[求助] 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系

[求助] 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系~

那是因为有这样一个定理：不同特征值所对应的特征向量一定线性无关。这定理教材上就有。

还有一个教材上没有的： 方阵能对角化的充分必要条件：对应于k重特征根，恰有k个线性无关的特征向量与之对应。

不一定

属于 某个特征值 的特征向量 有无穷多个, 自然是线性相关的
我们需要的是属于这个特征值的线性无关的特征向量
所以取对应的齐次线性方程组的基础解系

一般情况下 属于k重根的线性无关的特征向量不一定有k个

回复 leleluke 的帖子最近正在再次梳理知识点，虽然这个问题大家都回答了，想必楼主也理解的差不多了。我还是啰嗦两句，说不定对加深印象有好处。这个是属于大纲考点要求“掌握”的级别----特征值和特征向量的性质的内容，很重要！1.不通特征值对应的特征向量一定线性无关：这个很有用，比如告诉你一个矩阵的特征值是1、2、3则直接判断其可以对角化；告诉你1、2、3对应的向量a1,a2,a3则隐含的意思就是他们线性无关；2.同一个特征值对应的特征向量的任意非零线性组合都是矩阵的特征向量。这个比较好理解和证明3.不同特征值对应的特征向量的线性组合必不是矩阵的特征向量。这个的证明过程要掌握，比较重要，用反证加性质1和无关的定义证明。4.N阶矩阵最多有N个线性无关的特征向量，K重特征值也最多有K个线性无关的特征向量要对这部分理解透彻，知其所以然，可以重新回头看李永乐全书上或者教科书上对于“N阶矩阵可以对角化的充要条件：有N个线性无关的特征向量。”的证明过程。此外，作为最后整体复习，可以联系记忆，是对称矩阵的特征向量的性质，这个也是大纲明确规定的掌握的内容1.实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交--------由此可以推出，相互正交的向量一定线性无关或者正交向量组（两两正交的非零向量组）内的向量必线性无关，证明过程最好了解，用正交向量相乘为零加假设相关、左乘一个转置向量的反证法来证明。（经常作为隐含条件出现）2.正交矩阵（PP^T=E）的行向量和列向量都是两两正交的单位向量。（这个没怎么经常考，但是作为隐含条件很多时候可能不注意）3.正交矩阵的特征值只能是1或者-1，这个要了解证明过程为好。针对楼主的问题，再附上一个全书上的题，检测下自己是否真的掌握：n阶矩阵非零矩阵，A^n=O，判断下列说法的对错：1.A必不可对角化（正确，原因由A^n=o得其特征值只有0（f（A）=0等价于f（特征值）=0），即为n重特征值，但是由于A为非零矩阵，秩（A）至少为1，所以0对应的特征值最多为n-1，二者不等或者说没有N个线性无关的特征向量，所以不可对角化。

呵呵…谢谢你对我的贴子这么积极的回复。感觉与你们这些高手的差距还是很大，只能多看多问了。上面的问题是我做题的时候发现的。你看着题就能明白秩为何是1了…能留下你的联系方式么，以后多请教啊！

书上的定理：属于不同特征值的特征向量组成的向量组是线性无关的。

按你的表述内容肯定推不出结论，几何重数小于等于代数重数的。你仔细看下题，是不是漏了个实对称阵，因为实对称阵的几何重数等于代数重数。

加上另外一个特征值的一个特征向量还是线性无关的

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皮山县15912499345： 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系今天在做题的时候发现了一个问题自己没有想通,在判断矩阵A能否相似对角化的过程中,我们常用充要条件即... - ？
亢适振源：[答案] 单重的特征值必然有一个属于它的线性无关的特征向量(这是由于(A-λE)X=0有非零解) 所以只需考虑k重(k>1)的特征值是否有属于它的k个线性无关的特征向量 所以你提到的例题的做法是正确的 另: 可以上传图片, 只是显示滞后, 要等一会

皮山县15912499345： [求助] 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系 - ？
亢适振源： 回复 leleluke 的帖子最近正在再次梳理知识点,虽然这个问题大家都回答了,想必楼主也理解的差不多了.我还是啰嗦两句,说不定对加深印象有好处.这个是属于大纲考点要求“掌握”的级别----特征值和特征向量的性质的内容,很重要!1.不...

皮山县15912499345： 特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致 - ？
亢适振源： 不一定.属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数 <= 特征值λ的重数.不能推出. 如 1 是 A=[1,1;0,1] 的2重特征值, 但属于特征值1的线性无关的特征向量只有一个

皮山县15912499345： 特征值和特征向量那,有个定理说n重特征根对应n个线性无关的特征向量,那秩为1的矩阵,如果有n - 1重0根,则有n - 1个线性无关的特征向量,再加最后一个... - ？
亢适振源：[答案] ＂有个定理说n重特征根对应n个线性无关的特征向量＂ 你的问题就出来其实根本没有这个定理 秩1矩阵确实有两种情况 如果0是n-1重根即可对角化 如果0是n重根则几何重数仍然是n-1,此时不可对角化

皮山县15912499345： 线性代数问题,特征值个数怎么判断,和秩有没有关系?必须要用特征多项式去求吗 - ？
亢适振源：[答案] 有几个参考: 特征值的个数为n个 (重根按重数计) 属于某个特征值的线性无关的特征向量的个数 不超过这个特征值的重数 若A可对角化, 则A的非零特征值的个数 等于 R(A)

皮山县15912499345： 矩阵的秩与线性无关特征向量的个数的关系是什么?原题是:A的特征值有重根,λ=3有两个线性无关的特征向量,推出(3E - A)=0有两个线性无关的解,推... - ？
亢适振源：[答案] A的属于特征值λ的线性无关的特征向量的个数是 齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的基础解系所含向量的个数 ,即 n-r(A-λE), r(A) 的取值,只能决定0是否特征值 r(A)

皮山县15912499345： A为复矩阵,A的特征多项式无重根,则存在列向量a,使得a,Aa,...A^n - 1a线性无关 - ？
亢适振源： 设A的n个特征值为λ[1], λ[2],..., λ[n]. v[1], v[2],..., v[n]为相应的特征向量, 即有Av[i] = λ[i]v[i]. 取a = v[1]+v[2]+...+v[n], 以下证明a, Aa,...A^(n-1)a线性无关.由v[1], v[2],..., v[n]是属于不同特征值的特征向量, 它们线性无关. 于是对依次以v[1], v[2],..., v[n]...

皮山县15912499345： 线性代数问题:求一个方阵AA满足如下条件:A的一个特征值λ对应的线性无关的特征向量的个数为n,λ为k重特征值,n - ？
亢适振源：[答案] 如果你不明确k和n的话,我只能这样回答你. λ为k重特征值,说明特征多项式中含有(x-λ)^k,但不含(x-λ)^(k+1);而A的特征值λ对应的线性无关的特征向量的个数为n,说明A的若当标准形中对应于λ的若当块最大阶为n,也说明A的最小多...

皮山县15912499345： 向量,特征向量,特征值是什么关系 - ？
亢适振源： 特征向量是一个线性变换或方阵某个特征值对应的特征向量,其满足的条件是AX=λX

皮山县15912499345： 代数重数为零的特征根只有一个线性无关的特征向量吗? - ？
亢适振源： 是的,否则存在线性无关的α,β都以λ为特征值,将α,β扩充为线性空间的一组基,在这组基下易见特征多项式以λ为重根.