0,得x>ln(-a),令y'<0,得x
石嘴山市18785602356： 已知函数f(x)=ex - x+a,g(x)=e - x+x+a2,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x∈[0,2],使得f(x) - g(x)<0成立,求a的取值范围;(3)设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x... - ？
运沈复方：[答案] (1)f′(x)=ex-1…(1分) 令f′(x)>0,得x>0,则f(x)的单调递增区间为(0,+∞);…(2分) 令f′(x)<0,得x<0,则f(x)的单调递减区间为(-∞,0).…(3分) (2)记F(x)=f(x)-g(x), 则F(x)=ex-e-x-2x+a-a2,F′(x)=ex+e-x-2…(4分) ∵ex+e-x-2≥2 ex*e-x-2=2-2=0, ∴F′(x)≥0, ∴函数F(x...
石嘴山市18785602356： 设函数f(x)=ex+1,g(x)=(e - 1)x+2(e是自然对数的底数).(1)判断函数H(x)=f(x) - g(x)零点的个数,并说明理由;(2)设数列{an}满足:a1∈(0,1),且f(an)=g(an... - ？
运沈复方：[答案] (1)函数f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2,∴H(x)=f(x)-g(x)=ex-(e-1)x-1∴H′(x)=ex-(e-1),令H′(x)=0,则x0=ln(e-1)当x∈(-∞,x0)时,H′(x)<0,H(x)在(-∞,x0)单调递减当x∈(x0,+...
石嘴山市18785602356： 设函数f(x)=ex,g(x)=lnx+m,下列五个命题:①对于任意x∈[1,2],不等式f(x)>g(x)恒成立,则m
运沈复方：[答案] 函数f(x)=ex,g(x)=lnx+m,∴f(x)-g(x)=ex-(lnx+m),设F(x)=ex-(lnx+m),则F′(x)=ex-1x,当x∈[1,2]时,F′(x)>0,故F(x)在x∈[1,2]上是增函数,①对于任意x∈[1,2],不等式f(x)>g(x)...
石嘴山市18785602356： 设函数f(x)=ex+x - 2,g(x)=lnx+x2 - 3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.0<g(a)<f - ？
运沈复方： ∵y=ex和y=x-2是关于x的单调递增函数, ∴函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增, 分别作出y=ex,y=2-x的图象如右图所示,∴f(0)=1+0-20, 又∵f(a)=0, ∴0同理,g(x)=lnx+x2-3在R+上单调递增,g(1)=ln1+1-3=-23 )=ln 3 +( 3 )2-3= 1 2 ln3>0, 又∵g(b)=0, ∴13 , ∴g(a)=lna+a2-3f(b)=eb+b-2>f(1)=e+1-2=e-1>0, ∴g(a)故选:D.
