关于不定积分和定积分

ysiny的不定积分是多少？~

你的这个理解不能说不对，但是似是而非，感觉很不清楚。其实不定积分和定积分一开始最好是分开来理解的。不定积分其实就是原函数的运算，也就是求导的逆运算，如果只看不定积分的定义是看不出其和求曲边梯形面积之类有什么关系的，因此姑且就把不定积分理解为求原函数好了。定积分的本质是求某类和式的极限（例如求曲边梯形面积），这里也看不出求面积和求该函数的原函数之间有什么关系，因此定积分就理解为求和式极限。把定积分和不定积分联系起来的是微积分基本定理，这个定理如果按照刚才我说的那样去理解的话，应该是f(x)在[a,b[上某个和式极限。等于f(x)的原函数F(x)在b,a两点函数值之差。其实正是由于这个定理，才使人们感到求和式极限的运算和求原函数的运算息息相关，既然求原函数的运算叫不定积分，那么就给求和式极限的运算也起个类似的名字，叫定积分。（包括二者的符号也是类似的）

1、∫(0,π/2) cos^6xdx
=∫(0,π/2) cos^5xd(sinx)
=cos^5xsinx|(0,π/2)+∫(0,π/2) 5sin^2xcos^4xdx
=∫(0,π/2) 5(1-cos^2x)cos^4xdx
=5∫(0,π/2) cos^4xdx-5∫(0,π/2) cos^6xdx
∫(0,π/2) cos^6xdx=(5/6)*∫(0,π/2) cos^4xdx
=(5/6)*(3/4)*∫(0,π/2) cos^2xdx
=(5/6)*(3/4)*(1/2)*∫(0,π/2) dx
=(5/6)*(3/4)*(1/2)*(π/2)
=5π/32
2、∫(0,1) f(x)/√xdx
=∫(0,1) (1/√x)dx∫(1,√x)e^(-t^2)dt
=-∫(0,1) (1/√x)dx∫(√x,1)e^(-t^2)dt
=-∫(0,1) e^(-t^2)dt∫(0,t^2)1/√xdx
=-∫(0,1) e^(-t^2)dt*2√x|(0,t^2)
=-∫(0,1) 2te^(-t^2)dt
=∫(0,1) e^(-t^2)d(-t^2)
=e^(-t^2)|(0,1)
=1/e-1

(1)
I(2n) = ∫(0->π/2) (cosx)^(2n) dx
I6
=∫(0->π/2) (cosx)^6 dx
=∫(0->π/2) (cosx)^5 dsinx
=[sinx.(cosx)^5]|(0->π/2) +5∫(0->π/2) (sinx)^2.(cosx)^4 dx
=5∫(0->π/2) (sinx)^2.(cosx)^4 dx
=5∫(0->π/2) [ 1-(cosx)^2].(cosx)^4 dx
6I6 = 5I4
I6 = (5/6)I4
=(5/6)(3/4)(1/2)I0
=(5/16) ∫(0->π/2) dx
=(5/32)π
ie
∫(0->π/2) (cosx)^6 dx=(5/32)π
(2)
f(x) =∫(1->√x) e^(-t^2) dt
=>f(1) = 0
两边取导
f'(x) = [1/(2√x)] e^(-x)
--------
∫(0->1) f(x)/√x dx
=2∫(0->1) f(x)d√x
=2[√x.f(x) ] |(0->1) -2∫(0->1) √x.f'(x)dx
=0 -2∫(0->1) √x.f'(x)dx
=-2∫(0->1) √x.{ [1/(2√x)] e^(-x) }dx
=-∫(0->1) e^(-x) dx
=[e^(-x)]|(0->1)
=e^(-1) -1

第一题点火公式

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杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 用通俗的话讲解,什么叫不定积分与定积分 - ？
呼馨肉蔻： 这两者是从不同角度定义的不同概念. 不定积分是一个函数的全体原函数,是一个函数族(函数的集合); 定积分是与函数有关的一个和式的极限,是一个实数. 从概念而言,这两者是完全不同的、毫无关系的,或者说是风马牛不相及的. 但是牛...

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 不定积分和定积分是什么 - ？
呼馨肉蔻： 定积分与不定积分的计算过程是一样的. 定积分给出积分范围,最后计算时带入积分上下限,一般得到结果是一个数. 不定积分得到的仍是表达式 eg:对质点的速度积分可以得到位移.定积分给出时间,得到的是一个结果,即位移长度不定积分得到速度随时间变化表达式,要求某一时间段位移,带入时间段作为积分上下限,相减既得位移长度,与定积分相同.

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 高数定积分和不定积分有什么区别 - ？
呼馨肉蔻： 1、定义不同 在微积分中,定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限. 在微积分中,一个函数f 的不定积分,也称作反导数,是一个导数f的原函数 F ,即F′=f. 2、实质不同 若定积分存在,则是一个具体的数值(曲边梯形的...

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 不定积分与定积分的关系是什么?详细回答 - ？
呼馨肉蔻：[答案] 不定积分是一个函数,定积分是一个数值.求一个函数的原函数,叫做求它的不定积分;把上下限代如不定积分,求出来的数值,叫做定积分.定积分就是求函数F(X)在区间(A,B)中图线下包围的面积.即 y=0 x=a x=...

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 定积分和不定积分的区别和联系是什么?为什么差了一个字,却在图形的表述上有如此大的差别? - ？
呼馨肉蔻：[答案] 不定积分计算的是原函数(得出的结果是一个式子) 定积分计算的是具体的数值(得出的借给是一个具体的数字) 不定积分是微分的逆运算 而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减 积分 积分,时一个积累起来的分数,现在网上,有很多...

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 定积分与不定积分的区别在哪?1、只要把积分的上下限代入到不定积分积出的结果中就是定积分了吗?2、在什么样的情况下,不可以直接代入?3、或者... - ？
呼馨肉蔻：[答案] 不是的,有的函数虽存在原函数(不定积分),但却是不可积的(即定积分不存在).在定积分做变量代换时,所取函数的值域必须包含在积分区间内.

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 定积分与不定积分怎么区别,它们又是怎么样联系起来使 - ？
呼馨肉蔻： 不定积分无积分范围,所得结果是含有常数项的集合 定积分对被积变量有范围,所得结果是一个具体的值 求解的结果基本相同,前者是后者的基础,后者只需再利用牛顿莱布尼茨公式把上下限带入式子中求出即可

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 不定积分和定积分的区别是啥?大一高数哪个考的多一点? - ？
呼馨肉蔻： 不定积分是函数,是一类函数的集合,而定积分是一个数.从考试来说,定积分出现可能会更多.

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 不定积分与定积分在解题方面有啥联系?(请详细些说) - ？
呼馨肉蔻： 1.首先,不定积分的结果是函数,定积分的结果是一个值.2.不定积分是求一个函数的原函数,有无数多个,也就是求导的逆运算.定积分是求一个函数的曲线与X轴所围成的图形的面积,其本质是无限小划分然后求和的过程.3.两者的联系就是莱布尼茨公式,也就是说求某个函数在a,b上下限的定积分,就等于该函数的不定积分在a,b处的值的差.

杜尔伯特蒙古族自治县18510993873： 在高等数学中,定积分与不定积分有什么关系? - ？
呼馨肉蔻：[答案] 定积分求的是原函数的集合 不定积分在定积分上加上下限,也就是定积分的求解逸不定积分为基础,限求出原函数在带上线限