[求助] 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系
作者&投稿:轩残 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
那是因为有这样一个定理:不同特征值所对应的特征向量一定线性无关。这定理教材上就有。
还有一个教材上没有的: 方阵能对角化的充分必要条件:对应于k重特征根,恰有k个线性无关的特征向量与之对应。
不一定
属于 某个特征值 的特征向量 有无穷多个, 自然是线性相关的
我们需要的是属于这个特征值的线性无关的特征向量
所以取对应的齐次线性方程组的基础解系
一般情况下 属于k重根的线性无关的特征向量不一定有k个
呵呵…谢谢你对我的贴子这么积极的回复。感觉与你们这些高手的差距还是很大,只能多看多问了。上面的问题是我做题的时候发现的。你看着题就能明白秩为何是1了…能留下你的联系方式么,以后多请教啊!
书上的定理:属于不同特征值的特征向量组成的向量组是线性无关的。
按你的表述内容肯定推不出结论,几何重数小于等于代数重数的。你仔细看下题,是不是漏了个实对称阵,因为实对称阵的几何重数等于代数重数。
加上另外一个特征值的一个特征向量还是线性无关的
亢适振源:[答案] 单重的特征值必然有一个属于它的线性无关的特征向量(这是由于(A-λE)X=0有非零解) 所以只需考虑k重(k>1)的特征值是否有属于它的k个线性无关的特征向量 所以你提到的例题的做法是正确的 另: 可以上传图片, 只是显示滞后, 要等一会
皮山县15912499345: [求助] 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系 - ?
亢适振源: 回复 leleluke 的帖子最近正在再次梳理知识点,虽然这个问题大家都回答了,想必楼主也理解的差不多了.我还是啰嗦两句,说不定对加深印象有好处.这个是属于大纲考点要求“掌握”的级别----特征值和特征向量的性质的内容,很重要!1.不...
皮山县15912499345: 特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致 - ?
亢适振源: 不一定.属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数 <= 特征值λ的重数.不能推出. 如 1 是 A=[1,1;0,1] 的2重特征值, 但属于特征值1的线性无关的特征向量只有一个
皮山县15912499345: 特征值和特征向量那,有个定理说n重特征根对应n个线性无关的特征向量,那秩为1的矩阵,如果有n - 1重0根,则有n - 1个线性无关的特征向量,再加最后一个... - ?
亢适振源:[答案] "有个定理说n重特征根对应n个线性无关的特征向量" 你的问题就出来其实根本没有这个定理 秩1矩阵确实有两种情况 如果0是n-1重根即可对角化 如果0是n重根则几何重数仍然是n-1,此时不可对角化
皮山县15912499345: 线性代数问题,特征值个数怎么判断,和秩有没有关系?必须要用特征多项式去求吗 - ?
亢适振源:[答案] 有几个参考: 特征值的个数为n个 (重根按重数计) 属于某个特征值的线性无关的特征向量的个数 不超过这个特征值的重数 若A可对角化, 则A的非零特征值的个数 等于 R(A)
皮山县15912499345: 矩阵的秩与线性无关特征向量的个数的关系是什么?原题是:A的特征值有重根,λ=3有两个线性无关的特征向量,推出(3E - A)=0有两个线性无关的解,推... - ?
亢适振源:[答案] A的属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数是 齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的基础解系所含向量的个数 ,即 n-r(A-λE), r(A) 的取值,只能决定0是否特征值 r(A)
皮山县15912499345: A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n - 1a线性无关 - ?
亢适振源: 设A的n个特征值为λ[1], λ[2],..., λ[n]. v[1], v[2],..., v[n]为相应的特征向量, 即有Av[i] = λ[i]v[i]. 取a = v[1]+v[2]+...+v[n], 以下证明a, Aa,...A^(n-1)a线性无关.由v[1], v[2],..., v[n]是属于不同特征值的特征向量, 它们线性无关. 于是对依次以v[1], v[2],..., v[n]...
皮山县15912499345: 线性代数问题:求一个方阵AA满足如下条件:A的一个特征值λ对应的线性无关的特征向量的个数为n,λ为k重特征值,n - ?
亢适振源:[答案] 如果你不明确k和n的话,我只能这样回答你. λ为k重特征值,说明特征多项式中含有(x-λ)^k,但不含(x-λ)^(k+1);而A的特征值λ对应的线性无关的特征向量的个数为n,说明A的若当标准形中对应于λ的若当块最大阶为n,也说明A的最小多...
皮山县15912499345: 向量,特征向量,特征值是什么关系 - ?
亢适振源: 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量,其满足的条件是AX=λX
皮山县15912499345: 代数重数为零的特征根只有一个线性无关的特征向量吗? - ?
亢适振源: 是的,否则存在线性无关的α,β都以λ为特征值,将α,β扩充为线性空间的一组基,在这组基下易见特征多项式以λ为重根.